關于高中數學函數解題思路多元化的方法舉例探討

梁雄

【摘要】函數知識是高中數學學科的重要組成部分，函數不僅在高考中占據著較大比重，而且也是學好高等數學的重要保障.函數知識架構煩瑣，涉及數學理論較多，學生不易掌握.基于此，高中數學教師應不斷創新教學方法，在講解函數解題技巧時，應注重培養學生的發散思維，多元化、多層面地運用不同方法解決函數題型.

【關鍵詞】高中數學函數;解題思路;多元化方法;舉例探討

在解決函數問題時，由于學生基礎知識不牢固、解題思路不清晰、解題方法單一，使學生陷入解題誤區，日積月累，堆積了大量的未解函數題型.針對這一情況，數學教師應及時了解和掌握學生的學習動態，正確引導學生拓展解題思路，以各種不同的解題方法解決相對應的函數題型，進而提升解題效率，提高數學成績[1].

一、高中數學函數學習的現實狀況

（一）基礎知識欠缺，公式理解膚淺

由于許多高中生數學基礎較差，在面對較為復雜的函數理論與題型時，往往措手不及，不知道從何處著手，高中數學知識的學習是一個循序漸進的過程，不能“一口吃個胖子”.尤其對于函數概念與一些固定公式，學生一般都采取死記硬背的方法，學習效率大打折扣.高中函數知識已經從初中簡單的函數問題過渡到較為復雜和深奧的指數函數、對數函數、冪函數以及三角函數等.

當學生面對同一個函數題型時，應根據題目中所給出的已知條件，合理選擇相對應的解題方法.解題時，學生不但要熟記函數概念、性質，而且對方程知識也應該輕車熟路，否則在解決函數問題時就會陷入解題瓶頸.

（二）解題方式單一，思想意識僵化

對于高中函數問題，一般有多種解題方法，解題方向和角度也較為寬泛，而對部分學生來說，依然沿用過去的解題方法解決函數問題，固定的解題模式限制了學生的想象力與個人能力的發揮，使解題效果差強人意.在解決實際的函數題型時，許多學生直接從概念入手，按照固定的思維模式對問題進行求解，如果函數題型稍稍做以改變，學生就無從下手.因此，學生應該轉變思想觀念，摒棄傳統固化的解題思維，跟上教師的授課節奏，充分發揮自身的發散思維，采用各種不同的解題方法解決實際問題.

二、多元化解題方法應用的實際意義

（一）提升學習效率，鍛煉邏輯思維

學好數學知識對培養和鍛煉學生的邏輯推理能力大有幫助，在面對函數題型時，學生通過運用多元化的解題方法和解題思想，將所學過的公式、定理運用到實際解題當中，使解題過程更加清晰，解題方向更加明確，解題效率大大提升[3].

（二）養成良好的學習習慣，提升數學學科素養

高中生的理性思維比較成熟，主觀能動意識有了很大提升.而新課改要求每一名學生不僅要掌握必要的文化知識，同時也應注重提升自身的綜合素養.因此，通過在實際解題過程中運用多元化的解題方法和思路，可以進一步幫助學生養成一個良好的學習習慣，促進學生數學學科素養的提升.

（三）沖破傳統束縛，聯系課堂實際

在函數解題過程中，學生從各個不同角度，采用多種方法攻克一些較為復雜的題型，徹底沖破了傳統的學習方法與解題方法的禁錮，改變了當下固化的學習格局.此外，教師在課堂教學時，也應該經常講授一些函數題型的解題技巧與方法，將每一種方法都列舉出相對應的題型，以點及面，讓學生將實際應用與課堂教學相結合，以此提升學習效率.

三、多元化解題方法的舉例說明

在遇到函數題型時，學生通常運用函數的定義、定理和平時所學的基礎知識進行套用，久而久之就形成了一種固定的解題方法，這種單一的解題思路雖然迎合了教材內容，但是卻限制了自身想象力以及創造力的提升，而這種方法也只適用于一些固定不變的題型，一旦題型發生改變，學生在解題時就會束手無策.面對這一情況，學生應及時轉變思路，全方位、多角度地考慮問題，從正到反，循序漸進地分析函數題型當中每一個變量間的具體關系，在明確題設條件的基礎上進行計算，得出正確答案.

以高中函數題型中求值域問題為例，通常運用的解題方法包括：觀察法、反函數法、最值法、比例法、單調法、判別式法等[4].

（一）觀察法

這種方法通常應用于一些簡單的函數題型當中，我們通過直觀的觀察，就可以快速地確定解題思路.比如，求函數y=3+2-3x的值域.對這道簡單的求值域問題，首先可根據算術平方根的性質，求出2-3x的值域.解：由算術平方根的性質，知2-3x≥0，故3+2-3x≥3.運用觀察法求解類似的函數題型，簡單明了，也可以說觀察法是一種較為常用的、也是易于學生掌握的解題技巧與方法.

（二）反函數法

這種解題方法通常用于函數本身存在反函數的情況，其反函數的定義域實則就是原函數的值域.比如，求函數y=x+1x+2的值域.學生首先求出原函數的反函數，再求出其定義域.解：函數y=x+1x+2的反函數為x=1-2yy-1，其定義域為y≠1的實數，故原函數的值域為{y|y≠1，y∈R}.利用反函數解題也是解決函數題型的重要方法之一，運用這種方法不但可以培養學生的逆向思維，同時也使解題效率大大提升.

（三）最值法

這種方法是指在封閉區間范圍內，如果存在最值，就可以通過最值的獲得而得到函數的值域.比如，對閉區間[a，b]上的連續函數y=f（x），可求出y=f（x）在區間[a，b]內的極值，并與邊界值f（a）、f（b）做比較，求出函數的最值，即得到函數f（x）的值域.比如，已知2x2-x-33x2+x+1≤0，且滿足x+y=1，求函數z=xy+3x的值域.點撥：根據已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域.解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤32，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x-1≤x≤32，∴z=-（x-2）2+4且x∈-1，32，函數z在區間-1，32上連續，故只需比較邊界的大小.

當x=-1時，z=-5;當x=32時，z=154.∴函數z的值域為z-5≤z≤154.

（四）比例法

對一類含約束條件的函數的值域的求法，可將約束條件轉化為比例式，代入目標函數，進而求出原函數的值域.

比如，已知x，y∈R，且3x-4y-5=0，求函數z=x2+y2的值域.

本題是多元函數關系，一般含有約束條件，將約束條件轉化為比例式，設置參數，可將原函數轉化為單值函數的形式.

解：由3x-4y-5=0變形得x-34=y-13=k，∴z=x2+y2=（3+4k）2+（1+3k）2=（5k+3）2+1.當k=-35時，x=35、y=-45，zmin=1，因此，該函數的值域是{z|z≥1}，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創新意識.

（五）單調法

這種方法就是利用函數在給定區間上的單調遞增或單調遞減的情況來求得值域，這種方法在解決函數問題時較為常用.比如，求函數y=4x-1-3xx≤13的值域.由已知的函數是復合函數，可設g（x）=-1-3x，f（x）=4x，y=f（x）+g（x），在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域.解：設f（x）=4x，g（x）=-1-3xx≤13，易知它們在定義域內為增函數，從而y=f（x）+g（x）=4x-1-3x在定義域內為增函數，從而y≤f13+g13=43，∴所求的函數值域為yy≤43.

（六）判別式法

如果關于某一個變量的二次方程可轉化為分式函數或者無理函數，學生在解題時就可以運用判別式法進行解題.比如，求函數y=2x2-2x+3x2-x+1的值域.首先將原函數轉化為關于自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式確定出原函數的值域.解：將上式化為（y-2）x2-（y-2）x+（y-3）=0，當y≠2時，此方程有解，∴Δ≥0，即（2-y）2-4（y-2）（y-3）≥0，解得2

四、結束語

學生可以結合自身的學習能力以及對函數知識的理解能力，科學合理地選擇較為簡捷的方法解決函數題型.如果在解題過程中遇到困難，學生可以通過組建學習合作小組的形式，利用團隊的力量解決復雜的函數問題.相信運用多元化的解題方法解決函數問題，必將收到理想的學習效果，進而使數學成績得到快速提升.

【參考文獻】

[1]徐沛豐.關于高中數學函數解題思路多元化的方法舉例探討[J].文化創新比較研究，2018（31）：179+181.

[2]武成豫.關于高中數學函數解題思路多元化的方法舉例探討[J].未來英才，2018（2）：160-161.

[3]錢農文.關于高中數學函數解題思路多元化的方法舉例探索[J].文理導航，2017（26）：31.