化歸思想方法在偏微分方程求解中的應(yīng)用

（南昌大學(xué) 數(shù)學(xué)系，江西 南昌 330031）

化歸思想方法是指將復(fù)雜難解或生疏未知的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為簡(jiǎn)單容易或熟悉已知的問題，從而使得原問題得以解決的一種思想方法.偏微分方程理論是預(yù)測(cè)自然現(xiàn)象變化和解決復(fù)雜工程技術(shù)問題的有力工具，主要研究偏微分方程定解問題的適定性、解的性質(zhì)及求解方法等基本理論，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一門重要分支.偏微分方程常見的求解方法包括特征線方法、行波變換方法、分離變量方法、球平均方法、降維方法、積分變換方法、變量變換方法、冪級(jí)數(shù)解方法、格林函數(shù)方法和數(shù)值解方法等[1-5].

化歸思想是偏微分方程理論中的重要思想方法，特別是在求偏微分方程的孤立子中具有廣泛的應(yīng)用[6-10].本文以經(jīng)典的KdV 方程為例，利用化歸思想方法求解KdV 方程的孤立子.首先，通過行波變換，將KdV方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)可積的常微分方程，結(jié)合微分方程定性理論，直接求取KdV 方程的孤立波解；其次，通過極限轉(zhuǎn)化，將KdV 方程的周期波解轉(zhuǎn)化為孤立波解；最后，利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 模擬極限轉(zhuǎn)化過程.進(jìn)一步地，通過此方法可以獲得KdV 方程的周期爆破波解和無界波解.

1 KdV 方程的孤立子

利用化歸思想方法求取KdV 方程的孤立子，包括行波變換和極限轉(zhuǎn)化等方法，并且通過數(shù)值模擬驗(yàn)證極限轉(zhuǎn)化過程.

1.1 行波變換

考慮經(jīng)典KdV 方程

通過行波變換

其中：c為正常數(shù)波速，可將方程（1）轉(zhuǎn)化為常微分方程

對(duì)式（3）兩邊同時(shí)關(guān)于變量ξ積分，可得

其中：g為積分常數(shù).為了方便起見，不妨令g=0. 作變換φ′=y，則方程（4）可轉(zhuǎn)化為平面系統(tǒng)

根據(jù)微分方程定性理論，平面系統(tǒng)（5）是一個(gè)具有哈密頓函數(shù)

的哈密頓系統(tǒng).

為得到系統(tǒng)（5）的平面相圖，令f(φ)=-3φ2+cφ，則函數(shù)f(φ)具有2個(gè)零點(diǎn)，分別為φ0=0，.

通過微分方程定性理論可知，(φ0,0)，(φ1,0)分別為系統(tǒng)（5）的鞍點(diǎn)和中心.進(jìn)一步地，借助數(shù)學(xué)軟件Mathematica 可得到系統(tǒng)（5）的平面相圖（見圖1）.

圖1 系統(tǒng)（5）的平面相圖

利用系統(tǒng)（5）的平面相圖，結(jié)合動(dòng)力系統(tǒng)分支理論，可得方程（1）的孤立波解.

定理1對(duì)于任意給定的正常數(shù)c，方程（1）具有孤立波解

證明由圖1 可知，同宿軌Γ1過點(diǎn)(φ0,0)和(φ2,0)，其表達(dá)式為

這里φ0＜φ＜φ2.通過對(duì)式（9）積分運(yùn)算，結(jié)合行波變換式（2），可以得到方程（1）的孤立波解. 證畢.

1.2 極限轉(zhuǎn)化

由圖1 可以看出，當(dāng)φ5向右趨于φ2時(shí)，軌道Γ2逼近軌道Γ1.因此可以通過極限轉(zhuǎn)化獲得方程（1）的孤立波解.

求閉軌道Γ2對(duì)應(yīng)方程（1）的周期波解.注意到，過點(diǎn)(φ4,0)，(φ5,0)的閉軌道Γ2與過點(diǎn)(φ3,0)的特殊軌道Γ3具有相同的表達(dá)式，即

其中：φ1＜φ5＜φ2，且

這里φ3＜φ4≤φ＜φ5，對(duì)式（12）進(jìn)行積分變換運(yùn)算，利用行波變換式（2），得到方程（1）的周期波解

其中

定理2當(dāng)φ5→0.5c時(shí)，方程（1）的周期波解u2(x,t)趨于孤立波解u1(x,t)，即

證明由式（11）（13）（14）式可知，當(dāng)φ5→0.5c時(shí)，有φ3→ 0，φ4→ 0，進(jìn)而

1.3 數(shù)值模擬

通過數(shù)學(xué)軟件Mathematica 模擬定理2 中的極限轉(zhuǎn)化過程（見圖2），從而驗(yàn)證了定理2 中的理論結(jié)果的正確性.

圖2 當(dāng)c=2時(shí)，周期波解 u 2(x ,t)趨于孤立波解 u1 (x, t)的極限轉(zhuǎn)化過程

2 方法應(yīng)用

利用化歸思想方法，同理可以解得特殊軌道Γ3，Γ4，Γ5分別對(duì)應(yīng)KdV 方程的周期爆破波解u3(x,t)、無界波解u4(x,t)和周期爆破波解u5(x,t)，其表達(dá)式分別為

進(jìn)一步地，通過極限轉(zhuǎn)化方法，可以得到周期爆破波解u3(x,t)趨于無界波解u4(x,t).證明過程類似于定理2，在此不再贅述.

3 結(jié)語

本文通過行波變換方法和極限轉(zhuǎn)化方法等化歸思想方法求解了經(jīng)典KdV 方程的孤立子，并且通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了極限轉(zhuǎn)化方法的可行性.進(jìn)一步地，應(yīng)用此方法獲得了經(jīng)典KdV 方程的其它精確行波解.化歸思想方法不僅可以求解經(jīng)典KdV 方程的孤立子，而且適用于其它波動(dòng)方程的求解問題，如mKdV 方程的孤立子和Camassa-Holm 方程的尖孤子，以及導(dǎo)出波動(dòng)方程初值問題的達(dá)朗貝爾公式等求解問題，這為偏微分方程課程的教學(xué)提供了一些參考.