幾何輔助線的根源探索

李想

【摘要】幾何在數學中不同于代數，渾然天成的題目，簡潔的條件和結論卻蘊含著不簡單的思想.幾何輔助線作為連接條件與結論的橋梁，是幾何中的難點，本文就幾種簡單幾何輔助線的根源進行探究，尋求幾何輔助線的規律性

【關鍵詞】平面幾何;輔助線

平面幾何曾被許多科學家、數學家稱為“思維的藝術體操”.在全國各省市的中考中，幾何證明題也是這場選拔性考試的分水嶺，題目主要考查考生對基本圖形的識別能力以及邏輯推理的能力，正確地連接輔助線是解決平面幾何問題的關鍵.但是，對許多學生來說，輔助線的選取只能就提論題，幾何問題的思維方法很難形成規律性，這也是長期以來，教師覺得幾何難教，學生覺得幾何難學的原因.筆者在近日的教學中，以一道一題多解的幾何題為例，和學生分享輔助線的規律性，學生收獲頗豐.

例?如圖1所示，等腰直角△ABC中，AB=AC，P是BC中點，PD⊥PE，求證：PD=PE.

本題是一道等腰直角三角形的基礎題，題目本身并不難.

方法一?連接AP，如圖2所示，易證△BPD≌△APE，從而證得PD=PE.但學生思考的是輔助線連接AP有什么規律可循嗎？

了解簡單基礎的平面幾何基本圖形，是研究平面幾何的基礎，實際上這也正是輔助線的由來，因此，對于輔助線連接AP，先和學生分享了一個簡單的數學模型：

如圖3所示，將△ABC繞點A逆時針旋轉90°，得到△AB′C′，易證B′C′⊥BC.（簡釋：如圖4所示，延長B′C′交AB于點G，交BC于點H，∠B=∠B′，∠BAB′=∠B′HB=90°）

上述模型可以簡單說成三角形繞一個頂點旋轉90°后，旋轉前后該頂點所對的邊垂直.那么當PD⊥PE時，如何證明PD=PE呢？旋轉可以給我們提供一種思路，思考有沒有PD所在的三角形，旋轉90°之后可以得到PE所在的三角形呢？于是就有了連接AP，當然題目中天然的垂直和相等讓題目更加和諧，即第三邊BD⊥AE，AP=BP.旋轉的思路在證明互相垂直的線段相等時有著廣泛的應用.

方法二?如圖5所示，過點P作PM⊥AB，PN⊥AC，易證PM=PN（連接AP用角平分線的性質，或PM=BPsinB，PN=CPsinC），接下來證明△PMD≌△PNE，從而證得PD=PE.

過點P分別向AB，AC兩邊作垂線是怎樣想出來的呢？再看一個基礎模型，如圖6所示，在四邊形ACPB中，AP平分∠BAC，∠B+∠C=180°，易證PB=PC（簡釋：過點P作PN⊥AB，PM⊥AC，PM=PN，又∠B=∠PCM，△PCM≌△PBN，如圖7所示）.該模型常被稱為對角互補模型，作垂線的思路來源于角平分線的性質，并且一箭雙雕，不僅邊相等，還得到了兩個直角.例題中，四邊形ADPE是對角互補的四邊形，而AP恰好是角BAC的角平分線，于是考慮作雙垂線.但不同的題目要學會靈活運用.

方法三?四邊形ADPE對角互補，易證∠ADP=∠PEC，考慮等腰直角三角形的對稱性，取點D關于AP的對稱點D′，則PD=PD′，用對稱法將PD′作為橋梁，再通過證明△PD′E是等腰三角形即可完成證明，對稱法也是對角互補模型常見的思路.

方法四?如圖9所示，延長DP至F使得DP=PF，連接FC，EF，易證△DPB≌△FPC，CF∥AB，∠FCA=90°，E，C，F，P四點共圓，∠EFP=∠ACB=45°，即△EPF是等腰直角三角形，所以PE=PF=PD.

方法四常被稱為倍長中線，如圖10所示，通常題目中已知中點時，考慮用倍長中線法構造三角形全等，從而通過邊之間的等量關系和位置關系為已知和求證有效地搭建橋梁，完成間接證明.

結束語

幾何的和諧之美在于渾然天成，幾何方法瀚如星海，有繁簡，但無好壞之分，每種方法的背后必有根源，無論教幾何，還是學幾何，深度探究幾何輔助線的根源都是學習幾何的法寶.

【參考文獻】

[1]郭光福.平面幾何輔助線的應用[J].中學數學教學參考，2016（18）：41-42.