基于起點究算理 數形結合涵素養
——《兩位數乘兩位數》教材解讀與教學建議

○劉愛東

《兩位數乘兩位數》是人教版小學數學三年級下冊第四單元的內容，是在學生學習了多位數乘一位數的基礎上進行教學的。這是第一學段最為復雜的計算知識，也是整數乘法的關鍵環節之一。尤其是筆算兩位數乘兩位數，與學生已有的豎式經驗相比，無論從思維角度，還是書寫格式上，都有一定的難度。但另一方面，學生只要理解并掌握了筆算兩位數乘兩位數的算理和方法，就能夠自主類推出位數更多的整數相乘的方法，為后續學習三位數乘兩位數、整數四則混合運算等打下扎實的基礎。

一、教材解讀

本單元教學內容在教材中直接用“1.口算乘法”“2.筆算乘法”標出，有利于學生明晰學習思路、開展自主探究。內容主要是學習口算乘法和筆算兩位數乘兩位數，以及運用連乘、連除兩步計算解決問題。

1.口算乘法。

口算乘法包括兩部分內容：

第一部分是兩位數乘一位數（積在100以內的進位乘法）和幾百幾十乘一位數（進位）。例1通過創設搬運草莓的生活情境，提出問題“3筐草莓有多少盒”。在列出算式15×3后，要鼓勵學生自主探究計算方法。教材中呈現了兩種不同的口算思路，這里重點要引導學生掌握將兩位數拆成整十數和一位數，再分別乘另一個因數，最后把兩個部分積相加求出結果的口算方法。教材用小方塊圖，把抽象的算理直觀地呈現出來，便于學生正確理解口算算理，掌握口算方法，而這種“先分后合”的算理和方法，正好與筆算兩位數乘兩位數相一致。再通過“想一想”遷移掌握幾百幾十乘一位數（進位）的口算方法，“做一做”中的對比練習，能使學生進一步發現兩位數乘一位數和幾百幾十乘一位數之間的異同。

第二部分是兩位數乘整十、整百數。例2的編排分兩個層次，其一是結合實物圖“橙子每盒6個，10盒有多少個”，口算一位數乘10，引導學生利用已有知識經驗（表內乘法）先口算出9盒橙子的個數，再加上1盒橙子的個數，來求出總個數。接著，通過口算一位數、兩位數乘10的練習，發現并體會乘10最簡便的口算方法。其二是通過例題“橙子每盒12個，20盒有多少個”發現并體會兩位數乘整十數的口算方法。“做一做”中的對比練習，使學生進一步發現兩位數乘整十數和整十數乘整十數、兩位數乘整百數之間的聯系和區別。

口算是筆算的基礎，教材先安排口算，從算理和方法上為學生學習筆算兩位數乘兩位數做好了必要的準備。

2.筆算乘法。

筆算兩位數乘兩位數不僅是本單元的教學重點，在整個小學階段“數與代數”領域的學習中也起著舉足輕重的作用。教材安排了四道例題，依次教學筆算兩位數乘兩位數（不進位）、筆算兩位數乘兩位數（進位）和運用連乘、連除兩步計算解決問題，由淺入深，有助于學生在自主探索的過程中逐步掌握筆算兩位數乘兩位數的算理和方法，培養學生靈活解決問題的能力。

（1）立足學習起點，感悟算理算法。

筆算兩位數乘兩位數（不進位）的教學，要引導學生立足已有經驗，在完整經歷豎式計算的過程中，促進學生對算理的理解，厘清乘的順序、各部分積的書寫位置和各部分積的實際含義。例1依據王老師買書的情境呈現乘法算式14×12后，鼓勵學生結合直觀形象的點子圖自主探索計算方法，如可以把4套書看成1份，12套書就是這樣的3份，先算出1份有多少本，再算出3份共有多少本；也可以先分別算出10套和2套書的本數，再算出一共有多少本。接著，結合第二種計算方法，通過“想一想”引出豎式計算方法，突出豎式計算過程，具體說明各部分積的實際含義和書寫位置，使學生認識到筆算兩位數乘兩位數，要先用第一個乘數分別去乘第二個乘數個位和十位上的數，再把兩次乘得的積相加。應該注意的是，在乘第二個乘數十位上的數時，由于得到的數表示若干個十，所以，個位上的0省略不寫，所乘得的數的末位要和十位對齊。

（2）開放探究時空，形成知識體系。

筆算兩位數乘兩位數（進位）的教學，要引導學生適當總結筆算兩位數乘兩位數的計算方法，打通多位數乘一位數、兩位數乘兩位數（口算、筆算）之間的聯系，建構知識體系。例2通過創設給春風小學37個班發放酸奶的情境，呈現算式48×37。先是利用估算的策略對乘積進行初步判斷，培養學生的估算能力；接著，在給出的不完全的豎式中，引導學生探究筆算的方法。例2與例1的算理相同，只是計算過程中需要進位，因此可放手讓學生自己嘗試。然后通過小組討論等方式，進一步明確筆算兩位數乘兩位數的計算方法，總結計算法則。既有助于學生個性化表達對筆算兩位數乘兩位數算理和方法的理解，又較好地體現出數學抽象的規范性和簡潔性。

（3）靈活解決問題，彰顯計算價值。

運用連乘、連除兩步計算解決問題的教學，一方面能夠為學生提供更多的兩位數乘兩位數的練習機會，體悟所學計算的應用價值；另一方面，也促進學生對乘法運算的一些基本規律和特點有更深的感悟，從而提高分析問題和解決問題的能力。例3、例4運用連乘、連除兩步計算解決問題，必須要弄清楚“先求什么，再求什么”，這兩個例題都體現了解題方法的多樣性，要讓學生理解對于不同的解題方法第一步求的是不一樣的。例3中綜合算式是教材直接給出的，而例4需要學生自己列出算式，尤其是第二種方法有一定的難度，需要學生理解計算內容的順序，如果先計算60人分成幾組，則需要先計算3×2，因此要添寫小括號，否則運算順序和計算結果都有可能發生變化。

二、教材編排特點

關于《兩位數乘兩位數》這一單元，目前使用的教材與原來使用的實驗教材相比，既保持了原教材的優點，同時又呈現出一些新的特點。

1.重視估算策略，調整估算教學編排。

教材十分重視估算教學在日常生活中的廣泛應用，打破了原來“先口算—再估算—再筆算”的編排順序，把乘法估算提前安排到第二單元《除數是一位數的除法》中，作為解決實際問題的方法和策略進行教學，再在筆算乘法時加以應用。因此，教材按照“先口算—再筆算—再解決實際問題”的順序進行編排，同時把已掌握的估算方法穿插在筆算乘法（例2）等解決實際問題中。這樣的編排，體現了估算對于解決實際問題的重要作用，引導學生學會運用估算解決實際問題，在實踐中逐步形成估算意識，掌握估算策略，提高估算能力。

2.借助幾何直觀，理解算理掌握算法。

教材不僅把例題置于學生常見的生活情境中，激發學生的數學經驗與學習興趣，同時充分發揮圖形的直觀形象、易操作等優勢，幫助學生理解兩位數乘兩位數的算理，掌握算法。如學習口算兩位數乘一位數時，教材安排了擺方塊的方法幫助學生理解；學習筆算兩位數乘兩位數（不進位）的計算時，利用點子圖放手讓學生去思考、探究算法、理解算理，進而得到乘法豎式，不僅讓學生經歷了算法的多樣化，而且能體會到乘法算式的簡潔有效；其余例題也是通過常見的圖形，引導學生在數形結合中親歷建構兩位數乘兩位數的數學模型的過程，不僅能有效地幫助學生理解算理、掌握算法，同時也為學生提供了數學思考、數學交流的機會，有利于培養學生的數感和推理素養。

3.注重探究規律，培養數學高階思維。

在教學中，利用計算過程中算法的一致性或相似性尋找規律，促進計算方法的有效遷移。如學習口算乘法例1，在學生學完15×3的口算方法后，接著就呈現150×3，讓學生在比較的過程中，體悟兩道口算題之間的聯系與區別。再如學習筆算乘法例2，讓學生在已經學會兩位數乘兩位數（不進位）的算理、方法和格式的基礎上，自主探究兩位數乘兩位數（進位）的計算法則。學生經歷“探究方法—明確算理—總結算法”的學習過程，不僅對計算知識有較為深刻的理解，同時也是獲得數學基本思想方法的過程，由具體題目的計算上升到對一般方法的抽象概括，由對算理的感性認識上升到對方法的理性認識。

4.重視問題意識，提升問題解決能力。

教材努力呈現這樣的教育思想:一是通過計算教學，努力讓學生體會到數學具有重大的工具性作用，使學生意識到計算是幫助我們解決問題的工具，計算具有廣泛的應用性；二是通過計算教學，努力讓學生形成數學思維的方法，即面對具體的問題時，能夠用數學的眼光判斷是否需要計算，如果需要，則選擇合適的計算方法解決問題。教材新增了兩個解決問題的例題，其余例題和大多數的練習也都設置了豐富的情境，問題的解決注意體現策略的多樣性和策略優化的過程，能夠有效提高學生解決問題的能力。

三、教學建議

1.注重方法指導，形成口算技能。

教師應重視引導學生由兩位數乘一位數的口算方法，類推出兩位數乘整十數、整百數的口算方法。鼓勵學生聯系相關生活經驗，自主探索口算兩位數乘兩位數的簡便計算過程，并能結合直觀形象的方塊圖（例1）、水果圖（例2），用語言正確地表述出口算過程中每一步的意義，在充分理解算理的基礎上，逐步掌握形式化的口算方法，形成正確、迅速的口算技能。比如，兩位數乘整十數的口算，可以先算出兩位數乘一位數的積，再在所算出的積的后面添上一個0；兩個整十數相乘的口算，可以先算出一位數乘一位數的積，再在所算出的積的后面添上兩個0。同時可以通過題組練習，促進學生不斷鞏固認知，加強理解。

2.厚實探究過程，深刻理解算理。

（1）發揮原有計算經驗的效用。

學生前面學習兩位數乘一位數、口算兩位數乘兩位數時的經驗，為學習新知打下基礎。要引導學生善于把新的計算問題轉化為已經學過的計算，或聯系已有相關計算原理的認知，對新的計算方法進行類推、解釋，確保學生在積極的思維狀態中多角度關注和探究算理算法。如教學豎式14×12時，可以組織學生討論：第一步是計算哪兩個數相乘？14×2算到的是幾套書的本數？第二步是計算哪兩個數相乘？14×10算到的是幾套書的本數？為什么豎式中的14能夠表示140？

（2）注重直觀模型的應用。

筆算兩位數乘兩位數的難點在于如何借助直觀的算理獲得抽象的算法，而點子圖就是溝通直觀算理和抽象算法的橋梁。教師要引導學生利用點子圖，自主探究筆算兩位數乘兩位數的方法與得數，理解拆分方法的合理性，讓學生更加直觀、清楚地理解算理、掌握算法，融通口算和筆算方法，真正實現以理馭法。

此外，還要重視驗算方法的指導、驗算習慣的培養。幫助學生逐步養成自覺驗算的好習慣，提升計算正確率，優化計算能力。

3.豐富解題策略，優化思維品質。

用兩步連乘或連除解決的實際問題中，由于已知條件變成了三個，所以往往會有不止一種正確的組合方式，從不同的角度分析就有可能得到不同的解決問題的方法。要引導學生對不同的算式進行適當的比較，體會解決問題的多樣化，即針對同一題列出的不同算式，每一步計算的實際意義也各不相同，但這些連乘或連除的算式所表示的結果卻是相同的。如例3、例4都呈現了兩種計算方法，有助于培養學生靈活應用信息解決問題的能力。

資料存盤

1.《兩位數乘兩位數》課標解讀。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在“學段目標”的“第一學段”中提出：能計算兩位數乘兩位數的乘法；認識小括號，能進行簡單的整數四則混合運算（兩步）；能結合具體情境，選擇適當的單位進行估算，體會估算在生活中的作用；經歷與他人交流各自算法的過程；能運用數及數的運算解決生活中的簡單問題，并能對結果的實際意義作出解釋。

2.格子乘法。

格子乘法由古代阿拉伯傳入我國，明朝《算法統宗》里稱為鋪地錦。比如，計算46×75，先把因數分別寫在上邊和右邊，然后，計算6×7=42，寫在右上角的格子里，左邊寫4，右邊寫2，以此類推，填好格子。最后，把同一斜線格上的數相加，和寫在相應的斜線格外面。從右下角開始，第一條斜線格上單獨一個0，在格子外寫0；第二條斜線格上“2+3+0＝5”，在格子外寫5；第三條斜線格上“4+8+2＝14”，格子外寫4，1進到下一斜線格中；第四條斜線格上的2，與進位1相加得3，在格子外寫3。由此得到：46×75=3450。

3.特殊的兩位數乘兩位數的計算方法。

如果兩個兩位數的十位相同，個位數相加和為10，那么可以根據口訣“十位乘以大一數，個位之積后面拖”，求出這兩個數的乘積。比如，54和56這兩個兩位數的十位都是5，個位數之和是10，則它們乘積的前兩位是5×（5+1）=30，后兩位就是4×6=24，也就是說，54×56=3024，類似的，47×43=2021，25×25=625……這種速算方法，可用含有字母的式子推導得出：（10x+y）【10x+（10-y）】=100x（x+1）+y（10-y），對任意x和y都成立。