直線與圓錐曲線位置關系探究

王宏偉

【摘要】在高中數學的直線與圓錐曲線位置關系的部分，包括橢圓、雙曲線、拋物線等多種類型的數學知識點，每個類型都經常在高考數學試卷中出現，所以高中生仍需要自我勉勵，努力地鉆研和探究這些數學題目，從而提升高中生對直線與圓錐曲線位置關系的解題能力.

【關鍵詞】高中數學;直線與圓錐曲線的位置關系

從近年來的高考數學試題中可以發現，越來越多地出現關于直線與圓錐曲線位置關系的數學題目，傾向于考查高中生的數形結合能力、數學推理能力，高中生在擁有多方面數學素養的情況下，才可以有效求解題目.并且，這也要求數學教師積極地應對高考數學變化，在教學工作中引導高中生學習更多的解題方法，從而有利于提升高中生的數學成績.

一、直線與圓錐曲線的知識結構

從高中數學教材內容來看，在人教版的選修2-1中包含了關于直線與圓錐曲線的知識點，從近年來我國高考數學試卷中出現的題型來看，直線與圓錐曲線的位置關系的題目出現頻率較大，所以數學教師需要對該類型題目進行深入教學.那么，從高考數學試卷中出現的該類題目種類來看，主要可以分為直線與橢圓、雙曲線的位置關系等問題，這些問題既是重要的數學考點，也是高中生必學的重點知識.但是，從目前學生的做題情況來看，有些學生容易混淆彼此的概念，導致做題效果不好.因此，數學教師需要對這些數學題目仔細講解，將往年的高考考題拿給學生鉆研，從而逐漸提升高中生對直線與圓錐曲線位置關系問題的求解能力.

二、直線與圓錐曲線位置關系探究

1.直線與橢圓的位置關系

例1 （2019年浙江高考數學題）x29+y25=1的左焦點為F，點P在橢圓上，并且在x軸的上方位置，如果線段PF的中點在以原點O為圓心、|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是多少？

解法 假設點F1為橢圓的右焦點，如圖1所示.

從題中可以得知，OF=OM=c=2，再利用中位線定理可以求得PF1=2OM=4.如果假設點P的坐標為（x，y），就可以得出（x-2）2+y2=16，聯立（x-2）2+y2=16，x29+y25=1，可得x=-32或x=212，但是由于x=212不符合該題要求，所以將其舍去，將x=-32代入橢圓方程中，從題目中可知點P在橢圓的x軸的上方位置，可得P-32，152，則kPF=15212=15，即直線PF的斜率為15.

2.直線與雙曲線的位置關系

例2 （2018年天津理科高考數學題）已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A和B兩點，假設A和B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為d1和d2，并且d1+d2=6，則雙曲線的方程為（）.

A.x24-y212=1B.x212-y24=1

C.x23-y29=1D.x29-y23=1

解析 從該題目可知，如果想要求解A和B的坐標位置，需要先使用點到直線距離的公式求出b的值，然后將b的值代入雙曲線方程中求得a的值，這就可以得出最終的雙曲線方程.所以，可以先假設雙曲線的右焦點為F（c，0）（c>0），這就使得xA=xB=c，然后從題目中的雙曲線方程x2a2-y2b2=1，可得y=±b2a2，這時再假設Ac，b2a，Bc，-b2a，將這兩個點的坐標代入漸近線bx-ay=0中，可得d1=|bc-b2|a2+b2=bc-b2c和d2=|bc+b2|a2+b2=bc+b2c，然后可以計算d1+d2=2bcc=2b=6，即b=3，b2=9，然后將b的值代入e=ca=1+b2a2=1+9a2=2中，可得a2=3，這就可以求得最終的雙曲線方程為x23-y29=1，因此C項為正確選項.

結果分析 從該道題目來看，學生可以利用待定系數法進行求解，可以按照“定形—定量”的方法求出標準的雙曲線方程，然后利用與漸近線的關系求得a和b的坐標值，然后將其代入漸近線bx-ay=0中，這就可以順利地求得該段雙曲線的標準方程x2a2-y2b2=λ（λ≠0），然后利用題目中的條件d1+d2=6求得λ值，從而可以最終求出正確的雙曲線方程.

3.直線與拋物線的位置關系

例3 （2018年浙江高考數學題）如圖2所示，已知點P為y軸左側（不含y軸）的一點，拋物線C：y2=4x上存在兩個不同的點A和B，并且滿足PA和PB的中點均在C上.

（1）假設AB的中點為M，證明：PM垂直于y軸;

（2）若P是半橢圓x2+y24=1（x<0）上的動點，求△PAB面積的取值范圍.

解析 （1）首先，為了幫助解題，先假設三個點的坐標P（x0，y0），A14y21，y1，B14y22，y2，由于在題目中已經說明PA和PB的中點落在拋物線上，這就可以將y1和y2的值代入拋物線的方程中，可得y+y022=4×14y2+x02，而這得出的結果是y2-2y0y+8x0-y20=0的實數根，再代入可得y1+y2=2y0，這就說明線段PM與y軸是垂直關系.

（2）從第一個問題可以得方程組y1+y2=2y0，y1y2=8y0-y20，可得|PM|=18（y21+y22）-x0=34y20-3x0|PM|，|y1-y2|=22（y20-4x0），這就可以得出△PAB的面積為S△PAB=12|PM|·|y1-y2|=324（y20-4x0）32，而x20+y204=1（x0<0），這就可以得出y20-4x0=-4x20-4x0+4∈[4，5]，這就說明△PAB的取值范圍是62，15104.

結果分析 從該道題中直線與拋物線的位置關系可知，該道題目主要考查學生的函數轉換能力，學生需要將題目中的多元函數合理地轉化為一元函數，這樣可以降低解題難度，并且需要學生套用拋物線公式求得實數根，以此可以判斷線段PM和y軸的關系，再將關系式套用在第二個問題獲得方程組，這就形成較為復雜的多元方程式，將x2+y24=1（x<0）加入后就可以得出相應的區間，這就是最終的取值范圍.不過，由于該道題目涉及值域，所以還可以利用導數的方法求解.

4.弦長問題

例4 （2018年江蘇高考數學題）在極坐標系中，直線l的方程為ρsinπ6-θ=2，曲線C的方程為ρ=4cos θ，求直線l被曲線C所截的弦長.

解析 從題目曲線C的極坐標方程ρ=4cos θ可得出圓心為（2，0），曲線圍成的圓的半徑為4，當點A（4，0）經過直線l的極坐標方程ρsinπ6-θ=2時，可以獲得此時的傾斜角度為π6，這就說明直線l除了與圓C相交于點A外，還有另外一個交點.那么，可以先假設該交點的坐標位置為B，則∠OAB=π6，在圖3中將O點和B點連接，又由于OA是圓C的直徑，這就可得∠OBA=π2，AB=4cosπ6=23，所以，最終可以求得所截的弦長為23.

結果分析 從該道弦長問題的題目來看，雖然相比之前題目難度較低，但是需要學生利用數形結合、數據建模的方法畫出圖形，這樣有助于學生邊看題邊解題，從而可以提升學生對弦長問題的求解能力.

5.圓錐曲線上點到直線的距離問題

例5 （2017年高考全國文科數學Ⅰ卷）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為x=3cos θy=sin θ（θ為參數），直線l的參數方程為x=a=4ty=1-t（t為參數）.

（1）若a=-1，求曲線C和直線l的交點坐標;

（2）若曲線C上的點到直線l的距離的最大值為17，求a的值.

解析 （1）從題目可知，如果將曲線C的參數方程轉化為x29+y2=1，在a=-1的情況下，使得直線l的參數方程也可以轉化為x+4y-3=0，再將兩個轉化后的方程聯立x-4y-3=0，x29+y2=1，將其求解可得x=3，y=0或者x=-2125，y=2425，這就說明曲線C和直線l相交于（3，0）和-2125，2425兩個點.

（2）從題目可知，在第一個問題中已經將直線l的參數方程轉化為普通方程x+4y-a-4=0，這就可以將（3cos θ，sin θ）代入第二個問題中，可得與直線l的距離為d=|3cos θ+4sin θ-a-4|17.如果在a≥-4的情況下，可以得出最大距離為a+917，則a+917=17，這就可以得出a=8;如果在a<-4的情況下，可以得出最大距離為-a+117，則-a+117=17，這就可以得出a=-16.

結果分析 從該道圓錐曲線上點到直線的距離問題來看，主要考查學生對三角函數有界性的掌握情況，需要先將題目中的參數方程轉化為可以在直角坐標系中顯示的普通方程，然后將曲線和直線兩個方程通過聯立求得交點的坐標位置，然后利用橢圓參數方程推導出點到直線的距離公式，最終通過三角函數的有界性推導出a的值.不過，雖然該部分在高中數學中屬于選修內容，但是對訓練和培養學生的解題能力方面具有促進作用.

6.中點弦問題

例6 （2018年高考全國文科數學Ⅲ卷）在平面直角坐標系xOy中，圓O的參數方程為x=cos θy=sin θ（θ為參數），過點（0，-2）且傾斜角為α的直線l與圓O相交于點A和點B.

（1）求α的取值范圍;

（2）求AB中點P的軌跡的參數方程.

解析 （1）從題目可知，圓P的參數方程可以轉化為x2+y2=1，如果在α=π2的情況下，這時直線l與圓O會有兩個交點，如果在α≠π2的情況下，可以讓tan α=k，使得直線l的方程轉變為y=kx-2，將該方程代入圓O的方程，可得21+k2<1，這就可以得到k<-1或k>1兩個解，再從圖像中找尋其所包含的值域，分別為α∈π4，π2和α∈π2，3π4，由此可見，最終可以求得π4，3π4為α的取值范圍.

（2）從題目可知，直線l的參數方程為x=tcos αy=-2+tsin αt為參數，π4<α<3π4，假設A，B，P三點分別對應tA，tB，tP，這就可以得到tP=tA+tB2，并且tA和tB符合t2-22tsin α+1=0的條件，這就可以得到tA+tB=22sin α，tp=2sin α，再從第二個問題的題目中可知，可以利用中點P的位置關系，將tA和tB代入可得x=tpcos α，y=-2+tpsin α，即軌跡方程為x=22sin 2αy=-22-22cos 2αα為參數，π4<α<3π4.

結果分析 從該道中點弦問題來看，主要考查學生靈活運用中點弦的求解方法，先將圓的參數方程轉化為較為簡單的二元方程，然后分別從α=π2和α≠π2的角度判斷交點的數量和位置，使得可以確保α值的范圍，然后需要充分利用題目中的已知條件，假設A，B，P三點，用于得出新的關系方程，再結合第一個問題就可以得出最終的軌跡方程.因此，該道題目的難度并不高，需要學生加強數學思維轉換能力，從而可以提升學生對中點弦問題的解題能力.

三、結束語

綜上所述，在高中數學教材中，在直線與圓錐曲線的位置關系的內容中，包含多種類型的數學題目，這就需要學生具備處理多種問題的解題能力.因此，高中數學教師需要在課堂教學中引導學生展開多種習題練習，不斷積累該部分知識的解題經驗，這樣才能為提升解題能力打下基礎.

【參考文獻】

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