利用逐次近似法對三維非規則彈性海底條件下聲傳播特點的分析

楊士莪

(1. 哈爾濱工程大學 水聲技術重點實驗室， 黑龍江 哈爾濱 150001；2. 海洋信息獲取與安全工業和信息化部重點實驗室(哈爾濱工程大學)，黑龍江 哈爾濱 150001；3. 哈爾濱工程大學 水聲工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

海區環境條件對聲波在海中的傳播規律有決定性影響，但復雜環境下聲場所應滿足的波動方程式很難求得相應的解析解，不便于進行理論分析，而利用拋物近似等數值方法又僅能適用于極為有限的條件，因此探索一種波動方程式近似解析解的方法，有實際的學術和應用意義。本文探討利用逐次近似法，求取在復雜環境條件下波動方程式的近似解析解。

1 基本思路與公式

設在流體及彈性海底介質中的密度、縱波聲速和彈性模量分別為ρ1,ρ2,c1,c2,λ,μ，并設水域中點聲源位于(0,0,zs)處所發出聲波，在流體和彈性海底介質中的聲場勢函數分別為φ1,φ2,ψ，若取聲場的時間因子為exp(-iωt)，此時各類介質中聲場所應滿足的方程式將分別為：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

為書寫簡便，以下記：

(6)

則式(6)中個分量可以表示為：

(7)

依照逐次近似法,選取合適的小量ε,將各坐標量改為：

X=εx,Y=εy,Z=z

(8)

并將各聲場勢函數分別表示為以下ε的冪級數形式：

(9)

式中：W為各勢函數的水平相位項；Am、Bm、Cm為各勢函數不同階垂直簡正波的幅度項。由于考慮的是垂直簡正波的水平相位,因而在初步近似中對不同類型勢函數其水平相位相同[1]。

為書寫簡便計，以下記：

(10)

函數W應滿足一階偏微分方程式:

(wx)2+(wy)2=ξ2

(11)

該方程式不難利用一階偏微分方程的全積分方法解出[2]。將式(4)代入各自對應的波動方程式，并分別寫出各階ε的同冪次項，最后依次可得：

……,

(12)

……,

(13)

-ξ2C0+C0zz+χ2C0=0

-ξ2C1+C1zz+χ2C1=-ξ2C0-2(wxC0x+wyC0y)

……,

(14)

wxCx0+wzCy0+Cz0z=0

……,

(15)

取海底界面為z=f(x,y)曲面，記n為海底界面上任意點指向海水方向的單位法線矢量，則有:

(16)

而聲場在海底界面處所應滿足的邊界條件將分別為[3]:

(17)

iωρ1φ1=(T·n)·n

(18)

(T·n)×n=0

(19)

由各勢函數所應滿足的波動方程式，借助修正的W.K.B.方法，不難寫出其零階近似解(見附錄)，只是對φ1的解則不僅應該滿足點源條件，還應滿足在海面處其值為零的邊界條件。而此時沿海底彈性界面傳播的界面波將具有柱面波衰減規律。注意到當考慮海區有不完整水下聲道時,若聲速梯度函數形式在聲道軸上、下不同,則φ1在聲道軸上、下的具體表示也將有所不同,取聲道軸所在深度為h,此時各零階垂直簡正波的解可表示為[4]：

(20)

其中：

(21)

(22)

(23)

(24)

并解出：

(25)

(26)

(27)

(28)

wxGx0+wyGy0+Q″0Gz0=0

(29)

函數W應滿足一階偏微分方程式:

(30)

(31)

(32)

(33)

τxy=μFξ2+μQ″κ

(34)

(35)

(36)

其中：

(37)

R11=Ωsin(v-v0)-Q0fcos(v-v0)

(38)

R12=(fxwx+fywy-Q′0f)

(39)

(40)

(41)

R21=ω2ρ1sin(v-v0)

(42)

(43)

(44)

(45)

R31=0

(46)

R32=μ(ζ-?′+Fx?′1)

(47)

(48)

(49)

R41=0

(50)

R42=μ{ζ-?″+Fy?″1}

(51)

(52)

(53)

其中：

2 仿真算例

為進一步描述在不規則海區可能出現的聲場分布特點，試考慮給定的如下海區環境條件：令ε=0.01,ω=200π,取z坐標垂直向下，海面為Z=0平面，聲源深度Zs=300 m,聲道軸所在深度h=1 000 m, 海水密度為ρ1=1 g/cm3, 水中聲速隨深度的變化規律如下：

海水中的聲速:

其中：

海底界面方程:

Z=1 200+1 000tanh(X/100+Y/70)

彈性介質密度:

ρ2=1.5(1+0.000 5Z)

彈性模量：

λ=2×104(1+10-5X+10-5Y),

μ=3×106(1+10-5X-10-6Y),

按海區環境條件，可直接寫出各簡正波的零階近似如下，對水中聲場：

Z<1 000,

其中：

Z>1 000,令u=0.96+0.4×10-4Z

對海底介質中聲場，因海底介質密度隨深度依線性變化，故有：

記：

u′=1+5×10-4Z;

同理：

由于仿真算例所給定的環境條件比較復雜,利用邊界條件所建立的聯立方程組直接解算ξ將十分困難,為簡便計,以下將利用數值計算求得近似解,為了能保證必要的解算結果的準確度,將對不同的X,Y坐標值，依次進行逐段近似。

對W取二次函數近似，設

W=a1X+a2Y+a3X2+a4Y2

則有:

wx=a1+2a3X,

wy=a2+2a4Y,

ξ2=(a1+2a3X)2+(a2+2a4Y)2

利用數值計算近似可得X=Y=0時,a1≈0.24,a2≈0.23;若取X=Y=5,則求得a1≈0.115,a2≈0.225 ,a3≈0.001 ,a4≈0.002,即此時由于海底系大陸坡,故聲傳播開始向y方向偏轉；若要求得更大范圍聲場的形式，則需要進行更多的數值計算。本文只滿足于提出一種對復雜海區環境可用的分析方法，為保證文章篇幅的有限，將不再做更多的聲場計算結果描述。

附錄: 不規則半聲道海域聲場分析

設聲源位于(0,0,zs)處,聲道軸深度為z=h,聲道軸以上海水聲速為c0,聲道軸以下海水聲速為c1,海面為絕對軟界面,c0,c1均為x,y,z的函數。依修正的W.K.B.方法由逐次近似法，取聲場勢函數如下：

Am為不同階局地簡正波。不難直接寫出其零階形式解為：

其中：

由點源條件可得：

由聲道軸處聲壓與振速連續條件:

同理利用Q0h=Q1h,由聲道軸上、下聲場與法線振速連續條件可得：

(A11)

式中：

利用Q0 h=Q1 h，

聯合式(A10)和式(A11)可得：

可得：

同理