具有三個數(shù)字集的Cantor測度的譜特征值

李海雄， 丁道新， 吳新林

(湖北第二師范學院數(shù)學與經(jīng)濟學院， 武漢 430205)

設μ是上具有緊支撐的Borel概率測度，稱μ為譜測度，如果存在的離散子集Λ使得

E(Λ):={e-2πiλx:λ∈Λ}

成為L2(μ) 上的規(guī)范正交基. 集合Λ稱為測度μ的譜，也稱(μ，Λ)為譜對．

關于奇異譜測度的研究，本文主要考慮自相似的情況. 設q>1，D?為有限集合，假設迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)定義為：

由Hutchinson定理[1]可知，存在唯一的具有緊支撐的Borel概率測度μ=μq，D滿足下面不變方程

(1)

對于任意的Borel集E?，這里#D表示集合D中所含元素的個數(shù). 特別地，測度μ支撐在緊集T=T(q，D) 上，

(2)

關于自相似測度的譜性研究最早是由Jorgensen和Pedersen開始的， 他們在文[2]中指出，μ4，{0，2}是譜測度并給出了此測度的一個譜，

Λ={0，1}+4{0，1}+42{0，1}+… (有限和).

(3)

隨后，越來越多的學者開始關注自相似測度或者奇異測度的譜性研究，可詳見參考文獻[3-8，11-12]. 奇異測度的譜性與Lebesgue測度的譜性存在很大不同，Laba和汪揚在文[9-10]中首次指出，存在自相似譜測度μ，Λ和2Λ都可成為譜. 奇異測度此種怪異現(xiàn)象稱之為譜特征值問題，即

特征值問題設Λ為測度μ的譜，確定t∈， 使得tΛ仍為μ的譜．

對于式(3)中所給出的μ4，{0，2}的譜，關于其譜特征值問題的研究由來已久，比如說Dutkay等人在文[5，9]中就證明過，對于所有的k∈，5kΛ 都是μ4，{0，2}的譜. 隨后關于更一般的Bernoulli卷積μ2k，{1，-1}，k∈+的譜特征值問題也受到更多人關注. 文[2，11]得到μ2k，{1，-1}的一組譜

關于此類測度的譜特征值問題，Dutkay和李建林等人進行了研究，得到了一些好的結(jié)果，但是對于更一般的結(jié)果還有待進一步的深入研究．

本文將主要考慮3個數(shù)字集的自相似測度的譜特征值問題. 設q>1，D={0，a，b}， 已知μq，D為譜測度當且僅當3|q， {a，b}≡{±1}mod3， 見文[12].所以下面，總假設q為3的倍數(shù)， 不妨設q=3k，k∈+，D={0，1，2}. 注意到當k=1 時，μ3，D就是限制在區(qū)間[0，1]上的Lebesgue測度. 當k>1時，μ3k，D為奇異測度，此時它們的譜性質(zhì)存在很大差異. 本文主要關心奇異的情況，為此始終假設q=3k，k>1，D={0，1，2} . 此時簡記μ3k，D=μ3k．

記

Λ={0，k，2k}+3k{0，k，2k}+

(3k)2{0，k，2k}+… (有限和).

(4)

則有如下結(jié)果．

定理1對于任意的自然數(shù)k>1， Λ為μ3k的譜．

本文將主要考慮μ3k的譜特征值問題，即確定p∈為何值時，pΛ仍然為μ3k的譜.注意到，如果Λ為μ3k的譜，則-Λ仍為μ3k的譜. 從而主要考慮p∈+， 主要定理如下.

下面先給出本文定理證明所需要的幾個定義和引理，接著是本文的主要部分，即給出定理的詳細證明以及幾個推論和具體例子．

1 預備知識

設μ是上具有緊支撐的Borel概率測度，其Fourier變換定義為：

記D={0，1，2}， 由μ3k的Fourier變換的定義及式(1)，可得到

(5)

這里mask多項式定義為

根據(jù)式(5)可得

記MD的零點集為ZD， 直接計算可得

故可得

(6)

這里，Zμ為μ3k的Fourier變換的零點集．

(Λ-Λ){0}?Zμ.

(7)

因為正交集具有平移不變性，所以總可以假設0∈Λ，故而Λ?Λ-Λ.

根據(jù)Λ的構(gòu)造，當p=3k時，很容易看出E(pΛ)為正交集. 對于其它的正整數(shù)p，以及式(4)所給出的譜，可以得到E(pΛ)為正交集的刻畫．

命題1設p∈且p≠3k， 則E(pΛ)為μ3k的正交集的充要條件是(p，3)=1．

證明對于任意的λ1≠λ2∈pΛ， 根據(jù)Λ的定義，記

λ1=p(a0+(3k)a1+…+(3k)mam)，

λ2=p(b0+(3k)b1+…+(3k)nbn) .

注意到所有的ai，bj∈{0，k，2k}. 為了方便后面計算，假設m≤n， 又設s為最小自然數(shù)使得as≠bs， 則

λ1-λ2=p((3k)s(as-bs)+…+

(3k)m(am-bm)+(3k)m+1bm+1+…+

這里，M為一正整數(shù)，a′s≠b′s∈{0，1，2}. 因此由式(7)知，E(pΛ)為L2(μ3k)的正交集當且僅當

所以，E(pΛ)為L2(μ3k)的正交集當且僅當(p，3)=1， 命題得證．

在構(gòu)造奇異測度的譜集時，總是從Hadamard對(或者Compatible對)出發(fā)，關于Hadamard對詳細定義如下.

定義1設b∈且b≥2，D，C為整數(shù)的有限子集且有相同個數(shù)q，0∈D∩C，稱三元組(b，D，C)為Hadamard對(或者稱二元組(b-1D，C)為Compatible對)， 如果矩陣

為酉陣，即HH*=I．

對于本文所考慮的數(shù)字集，可以得到下面的命題．

命題2設b=3k，k>1∈，D={0，1，2}和C={0，kp，2kp}，p∈，則(b-1D，C) 為Compatible對的充要條件是(p，3)=1．

證明由Compatible對定義知，(b-1D，C)為Compatible對的充要條件是矩陣

滿足HH*=3I，而這又等價于

設b∈且b≥2，D，C為整數(shù)集的有限子集且有相同個數(shù)q，0∈D∩C.如果二元組(b-1D，C)成為Compatible對. 此時定義下面集合

類似地，可以定義候選譜集合

在一定條件下，候選譜集合可以成為μ的譜， 見參考文獻[11]．

引理1設b∈且b≥2，D，C為整數(shù)集的有限子集且有相同個數(shù)q，0∈D∩C.如果二元組(b-1D，C)成為Compatible對， 且Zb-1D∩T(b，C)=?， 則Λ(b，C)為μb的譜．

2 主要定理的證明

首先，給出定理1的證明.

定理1的證明記b=3k，k>1，D={0，1，2}，C={0，k，2k}.由命題2知，(b-1D，C) 構(gòu)成Compatible對. 首先，

Zb-1D={ξ:Mb-1D(ξ)=0}=

k((3+1)∪(3+2)).

(8)

另一方面，

(9)

注意到當k≥1時， 顯然有Zb-1D∩T(b，C)=?， 所以由引理1知，Λ(b，C)=Λ為μ3k的譜. 定理得證．

接下來，定理2的證明如下.

定理2的證明記b=3k，k>1，D={0，1，2}，C={0，kp，2kp}， (p，3)=1. 由命題2知，(b-1D，C)構(gòu)成Compatible對. 直接計算可得

(10)

另一方面，

Zb-1D={ξ:Mb-1D(ξ)=0}=

k((3+1)∪(3+2)).

(11)

再根據(jù)式(11)， 得到Zb-1D∩T(b，C)=?， 所以由引理1知，Λ(b，C)為μ3k的譜. 定理得證．

命題3如果p=3k-1， 則pΛ不能成為μ3k的譜．

0≠(3k-1)λ+2k=3kλ+2k-λ=

(3k-1)λ+2k∈(Λ-Λ)〗{0}?Zμ.

即

〈epλ，e-2k〉=0.

例子當k=5時，如果p∈{1，2，4，5}，則由定理2可知，pΛ都為μ15的譜. 由命題3知14不是特征值，另外由命題1知3，6，9，12也不是，而7，8，10，11，13還沒有辦法鑒別是否為特征值. 而對于特征值的完全刻畫更是開放問題，特別是對一般情況的譜測度．