帶有引誘角色的多飛行器協同最優制導方法

王少博，郭楊,2,*，王仕成，劉志國，張帥

1. 火箭軍工程大學 精確制導與仿真實驗室，西安 710025 2. 西北工業大學 航天學院，西安 710072

隨著未來戰場環境的愈加復雜和反導武器系統智能化程度的提高，單枚導彈對攔截器的有效突防變得越來越困難，且技術實現上也變得越來越復雜。研究者們開始意識到可以采用帶防御器的多導彈協同制導技術實現我方導彈的突防與反攔截，因為這種技術在提高高價值飛行器的突防概率的同時，還可以擴大對攔截器的攔截范圍[1]。本文考慮我方突防器作為引誘角色，攜帶并配合兩枚防御器協同反攔截敵方攔截器的情形。在后續的研究中可知這種協同方式是一種顯式的協同[2]，它更加深入地考慮了彈間的內在聯系，所以研究這種協同方式具有重要的現實意義。

就現有的文獻來看，可將協同制導方式劃分為兩大類：顯式的協同和隱式的協同[2]。隱式的協同，本質上是多對一制導中的每個個體，根據提前設定好的協調參數，執行一對一交戰方案，共同打擊一個目標的聯合行為。例如，Jeon等[3]提出的碰撞時間控制制導律(Impact-Time-Control Guidance,ITCG)制導律，對每一枚導彈預先指定了一個共同的到達時間，所有的導彈依據這個共同時間同時到達目標。相對應的顯式的協同，能夠在制導的過程中考慮并實時協調個體之間的內在關系，調節整個團隊的某些性能指標，降低個體之間差異性，協同完成作戰任務。

在多導彈協同反攔截技術中比較典型的是三體(突防器-防御器-攔截器)協同制導問題，三體協同制導指的是突防器針對來襲攔截器發射一枚防御導彈，對攔截器進行反攔截以保護自己。最早研究三體協同制導的是Boyell[4-5]，給出了三體問題的運動學結論，推導出了常定方位碰撞過程的閉式關系。近幾年Ratnoo和Shima、Yamasaki和Balakrishnan率先研究了三體制導問題。Ratnoo和Shima[6]提出了一種防御器利用指令視線角(Command-to-LOS，CLOS)方法的制導律，考慮了各種攻擊幾何和攻擊者機動的情況。后來，他們在文獻[7]中又分析了采用比例導引(PN)制導律和純追擊制導的攻擊導彈對抗采用PN和CLOS策略的防御器的情形，給出了不同情況下的邊界條件。Yamasaki和Balakrishnan[8-9]基于最優控制理論和速度誤差反饋，研究了修正的CLOS制導的問題，但是這種方法會造成比較平直的彈道。上述的研究都沒有考慮突防器與防御器的配合，協同程度較低，是一種隱式的協同制導方式。考慮到實際戰場環境中需要實時地對攔截器的運動狀態進行探測和估計，Shaferman和Shima[10]提出了一種多模自適應協同制導律，將探測估計問題加入到了三體制導中。文中突防器作為引誘角色配合防御器執行躲避機動，使得防御器能以較小的能量消耗攔截敵方攔截器。

考慮到制導過程需在有限時間內完成，描述末制導過程的模型只有在有限時間間隔內才有意義，國內的許多學者開始用有限時間理論[11-12]來設計制導律。在目標對攔截器執行引誘機動的情況下，Guo等[11]研究了有限時間約束下的三體攔截制導情形。提出了線性系統輸入輸出有限時間穩定(IO-FTS)方法，同時提出了有限時間有界約束下的線性系統IO-FTS的充分條件。在Guo等[11]的基礎上，張帥等[12]提出了一種帶攔截角約束的FTCG協同制導方法。引入度量矩陣反映系統有限時間輸入輸出的穩定性，基于微分矩陣不等式設計了狀態反饋控制器，能確保有閉環系統限時間輸入輸出穩定。后來，張帥等在文獻[12]的基礎上，又研究了突防器與兩個防御器相配合并施加一個預置攔截角的反攔截情形[13]，但是文獻[13]是分離設置兩個防御器的攔截角的。此外，上述文獻中利用有限時間理論所設計的制導律都不能得出控制器的解析解。

針對突防器與防御器在制導過程中需要實時協同，設計合適的控制器成為必不可少的部分。最常用的方法是采用最優控制理論[14-15]和微分對策理論[16]來設計控制器，這樣設計出的控制器能夠得出控制輸入的解析解。Shima[14]在考慮單側最優控制問題的基礎上，針對攻擊導彈采用PN、擴展比例導引(APN)和最優控制制導律(OGL)這3種情況首先給出了突防器與防御器協同制導策略，此外又給出了攻擊導彈沒有被防御器攔截時的最優一對一目標規避策略。在文獻[14]的基礎上，Prokopov和Shima[15]考慮了針對3種不同協同方式的線性二次協同制導策略。結果表明，突防器-防御器的性能依賴于協同的方案，驗證了突防器配合防御器機動的協同方式是最好的。文獻[16]利用微分對策理論提出了一種雙側最優協同制導律，考慮了突防器-防御器組與攔截器的博弈對抗情形。文中針對任意階線性動力學問題，采用末端投影變換的方法降低了問題的階數，簡化了推導的過程。利用線性二次微分對策公式分析了在連續域和離散域上的任意階線性動力學問題。Kumar和Shima[17]提出了一種非線性的協同防御制導律，與之前提出的線性化的方法不同，非線性方法確保了制導策略即使在大的航向角誤差的情況下也是有效的。Weiss等[18]基于所需攻擊者攻擊的最大化脫靶量和目標規避的最小控制提出了兩種制導算法。此外，在考慮不依賴導彈間實時通信的情況下，文獻[19]采用集中式“領彈-從彈”協同制導架構，設計了從彈的3種末制導律，實現了無導引頭下對目標的精確打擊。

從已有的國內文獻來看，大多數集中在對相同角色的多導彈飛行器協同制導研究中，對不同角色的多導彈的協同制導研究較少。現有的多導彈協同反攔截技術大多考慮突防器和單枚防御器的協同制導情形，要使得突防器協同兩枚或多枚防御器對攔截器實現較好的攔截效果還需要深入的研究。此外，還需將諸如引誘[10-15]或探測[19-23]等不同的角色加入到多導彈協同制導中以實現更加深度的協同。因此，本文考慮了在制導末端施加相對攔截角的帶有引誘角色的顯式協同反攔截方案，該方案實現了突防器與兩枚防御器的深度協同。

綜上，本文在文獻[13,23]的基礎上，基于最優控制理論，針對突防器發射兩枚防御器協同反攔截來襲攔截器并施加一個相對攔截角的情形，提出了一種帶引誘角色的顯式協同制導律。相比于文獻[23]提出的隱式協同，本文在制導律設計中，考慮了突防器與兩防御器的協同。相比于文獻[13]，通過建立性能指標，求解了突防器和兩防御器三者最優控制輸入的解析解。本文設計的制導律能夠保證兩防御器都能成功攔截攔截器，且能在攔截末端施加預置的相對攔截角。同時，所設計的制導律在不同的發射條件下具有較好的穩定性。

1 問題描述

本文考慮一個突防器、2個防御器與一個攔截器交戰的情形。在XI-OI-YI慣性坐標系下建立動力學與運動學模型。下標D1和D2分別表示防御器1和防御器2。a、v、q、r和γ分別表示法向加速度、速度、視線角、相對距離和航向角，下標E和P分別表示突防器和攔截器。防御器1和攔截器之間的終端攔截角為γD1+γP，防御器1和攔截器之間的終端攔截角為γD2+γP。當2個防御器同時到達時，它們之間的夾角為γD1-γD2。圖1為突防器、防御器1、防御器2和攔截器之間的運動模型。

圖1 多導彈協同攔截交戰

從圖1中可以得知在制導末端施加的攔截角是2個防御器之間的相對攔截角。本文的模型是建立在以下的假設下：

假設1突防器、防御器1、防御器2和攔截器的模型建立在二維平面質點運動空間下。

假設2假設突防器、防御器1、防御器2和攔截器的速度恒定，在碰撞三角形成立的條件下，他們的相對運動速度恒定。

假設3假設攔截器采用帶有修正項比例導引對突防器進行攔截。

1.1 動力學與運動學模型

突防器與攔截器交戰過程可以表示為與突防器相關的極坐標(r,q)的形式，即

(1)

(2)

對式(2)兩邊分別對時間進行求導，可得

(3)

相似地，可以得到防御器與攔截器之間的極坐標形式，即

vPcos(γP+qPD1)

(4)

(5)

vPcos(γP+qPD2)

(6)

(7)

對式(5)和式(7)兩邊分別對時間進行求導，可得

(8)

(9)

式中：a′Di為aDi在視線上的分量。

(10)

假設在整個制導過程中，4個飛行器都具有一階線性動力學特性，則

(11)

式中：aic為飛行器的指令加速度；τi為飛行器的過載響應時間常數。

根據假設3，可以得出攔截器制導律，其指令加速度為

(12)

式中：N、K和aPmax分別為攔截器制導過程中的導航參數、修正系數和過載限制。

在交戰的后期會形成3個碰撞三角形，它們分別是突防器與攔截器、防御器1和攔截器及防御器2與攔截器之間的。根據假設2，一旦碰撞三角形形成，就可以針對非線性運動方程作線性化處理。此時，各視線的法向加速度可表示為

a′E=aEcos(γE0-qPE0)

(13)

a′P=aPcos(γE0+qPE0)

(14)

a′Di=aDicos(γDi0-qPE0)

(15)

突防器與攔截器之間的初始相對距離為rPE0。相似地，防御器1與攔截器之間的初始相對距離為rPD10，防御器2與攔截器之間的初始相對距離為rPD20。在線性化的假設下，它們之間的相對速度是一個常值，且攔截時間是固定的，滿足:

(16)

(17)

(18)

顯然，確保突防器與防御器1和防御器2成功協同的必要條件是tfPE>tfPD1，tfPE>tfPD2，當t=min(tfPD1,tfPD2)時，制導過程結束。

通過以上的分析，結合式(3)、式(8)～式(12)，可以設定系統的狀態變量為

(19)

式中：xγ1和xγ2分別為防御器1和攔截器與防御器2和攔截器之間的終端攔截角γD1+γP和γD2+γP。本文中將控制2個防御器在制導末端形成預置的相對攔截角。

1.2 突防器配合防御器協同交戰

突防器配合防御器1和防御器2協同交戰的方式是一種顯式的協同。在這種情況下，突防器能配合防御器1和防御器2協同機動，提高攔截性能，由式 (2)、式(5)、 式(7)、式(10)和式(11)可以得到狀態方程：

(20)

A(t)=

(21)

|uDi|≤uDmax，uDmax為防御器的過載限制。由突防器、防御器1和防御器2的加速度指令組成，即uE=aEC，uD1=aD1C，uD2=aD2C。

相應的B(t)可以表示為

(22)

式中:可設

(23)

(24)

(25)

1.3 突防器不配合防御器協同交戰

突防器不配合防御器1和防御器2協同交戰的方式總體來看是一種隱式的協同。在這種情況下，突防器只負責執行自己的任務，不配合兩個防御器進行機動，防御器1和防御器2兩者之間進行顯式的協同，可以得到狀態方程

(26)

此時，相應的B(t)和G(t)可以表示為

(27)

(28)

其中定義

(29)

(30)

2 最優協同制導律設計

本文設計的制導律要滿足在突防器顯式協同的情況下，防御器1和2可實現對攔截器的有效攔截，使得攔截脫靶量和能量消耗盡量最小，且在攔截終端施加一個相對攔截角。

可將攔截器進入制導盲區時刻的零效脫靶量作為末端攔截時刻的脫靶量，即

(31)

注1綜合考慮攔截脫靶量、終端攔截角和能量消耗3個方面，本文采用最優控制理論設計制導律。需要設立包含上述3個方面在內的目標函數，依據目標函數求解突防器與防御器1和防御器2協同的最優控制輸入，滿足制導律設計的要求。

2.1 目標函數

在本文中考慮一種特殊情況，防御器1和防御器2的攔截時間一致，即tfn=tfPD1=tfPD2。

注2在制導過程中，要求以最小的機動控制要求，在攔截時達到最小的攔截脫靶量，且施加一個設定好的終端攔截角γD1-γD2，因此可以得到目標函數為

(32)

權重系數α1、α2和β是非負的，xγi=γT+γi。當αi→∞時，可以對攔截器產生完美的攔截。相似地，當β→∞時，可以在2個防御器之間產生完美的攔截角。

2.2 模型降階

注3為了降低求解問題的階數，得到控制輸入的解析解，在此引入終端投影法對模型進行降階處理，引入新的狀態變量Z(t)。

Z(t)=DΦ(tfn,t)x(t)

(33)

式中：Φ(tfn,t)為與式(21)相關的狀態轉移矩陣；D為常值向量，用來分離狀態變量x(t)中的元素。

因為

(34)

結合式(34)和新的狀態變量Z(t)對時間的導數，得到

=DΦ(tfn,t)Bu(t)

(35)

將Dq1、Dq2、Dγ1和Dγ2代入式(33)中，得

Zqi(t)=DqiΦ(tfn,t)x(t)

(36)

Zγi(t)=DγiΦ(tfn,t)x(t)

(37)

式中：i={1,2}；Zqi(t)記為零效脫靶量；Zγi(t)記為零效航向角度。

使用終端投影法降階得到新的變量，式(32)的目標函數可表示為

(38)

3 求解最優協同制導律

3.1 顯式的制導律

在突防器配合防御器1和防御器2協同交戰的情況下，所設計的制導律為顯式的制導律。

(39)

式中：

(40)

(41)

目標函數的Hamiltonian函數為

(42)

由橫截條件得

λZ1=α1Zq1(tfn)

(43)

λZ2=α2Zq2(tfn)

(44)

λZγ1=β[Zγ1(tfn)-Zγ2(tfn)-Δ]=βΔZγ(tfn)

(45)

λZγ2=-β[Zγ1(tfn)-Zγ2(tfn)-Δ]=-βΔZγ(tfn)

(46)

式(45)和式(46)中的ΔZγ(tfn)表示防御器1和防御器2在攔截時的攔截角誤差。

由控制方程得

(47)

(48)

(49)

將式(47)～式(49)分別代入式(40)和式(41)可得

(50)

(51)

(52)

(53)

對式(53)兩邊從t到tfn積分，并整理可得齊次線性方程組Zi(t)=L(t)Zi(tfn)，即

(54)

式中：L(t)為積分后整理得到系數矩陣。

求解式(54)可得

(55)

(56)

(57)

式中：

N=lq11lq22lγ3-lq11lq23lγ2-lq12lq21lγ3+lq12lq23lγ1+

lq12lq21lγ2-lq13lq22lγ1

將式(55)～式(57)分別代入到式(47)～式(49)中，得

(58)

式中：i∈{E,D1,D2}，導航增益參數如下：

Zq1(t)和Zq2(t)分別為防御器1和防御器2的零效脫靶量；ΔZγ(t)為防御器1和防御器2相對于攔截器的零效航向角誤差。

3.2 隱式的制導律

在突防器不配合防御器1和防御器2協同交戰的情況下，所設計的制導律為隱式的制導律。在設計制導律時，考慮突防器針對攔截器做最優躲避bang-bang機動[14]。根據突防器與攔截器的相對運動學，得到兩者之間的狀態方程。

(59)

式中：

AE(t)=

uE=uEmaxsign(sPE)sign(ZPE(t))

(60)

式中：uEmax為突防器的最大指令加速度；

sPE=DEΦ(tfPE,t)BE；ZPE(t)=DEΦ(tfPE,t)xE。

(61)

(62)

(63)

目標函數的Hamiltonian函數為

(64)

橫截條件與顯式下情形相同，由控制方程得

(65)

(66)

將式(65)和式(66)分別代入式(62)和式(63)可得

[Zγ1(tfn)-Zγ2(tfn)-Δ]

(67)

[Zγ1(tfn)-Zγ2(tfn)-Δ]

(68)

[Zγ1(tfn)-Zγ2(tfn)-Δ]

(69)

[Zγ1(tfn)-Zγ2(tfn)-Δ]

(70)

對式(70)兩邊從t到tfn積分，并整理可得齊次線性方程組Zi(t)=L(t)Zi(tfn)，即

(71)

式中：L(t)為積分后整理得到的系數矩陣。

求解式(71)可得

(72)

(73)

(74)

式中：

N=lq11lq22lγ3-lq11lq23lγ2-lq12lq21lγ3+

lq12lq23lγ1+lq12lq21lγ2-lq13lq22lγ1。

將式(72)～式(74)分別代入到式(65)和式(66)中，得

(75)

式中：i∈{D1,D2};導航增益參數如下：

4 仿真分析

在本節中，將分析第3節設計的突防器、防御器1和防御器2三者協同的最優制導律(顯式的協同)的性能，并與突防器不與兩個防御器協同的最優制導律(隱式的協同)進行比較。

在仿真中，攔截器采用APN制導律對突防器進行攔截，突防器發射兩枚防御器對攔截器進行反攔截，所以突防器、防御器1和防御器2的初始發射位置相等。由先前的假設可知，防御器1和防御器2的攔截時間相等，所以它們的速度相等。此外，根據文獻[23]，當相對攔截角在30°與65°之間時，兩防御器之間能產生較好的攔截性能，所以本文設定相對攔截角30°。為具體的仿真參數可參照表1。

表1 仿真參數

續表1

4.1 顯式的協同

圖2為突防器、防御器1和防御器2三者協同下的攔截交戰圖。可知，在攔截器對突防器進行攔截時，突防器發射兩枚防御器對攔截器進行反攔截的同時，執行引誘機動，協助兩枚防御器在坐標點(12 950 m, 4 543 m)成功實現對攔截器的反攔截，并在攔截末端形成一個預置的30°的攔截角。

圖2 顯式的協同：多導彈協同攔截交戰

圖3為突防器、防御器1和防御器2的加速度曲線變化圖。可知，在三者的相互協同下，突防器的最大需用加速度為12.91 m/s2，2個防御器的加速度都達到了過載限制150 m/s2。當敵方攔截器的加速度不受限制時，其最大需用加速度為108.1 m/s2，顯然，此種情形攔截器的作戰效費比較大。此外，在突防器的協同下，防御器1和防御器2的加速度變化基本相同。這說明，突防器的協同機動過程可以使得防御器1和防御器2都能同時達到一個較好的制導效果。此外，圖中顯示在將要達到攔截點附近時，它們的加速度趨近于0，此時三者均作勻速運動。

圖3 顯式的協同：加速度的變化

圖4為防御器1和防御器2的能量消耗隨時間變化圖，在10～12 s之間因為加速度變化劇烈，所以消耗的能量增加較快，在12 s以后基本穩定下來。在最終時刻防御器1的能量消耗略大于防御器2的能量消耗。

圖5為突防器、防御器1和防御器2的視線角速率變化圖。可知，防御器1和防御器2的視線角速率最終都能穩定地收斂到0附近，結合式(31)可知防御器1和防御器2能以較小的脫靶量攔截攔截器。

圖4 顯示的協同：能量消耗的變化

圖5 顯式的協同：視線角速率的變化

圖6為防御器1和防御器2之間的相對攔截角變化圖。可知，防御器1和防御器2在制導過程中不斷調整它們之間的夾角，并在攔截終端達到設定的預置相對攔截角。圖中的最終相對攔截角為29.84°，與設定的30°存在0.06°的偏差。

圖7以防御器1為例，視線角速率隨其過載限制的變化圖。可知，隨著防御器過載限制的減小，視線角速率在逐漸減小。根據式(31)，視線角速率與脫靶量成正比關系，這說明過大的過載限制會降低防御器的制導性能。同樣地，較大的攔截器過載限制會降低其對突防器的攔截性能。

圖6 顯示的協同：相對攔截角的變化

圖7 顯式的協同：視線角速率隨防御器過載限制的變化

4.2 與隱式的協同進行比較

通過對3.2節中設計的隱式協同制導律進行仿真驗證得到:

圖8為突防器不配合防御器1和防御器2協同的攔截交戰圖，防御器1和防御器2僅知道突防器未來的機動，無法與突防器進行實時的協同，且它們兩者協同施加一個預置的攔截角。

圖8 隱式的協同：多導彈協同攔截交戰

圖9為突防器、防御器1和防御器2的加速度變化曲線，突防器執行最大指令加速度為50 m/s2的bang-bang最優躲避機動，此時，防御器1和防御器2的加速度均達到了過載限制值，相比于顯示的協同，在突防器實行躲避機動的情況下它們的加速度變化比較劇烈，且三者對機動的要求較高。當敵方攔截器的加速度不受限制時，其最大需用加速度為147 m/s2，相比于隱式的協同，顯式的協同提高了敵方攔截器的作戰效費比。

圖9 隱式的協同：加速度的變化

圖10 隱式的協同：能量消耗的變化

圖10顯示了在突防器執行最大指令加速度為50 m/s2的bang-bang最優躲避機動情況下的防御器1和防御器2的能量消耗圖。由圖中可知，隱式協同下的兩個防御器的能量消耗遠遠大于顯示協同下的對應的防御器的能量消耗。且在隱式協同下兩防御器的能量消耗相差較大，在12 s之前的制導過程中，兩者的能量消耗一直在快速增加。顯然，顯式的協同可以大大節約防御器1和防御器2的能量消耗。

這表明，所設計的最優制導律在突防器配合機動的情況下，能夠有效地減少三者所需的加速度和能量消耗。

圖11顯示了在隱式協同的情況下，防御器1和防御器2的視線角速率最終能夠收斂到0附近。能夠以較小的脫靶量攔截攔截器。圖12顯示了在隱式的協同下，防御器1和防御器2能在攔截末端達到預置的相對攔截角。

圖11 隱式的協同：視線角速率的變化

圖12 隱式的協同：相對攔截角的變化

4.3 不同初始發射條件對協同制導律的影響

當面對不同的作戰任務時，防御器也會面臨不同的戰場發射環境，所以設計的制導律在確保制導精度的穩定性上顯得尤為重要。基于所設計的顯式的最優制導律，本節分析了在不同初始發射條件下的制導性能。當防御器從突防器上發射出去之后，不同的發射環境將最終影響初始的視線角速率。

在設置相對攔截角為30°的情況下，仿真中研究了5種不同的初始發射條件(初始視線角速率)對制導性能的影響。2個防御器的初始發射參數見表2。

表2 初始發射參數

圖13和圖14分別為防御器1和防御器2在5種不同初始值情況下的視線角速率變化圖。由圖可知，在5種不同初始值情況下，防御器1和防御器2的視線角速率最終都能收斂到0附近。

圖15為在5種不同初始值情況下的相對攔截角的變化圖。可知，在5種不同的初始值情況下，防御器1和防御器2最終都能在制導末端施加預置的30°的相對攔截角。

上述仿真驗證了所提制導律的有效性，同時也表明了在不同的發射條件下，所提制導律能保持較好的穩定性。

圖13 防御器1的視線角速率變化

圖14 防御器2的視線角速率變化

圖15 相對攔截角的變化

5 結 論

1) 針對我方飛行器發射兩枚防御器有效攔截對方攔截器的突防問題，提出了一種帶引誘角色的顯式協同制導律，并將其與隱式的協同制導律進行比較，仿真結果表明顯式的協同優于隱式的協同。

2) 所設計的制導律將脫靶量、能量消耗和施加末端相對攔截角考慮在目標函數的建立中，利用最優控制理論求得了不同策略下的控制輸入。

3) 本文沒有考慮制導過程中的探測估計問題，探測效果影響著制導的效果和精度，未來有必要將探測角色加入到協同制導律的設計中，實現探測制導一體化設計。