人行懸索橋人致振動分析

楊賜，邵志向

中鐵第四勘察設計院集團有限公司，湖北武漢 430063

0 引言

本文以某人行懸索橋為工程背景，研究Rayleigh阻尼在選用不同參考頻率時對人致振動響應計算結果的影響，提出Rayleigh阻尼合理取值的策略。

1 人致振動和Rayleigh阻尼基本原理

1.1 人致振動

人行走時重心上下波動，同時左右兩腿交替支撐，從而產生周期性的豎向動力荷載和水平側向動力荷載。行人行走的豎向步頻為1.7～2.1 Hz(一階諧波)，側向步頻為0.7～1.0 Hz，這一行走過程被稱為“窄帶隨機過程”[3]20-23。當人行橋上行人密度較大時，必然會有一部分人的步頻接近而產生同步效應，當這一同步頻率與人行橋的某階自振頻率接近時，將會造成行人與橋結構之間的同步激振，繼而造成人行橋大幅度振動[3]57-59。

行人行走荷載模型可采用傅里葉級數展開，為靜荷載與幾個簡諧動荷載之和[2]15-20，豎向荷載

(1)

橫向荷載

(2)

其中：m為人的自身質量，g為重力加速度,t為行走時間,fp和fl分別為豎向步頻和側向步頻,φvi和φli分別為豎向力和側向力第i階諧波相位角,αvi和αli分別為豎向力和側向力的第i階動載因子。

模擬n個隨機行人組成的行人流，可用n′個完全同步的行人組成等效理想行人流，后者考慮行人之間的同步現象。假設2種行人流對結構的影響相同，但是等效的行人流可作為1種確定性荷載建模[11]，等效同步人群

南宋周密《武林舊事》的記錄更有意思了，“小經紀”逐條羅列了杭州城的各種小商品與寵物服務，其中有“貓窩、貓魚、賣貓兒、改貓犬”，貓窩、貓魚、賣貓兒的含義好理解，“改貓犬”很可能是給寵物貓、寵物犬做美容。《宋史·孝義傳》記載，“江州德安陳昉”之家，“有犬百余，共食一槽，一犬不至，群犬不食”。養了一百多條狗，恐怕就不單純是出于實用目的，而應該對狗有特別的感情。又據洪邁《夷堅志》，宋人員琦，“養狗黑身而白足，名為‘銀蹄’，隨呼拜跪，甚可愛。忽失之，揭榜募贖”。這條“甚可愛”的小狗，有名字，有一日丟失了，主人還貼出啟事，懸賞尋狗，顯然員家已將“銀蹄”當成寵物來飼養了。

式中：n為橋面上的隨機人數,ξi為結構阻尼比。

由于高階諧波響應很難同步且影響較小，本文取一階諧波因子進行計算，采用文獻[11]16-18的動載因子，則式(1)(2)可簡化為：

(3)

(4)

1.2 Rayleigh阻尼

Raleigh阻尼作為經典的結構阻尼，其表達形式簡單，力學概念清晰，可以表示為剛度矩陣和質量矩陣的線性表達式[12]：

C=αM+βK，

(5)

式中：C、M、K分別為結構的阻尼矩陣、質量矩陣和剛度矩陣，α為質量矩陣系數，β為剛度矩陣系數。

根據正交性原理，任意一階模態阻尼比ξi和自振頻率ωi滿足

(6)

聯合結構兩階固有頻率ωi和ωj，并代入式(6)，可求得

(7)

通常假定各階模態的阻尼比相同，即ξi=ξj=ξ，則有：

(8)

2 實例分析

2.1 工程概況

某大跨度人行懸索橋是單索面地錨式懸索橋，主橋跨徑為400 m，主梁為雙分離式箱型加勁梁，采用拱形橋塔。橋梁單幅寬度為8.5 m，從跨中到橋塔左右兩幅單箱梁的距離由2 ～16 m曲線變化，順橋向俯瞰主梁似X形。人行懸索橋效果圖、整體立面圖及主梁跨中斷面如圖1～3所示(圖2、3單位為cm)。

圖1 某人行懸索橋效果圖

圖2 某人行懸索橋整體立面圖

圖3 某人行懸索橋主梁跨中斷面圖

2.2 建模

圖4 某人行懸索橋全橋有限元模型

根據式(1)～(8)編制ANSYS程序，計算人行懸索橋全橋三維有限元模型人致振動時程響應[13-14]。該人行懸索橋主梁為鋼箱型加勁梁橋，根據文獻[15]，取阻尼比為0.005。文獻[16-19]表明，行人在橋面上正常行走時人群密度通常為0.2～1.5 人/m2，本文取人群密度為1.0 人/m2。由于人的自身質量m、步行速度v的差異性影響較小，取重量G=mg=800 N，v=1.5 m/s。

利用ANSYS軟件建立符合實橋結構的有限元模型，主塔、加勁梁、剛臂結構采用空間梁單元BEAM4模擬，主纜與吊桿采用空間桿單元LINK10模擬，橋面鋪裝、護欄、索夾、錨頭等質量及質量慣性矩采用節點質量單元MASS21模擬，如圖4所示。橋塔基礎模擬為固結結構；主梁梁端支座處設置豎向約束、橫向約束和扭轉自由度，其他自由度釋放；主纜兩端在橋塔處與主塔鞍座位置處進行自由度耦合。

人行懸索橋有限元模型前65階模態豎向自振頻率及振型如表1所示。

表1有限元模型前65階豎向振動頻率及振型Hz

階次頻率/Hz振型描述30.229一階反對稱豎彎40.307一階正對稱豎彎50.418二階正對稱豎彎70.623二階反對稱豎彎150.921三階正對稱豎彎211.277反對稱豎彎311.703正對稱豎彎階次頻率/Hz振型描述372.740正對稱豎彎492.941兩根主梁交錯豎彎513.348反對稱豎彎553.521兩根主梁交錯豎彎604.020正對稱豎彎654.165兩根主梁交錯豎彎

從表1中可得：僅第31階模態頻率(1.703 Hz)處于豎向步頻敏感頻率范圍內，當行人同步頻率與此頻率相等時，實橋結構將有可能產生較大的激振。故取式(3)中fp=1.703 Hz。本文僅分析豎向人致振動響應，側向人致振動的分析方法與豎向類似，故不再過多闡述。

2.3 計算結果

當實橋結構處于彈性階段時，振型疊加法計算的動力結果可作為實橋結構的真實響應。以此計算結果為基準，采用不同的兩階參考頻率，構造不同的Rayleigh阻尼矩陣，研究阻尼矩陣對人行懸索橋人致振動響應計算結果的影響：工況1選取振型疊加法計算結構振動響應為比較基準；工況2選取第3階頻率(一階反對稱豎彎)和第4階頻率(一階正對稱豎彎)；工況3選取2個第31階頻率進行計算(人致振動敏感頻率范圍)；工況4選取第3階頻率(一階反對稱豎彎)和第31階頻率(人致振動敏感頻率范圍)；工況5選取第3階頻率(一階反對稱豎彎)和第65階頻率(較為靠后的豎彎模態)。

不同工況的計算結果進行相對誤差分析，采用公式

式中：e為相對誤差，Δ1為工況1的人致振動時程響應，Δi表示工況2～5的人致振動時程響應。

利用式(3)(4)，將工況1～5的人群荷載加載到ANSYS三維有限元模型進行動力時程分析。工況2～5采用Rayleigh阻尼，按照式(8)采用不同的兩階參考頻率計算，工況1采用模態疊加法和固定模態阻尼比。不同工況下人行懸索橋人致振動位移時程s和加速度時程a響應結果如圖5～9所示，不同工況下結構振動響應的相對誤差如表2所示。

a)位移 b)加速度圖5 工況1人行懸索橋人致振動位移時程和加速度時程響應

a)位移 b)加速度圖6 工況2人行懸索橋人致振動位移時程和加速度時程響應

a)位移 b)加速度圖7 工況3人行懸索橋人致振動位移時程和加速度時程響應

a)位移 b)加速度圖8 工況4人行懸索橋人致振動位移時程和加速度時程響應

a)位移 b)加速度圖9 工況5人行懸索橋人致振動位移時程和加速度時程響應

表2不同工況下結構振動響應誤差

工況最大位移/mm位移相對誤差/%最大加速度/(m·s-2)加速度相對誤差/%19.681.0823.62-62.600.41-61.8439.63-0.521.090.8349.63-0.521.100.92514.2547.201.6350.50

從圖5～9和表2中可以看出：1)工況2采用第3階和第4階頻率，即一階反對稱豎彎和一階正對稱豎彎，這兩階模態是實橋結構最先出現的2種豎彎振型，其豎彎頻率遠小于人致振動敏感頻率，其位移和加速度響應均低于工況1，結構的振動響應被低估。2)工況3采用兩個第31階豎彎頻率，該兩階模態頻率均處于人致振動敏感頻率范圍內，工況3的結構振動響應計算結果與工況1比較接近。3)工況4采用第3階和第31階豎彎頻率，即一階反對稱豎彎和一階處于行人敏感頻率范圍內的豎彎模態，可以看出工況4結構振動響應與工況1大致接近。4)工況5采用第3階和第65階豎彎模態，即一階反對稱豎彎和一階較為靠后的豎彎模態，可以看出工況5動力響應明顯高于工況1，動力響應明顯被高估。通過以上計算分析表明：Rayleigh阻尼選取不同的兩階參考頻率對人致振動響應結果影響顯著，因此，選取合理阻尼參考頻率對計算結果的可靠度非常重要。

2.4 誤差原因分析

通過兩階參考頻率計算獲得不同工況下的Rayleigh質量矩陣系數和剛度矩陣系數，代入式(6)，反推出Rayleigh阻尼矩陣其余各階豎彎模態的阻尼比。各工況下模態阻尼比ξ與豎彎頻率f的關系曲線如圖10所示。

圖10 各工況模態阻尼比與豎彎頻率的關系曲線

從圖10中可以看出：1)工況2中，第3階和第4階豎彎模態的ξ=0.005，其余各階模態ξ均大于0.005，且隨著頻率的增大而不斷增加。處于豎彎敏感頻率范圍(1.7～2.1 Hz)內的模態振型ξ=0.016～0.020，遠高于指定ξ=0.005。ξ增大，實橋結構振動響應被縮小，計算結果偏不安全。2)在工況3中，僅第31階模態ξ=0.005，豎彎敏感頻率范圍(1.7～2.1 Hz)內的結構模態ξ=0.005～0.0051，非常接近指定模態ξ=0.005，對人致振動響應的計算結果較為真實。3)在工況4中，第3階和第31階模態ξ=0.005，兩者之間的模態ξ<0.005，最低為0.0032。豎彎敏感頻率范圍(1.7～2.1 Hz)內的結構模態ξ=0.005～0.0059，很接近指定模態ξ=0.005，結構計算反應較為真實。4)在工況5中，第3階和第65階模態的ξ=0.005，兩者之間的模態ξ遠小于0.005，最低可達到0.0022。豎彎敏感頻率范圍(1.7～2.1 Hz)內的結構模態ξ=0.0026～0.0029，遠低于指定的模態ξ=0.005。由于ξ減小，實橋結構的振動響應被夸大，計算結果過于保守。

由此可看出：將處于敏感頻率范圍內的結構模態ξ模擬的較為準確時，其響應計算結果真實可靠。而敏感頻率范圍外的模態ξ不管是增大還是減小，其對動力響應的計算結果影響比較小。行人敏感頻率范圍內的結構模態振動對人行懸索橋的人致振動結構響應起主導地位，類似于地震中的“卓越周期”，所以在進行人致振動時程分析時，要綜合考慮輸入荷載和結構動力特性的影響，保證敏感頻率范圍內的結構模態ξ模擬準確，使計算結果更加真實可靠。

3 結論

以某大跨度人行懸索橋為工程背景，編制ANSYS分析程序進行人致振動時程計算，研究Rayleigh阻尼在選取不同兩階參考頻率進行計算時對結構振動響應結果的影響。

1)進行人行懸索橋人致振動計算時，結構敏感頻率范圍內的模態振動對結構動力響應的貢獻占主導地位。

2)敏感頻率范圍外的模態ξ的變化對動力響應的計算結果影響不大。

3)在實際運用中，綜合考慮輸入荷載和結構動力特性的影響，針對控制設計的部分選取合理的參考頻率來確定Rayleigh阻尼矩陣，以準確反映人行懸索橋敏感頻率范圍內的振動模態ξ。