正項級數達朗貝爾判別法的幾點補充

陳實 石昌梅 彭春源 何丁莉

[摘? ? ? ? ? ?要]? 達朗貝爾判別法是判別正項級數斂散性一種非常方便和常用的方法，這種方法對某些級數斂散性的判別卻是無效的.主要通過舉例說明達朗貝爾判別法失效的兩種情況，給出了判別這類級數斂散性的一些方法和思路.

[關? ? 鍵? ?詞]? 正項級數;達朗貝爾判別法;斂散性;失效

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）32-0056-02

無窮級數是數學分析中的一個重要組成部分，無窮級數又分為數值級數和函數項級數，數值級數是研究函數項級數的基礎.函數項級數是用于表示函數的一個重要工具，特別是非初等函數的表示問題.對某些函數，利用冪級數可將其表示成無窮項多項式的和，同時通過選取有限項來近似計算時可以估計其誤差等.所以，無窮級數對于研究函數起到非常重要的作用.

對無窮級數最重要的問題是什么呢？對給定的級數，最核心的兩個問題是：（1）判別所給級數是否收斂;（2）如果級數收斂，則級數的和為多少？所以，對一個級數而言，首當考慮的是其斂散性的判別問題.那么，如何判別一個級數的斂散性呢？有關級數斂散的判別法有很多，常用的方法有：（1）利用級數斂散的定義，將問題轉化為求數列極限的問題，這種方法的前提是所給級數的前n項部分和要能夠比較容易地計算出來，這對許多級數而言都是比較困難的，例如級數;（2）利用級數斂散性的柯西收斂準則，這種方法是級數理論上的一個非常重要的結果，但對具體的級數而言，柯西收斂準則應用起來會比較麻煩，甚至會不易判別;（3）可以借助已知斂散性的級數，以及級數的運算性質來進行判別;（4）利用級數相關判別法，例如比較判別法、柯西判別法、達朗貝爾判別法、萊布尼茨判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法等[1].

正項級數作為數值級數的一類重要類型，其斂散性判別法常用的有比較判別法、柯西判別法和達朗貝爾判別法等，為了使判別法更精細、應用更廣泛，學者們在已有的這些經典方法的基礎上，進一步深入地研究和探討正項級數斂散性的判別方法，例如有關推廣判別法的研究，文獻[2]對拉貝判別法和達朗貝爾判別法進行了進一步的研究，并考慮更精細的級數作為比較標準，從而將已有方法做了兩個推廣;又有將新的級數作為比較標準，得到比較判別法的新審斂法，由此總結出：當正項級數的通項含有ln（n）且較復雜時，可以考慮用此審斂法[3];還有基于柯西積分判別法和比較原理，證明了某些正項級數的斂散性，并將這些結果推廣到更一般的情形[4].關于正項級數的斂散性問題的研究還有很多，例如文獻[5-11]，學者們從不同角度，利用不同的方法和工具對正項級數的斂散性進行探討，例如文獻[5]是利用函數的泰勒展開式以及極限的運算性質，再借助已知級數的斂散性，推導出判別正項級數斂散性的兩種方法，并在此基礎上得到了通項遞減的正項級數斂散性的兩種判別法.

本文主要是在判別正項級數斂散性的達朗貝爾判別法的基礎上，討論該方法的應用問題，其中主要考慮達朗貝爾判別法失效的情形，通過舉例說明達朗貝爾判別法失效的兩種情況，并給出其中某些級數斂散性判別的一些方法.

一、達朗貝爾判別法

正項級數作為一類重要的級數，由于級數理論的復雜性和不確定性，我們看到并不能建立一種萬能的判別方法，因為針對不同類型的級數可能需要應用不同的判別法，所以，這使級數斂散性的判別方法有很多.比較判別法是判別正項級數斂散性一種最基本和最常用的方法.在比較判別法中，當以幾何級數n作為比較的標準級數時，得到了柯西（Cauchy）判別法和達朗貝爾（DAlembert）判別法.柯西判別法和達朗貝爾判別法的極限形式敘述如下：

從定理2的敘述可以知道，達朗貝爾判別法是通過考察比來判斷級數的增長速率的，而且該判別法是具體級數判別問題中非常便利的一種方法.一般地，當級數通項中包含有n的階層或n的次冪時，達朗貝爾判別法都是有效的，我們可以通過下面兩個級數斂散性的判別看到.

從這兩個級數斂散性的判別操作上可以看到，達朗貝爾判別法在實際應用中是非常方便的.那么，達朗貝爾判別法適用于哪些類型級數的斂散性判別呢？從理論上來看，由于達朗貝爾判別法是以幾何級數用，例如，調和級數就無法用達朗貝爾判別法判斷其斂散性. 因此，對達朗貝爾判別法失效的正項級數，如何判別它們的斂散性便成為一個需要討論的問題.下面，我們將討論達朗貝爾判別法失效的兩種情況，并給出其中某些常見類型級數斂散性判別的一些方法和思路，通過實例進行解析.由此希望能給讀者在學習正項級數斂散性判別法時提供一點解題思路和建議.

二、達朗貝爾判別法失效的情況分析

（1）對通項為單調增加數列的級數，可以考慮其通項極限是否為零.

我們知道，收斂級數一個重要的必要條件是其通項極限為零，所以，這個命題的逆否命題為真的，即若級數通項數列的極限不為零，則級數是發散的.因此，如果級數的通項是單調增加的，而且其首項不為零，則此時級數的通項的極限不為零，故可以判斷級數是發散的.我們來看下面具體的例子.

（2）對斂散性比幾何級數慢的級數，可以考慮以比幾何級數斂散更慢的正項級數作為新的比較標準而得到更精細的判別法，這樣判別法適用范圍也將會有所擴大.例如下面的拉貝（Raabe）判別法即是廣義調和級數作為比較級數所得到的判別法.

所以，對斂散性比幾何級數慢的級數，可以考慮用拉貝判別法，甚至用比拉貝判別法更細致的其他推廣形式，例如文獻[2]中的推廣方法等.

參考文獻：

[1]劉玉璉，傅沛仁，林玎，等.數學分析講義（第六版，下冊）[M].北京：高等教育出版社，2019.

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[3]陳翠玲，韓彩虹，李智，等.正項級數審斂法的推廣[J].高師理科學刊，2020（1）：9-11.

[4]盧霖.柯西積分判別法與比較原理的應用[J].高師理科學刊，2020（2）：72-75.

[5]賈瑞玲，崔國忠.基于正項級數比較判別法的探討[J].高等數學研究，2019（3）：6，18-20.

[6]馮潔.運用放大法判定正項級數的斂散性[J].大慶師范學院學報，2019（6）：92-96.

[7]陳飛翔.級數收斂性的判別法[J].課程教育研究，2019（6）：136.

[8]邱晨陽.還有比調和級數發散速度更慢的正項級數嗎[J].高等數學研究，2019（5）：7-9.

[9]李婭.比較判別法在級數收斂性判別上的應用[J].高等數學研究，2019（5）：26-28.

[10]李衛平，紀宏偉.對正項級數斂散性判別方法的研究[J].高等數學研究，2019（5）：8，21-25.

[11]于也淳，鄧雪.正項級數比較判別法極限形式的探析[J].高師理科學刊，2020（1）：6-8.

[12]伍勝健.數學分析（第二冊）[M].北京：北京大學出版社，2010.

◎編輯 馬燕萍