基于矩陣奇異值分解的曲線擬合

畢雄

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?有關(guān)空間直線如何擬合的問(wèn)題，目前最廣泛流行的擬合方法為數(shù)據(jù)直線擬合的最小二乘法，采用一種基于最小二乘法對(duì)矩陣奇異值進(jìn)行分解的空間直線擬合方法。首先對(duì)一些已知數(shù)據(jù)進(jìn)行中心化處理可得到一個(gè)矩陣，接著將矩陣進(jìn)行奇異值分解，那么空間擬合直線方程中的系數(shù)可由相應(yīng)的列向量確定。該擬合過(guò)程結(jié)合已給的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的結(jié)果也比最小二乘法更接近真實(shí)值。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?矩陣奇異值分解;曲線擬合;最小二乘法

[中圖分類號(hào)] ?G642 ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ?[文章編號(hào)] ?2096-0603（2020）36-0124-02

在日常生活中我們常常需要由點(diǎn)到一維直線再到二維平面來(lái)深入研究直線擬合幾何空間的各邊和各個(gè)平面，其中重要的直線擬合方法之一就是最小二乘直線擬合法。對(duì)二維平面上的直線已經(jīng)有很完善的理論且主要方法是依賴于最小二乘直線擬合法。在《計(jì)算方法》一書(shū)中也詳細(xì)介紹了最小二乘直線擬合法的基本原理及其計(jì)算方法和步驟。但是對(duì)復(fù)雜的三維空間而言，直線的計(jì)算和擬合問(wèn)題就變得復(fù)雜了，通過(guò)像二維空間那樣用最小二乘直線擬合法進(jìn)行解決。可是這樣的方法得出的理論和結(jié)果準(zhǔn)確度高嗎，能幫助大家更好地計(jì)算和擬合出一條跟實(shí)際的三位空間直線吻合度高的空間直線嗎？由此，本文將給出另外一種方法——矩陣的奇異值分解（singular value decomposition，簡(jiǎn)稱SVD分解），在用這種直線擬合方法的時(shí)候不需要考慮矩陣中元素的誤差，同時(shí)也不需要對(duì)矩陣進(jìn)行最小二乘法中的迭代算法，只需要對(duì)一個(gè)矩陣進(jìn)行奇異值分解就可以幫助大家計(jì)算出三維空間直線的系數(shù)和較高的準(zhǔn)確度，并且在本文還給大家計(jì)算出這兩種直線擬合方法結(jié)果準(zhǔn)確度的比較。

一、空間曲線擬合理論

因?yàn)樵诙S空間中，常以平面直線的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)研究二維平面上的曲線擬合法，所以同樣在三維空間中用空間直線的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)研究空間曲線擬合法：

（4）得到的空間擬合直線的方程：

-0.3162y+0.9478z=0.00017-0.8452x+0.5071y+0.169z=-2.53577

空間擬合直線的方向向量可表示α=（0.5345 0.8018 0.2637）。

四、兩種方法的結(jié)果對(duì)比

矩陣奇異值分解方法的擬合原則就是根據(jù)各點(diǎn)到擬合直線距離的平方和最小，在擬合直線上任取一點(diǎn)Q，則已知點(diǎn)εi=（xi yi zi）（i=1，2，...，10）到直線的距離di=εiQ·sin∠（εiQ，α）

五、結(jié)論

本文中介紹利用矩陣的奇異值分解的方法求解出擬合直線。不用通過(guò)最小二乘法進(jìn)行計(jì)算，也不需要對(duì)矩陣進(jìn)行迭代算法，只需簡(jiǎn)單地將矩陣奇異值進(jìn)行分解即可確定擬合直線方程的各項(xiàng)系數(shù)。由數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可以看出，如果不充分考慮測(cè)量誤差，該計(jì)算方法對(duì)擬合出的直線效果較好，且操作簡(jiǎn)單易行。

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編輯 王海文