基于卡爾曼濾波的波浪發電系統反步法最優功率跟蹤控制

黃寶洲，楊俊華，盧思靈，陳海峰

（廣東工業大學 自動化學院，廣東 廣州 510006）

0 引言

海洋波浪能是一種存儲量豐富的可再生清潔能源[1]。要利用海洋波浪能就需要波浪發電機，不同結構的波浪發電機適用于不同海況，波浪發電機包括旋轉式電機和直線式電機[2]，[3]。其中，直線式發電機能夠利用波浪的上下運動帶動動子運動，進而使變化的磁場在定子繞組產生電能；直線發電機的波浪浮子和電機動子可視為一體，只需一級能量轉換，直線發電機具有體積小、效率高和實用性強的優點。與風能發電一樣，波浪能發電也存在最大功率捕獲點的問題，理論上，當波浪能轉換裝置的固有質量頻率與波浪頻率發生共振時，發電機可從波浪中捕獲到最大功率[4]～[6]。

直驅式波浪發電系統是一個以永磁同步直線電機（Permanent Magnet Synchronous Linear Motor，PMSLM）為載體的系統。在實海況中，波浪的頻率和幅值是不斷變化的，常規的比例-積分-微分（Proportion-Integral-Derivative，PID）難以精確跟隨。文獻[7]采用自適應遺傳算法優化PID參數，優化后的PID能夠快速跟蹤設定值并準確調整雙軸間的同步誤差，具有動態性能好和魯棒性高的優點。但是，波浪發電系統是時變控制系統，每個采樣點都需要重新進行遺傳算法迭代計算，這就導致計算量大，控制速度變慢。文獻[8]結合復合前饋PID控制的小波神經網絡方案，通過小波神經網絡在線估計補償系統干擾和模型不確定性，具有控制精度較高，并能有效消除外界帶來的不確定干擾的優點。但是，目前有關小波函數的選擇沒有公認理論。滑模變結構及相應改進方法的抗干擾能力強并能夠考慮非線性控制問題，可實現漸進穩定，在電機控制中應用廣泛，但滑模控制存在不可避免的抖振現象，并在背靠背波浪發電系統中表現得更為明顯[9]，[10]。

反步法具有設計簡單、容易實現和控制效果良好的優點。文獻[11]，[12]通過設計自適應濾波反步法跟蹤控制信號來補償干擾，但難以保證系統的穩定性。由于惡劣工作環境的噪聲、算法導數項及電力電子裝置開關動作在電量參數中產生的高頻紋波的影響，單純的反步法在波浪發電系統中的應用效果不佳。低通濾波可以去除噪聲，但會導致波形相位延時和系統不穩定，從而影響波浪能的捕獲效果。雖然相位補償器可減少相位差，但相位補償計算較為復雜，對系統要求較高。卡爾曼（Kalman）濾波屬于遞推算法，可對系統狀態實現在線濾波，實時控制發電系統。基于卡爾曼濾波的反步法控制，具有誤差小、動態性能好和適用于低速運行的波浪發電系統的優點。

本文通過分析波浪能發電系統轉換裝置的數學模型，獲取波浪能高效率轉化有功功率的條件。針對傳統控制方案應用于PMSM低速運行易出現較大速度誤差和時間延遲的問題，結合PMSLM的數學模型，通過電壓前饋進行解耦，設計了基于卡爾曼濾波的反步控制法，減小了單純反步法導數項及變換器中晶閘管快速通斷動作產生的高頻紋波，減小了噪聲干擾和系統誤差，確保了信號跟隨的準確性，實現了直驅式波浪發電系統最大功率捕獲控制。仿真結果驗證了所提算法和功率提取策略的控制精度和有效性。

1 最大功率跟蹤控制策略

波浪的方向具有時變性，波浪發電系統受到的波浪推力也不斷變化，直驅式波浪發電系統主要是利用波浪垂直上下運動所產生的能量。圖1為直驅式波浪發電系統的示意圖。

圖1 直驅式波浪發電系統的示意圖Fig.1 Direct-drive wave power system diagram

分析波浪能轉換裝置的受力[13]，可得轉換裝置的水動力方程，同時也是PMSLM的機械運動方程。

式中：m為運動部件的質量和輻射力產生的附加質量之和，kg；Kn為流體的動力阻尼系數，kg/s2；Fe為PMSLM電磁力，N；K為波浪能轉換裝置的彈簧常數，N/m；x為浮子的運動位移，m；Fd為浮體受到的波浪激勵力，N。

直線電機的電磁力可用Fe=Rgdx/dt代替，為分析方便，可將波浪激勵力近似看作正弦波形。波浪能轉換裝置可看作線性彈簧、質量塊和線性阻尼器的組合，其等效模型如圖2所示[14]，[15]。

波浪能轉換裝置的運動方程為

圖2 波浪裝換裝置的等效模型Fig.2 Equivalent model of wave replacement device

式中：Rg為電機產生有功功率的阻尼系數，kg/s2；F0為波浪激勵力的幅值，N；ω為波浪激勵力的角速度，rad/s。

求解式（2）并經變換，可得：

由式（3）可知，電機動子以正弦形式移動，與波浪激勵力同頻率并有一個相位差φ。運動位移無量綱的幅頻特性曲線如圖3所示。從圖3可以看出，當浮子的運動頻率與波浪能捕獲裝置的固有頻率相同且相位滯后于波浪激勵力90°時，兩者發生機械共振，此時的能量轉換效率最大。

圖3 運動位移無量綱的幅頻特性曲線Fig.3 Dimensionless amplitude frequency characteristic curves of motion displacement

發電機的瞬時功率為

式中，ua，ub和uc分別為電機a，b和c的三相輸出電壓，V；ia，ib和 ic分別為電機 a，b 和 c 三相輸出電流，A。

浮子和波浪能捕獲裝置發生共振時，A0/Ast=1/（2ξ）=mω/（Rg+Kn），K=mω2，忽略 PMSLG 的 損耗，若發電機只輸出有功功率，則：

當 A0=mωAst/（2Kn），即 Rg=Kn，K=mω2時，P 有最大值。通過調節彈簧常數K，使波浪能裝換裝置始終處于不同波浪周期工況下的共振狀態，從而捕獲最大波浪功率。

2 PMSLM建模方程

直驅式波浪發電系統的電機定子固定在海床上，通過波浪沖擊帶動直線電機動子往復運動，感應出變化幅值和頻率的電壓和電流信號。不考慮直線電機的磁路飽和，忽略端部效應，不計磁滯和渦流等損耗，同時為控制簡單，利用電壓前饋補償方法解耦電壓電流，可得PMSLM的d-q軸數學模型：

式中：ud和uq分別為d-q坐標系下的定子電壓，V；id和iq分別為d-q坐標系下的定子電流，A；Ld和Lq分別為d-q坐標系下的定子電感，H；ud0和uq0分別解耦后的d-q坐標系下的等效電壓，V；Rs為定子的電阻，Ω；v為速度，m/s；Ψf為永磁體的磁鏈，Wb；τ為電機極距，m。

電機電磁力為

式中：np為極對數。

3 卡爾曼濾波反步法控制

3.1 反步法

反步法從前往后遞推，適合在線控制，其控制思路是從電機動態方程出發，為解耦后的每個子系統設計Lyapunov函數和中間虛擬控制量，最后完成整個系統的控制率設計和Lyapunov函數穩定性分析。

為實現最佳控制，電機電磁力與流體動力阻尼須保持一致，而電磁力與電流iq呈線性關系，因此，可以通過控制iq實現電磁力的控制。設分別為電機d-q軸的電流期望值，通過調節ud0，uq0，可使 id和 iq精確跟蹤設定值，采用矢量控制策略，令定義d-q軸電流的跟蹤誤差分別為e1和e2，對e1和e2求導并結合式（6）可得：

式中：k1為 d 軸控制增益，k1＞0。

構造d軸電流控制率和d軸子系統Lyapunov函數：

同理，可構造q軸電流控制率和q軸子系統Lyapunov函數：

式中：k2為 q 軸控制增益，k2＞0。

由此可構造整個系統的Lyapunov函數：

3.2 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波采用時域狀態空間，可實現實時計算最優估計。由于反步法中的導數項和背靠背換流器控制策略中的晶閘管開關動作會產生較大高頻紋波，對信號跟蹤精度和電機控制效果的影響較大，因此，提出卡爾曼濾波方案加以改進。

卡爾曼濾波分為兩個階段：估計階段，即應用上一時刻狀態，預估當前狀態；更新階段，即利用當前狀態的實際測量值，優化預測值，獲得更加精確的當前狀態值。

由式（6）可得卡爾曼濾波的遞推步驟。

①一步預測，包括狀態一步預測和一步預測協方差陣：

式 中：X=[id，iq]T；F=diag （[-Rs/Ld，-Rs/Lq]）；B=diag（[1/Ld，1/Lq]）；U=[ud0，uq0]T；T為采樣周期；Q為系統誤差的方差。

②卡爾曼濾波增益矩陣計算：

式中：H=diag（[1，1]）；R為觀測誤差的方差。

③狀態更新，包括狀態變量更新和協方差陣更新：

式中：Y （k+1）為k+1時刻電流的觀測值；I=diag（[1，1]）。

4 仿真及結果分析

根據圖4所示的直驅式波浪發電系統模型圖，基于卡爾曼濾波反步法，搭建最優功率跟蹤控制振蕩浮子式波浪發電系統。確定參數：Ld=Lq=0.008 2 H，Rs=2.48 Ω，m=300 kg，Φ =ψf/N=0.147 Wb，np=4，Kn=600 kg/s2，其中 N為繞組匝數。

圖4 直驅式波浪發電系統模型圖Fig.4 Model diagram of a direct-drive wave power system

為驗證所提方法跟蹤給定值的精確性和魯棒性，給定變化頻率和幅值的波浪激勵力：在0～10 s時，Fd=2000sin （πt）；10～22s時，Fd=2000sin（πt/2）；22～34 s時，Fd=4 000/3sin（πt/2）。

根據仿真電機及波浪激勵力參數，利用最大功率捕獲控制策略獲取該條件下的最佳電磁力，進而轉化為q軸電流目標信號。在其他參數保持一致的條件下，對比研究普通反步法、低通濾波反步法和Kalman濾波反步法對直驅式波浪發電系統的最優功率跟蹤控制的效果。

q軸期望電流和實際電流如圖5所示。從圖5可以看出，Kalman濾波反步法和低通濾波反步法控制下的q軸期望電流和實際電流基本重合，反步法控制下的q軸期望電流和實際電流相差較大。

圖5 q軸期望電流和實際電流的對比Fig.5 Comparison of expected current and actual current of q-axis

q軸跟蹤電流誤差如圖6所示。從圖6可以看出：反步法控制下的q軸電流跟蹤曲線中含有大量紋波及抖振，最高跟蹤誤差可達12 A；低通濾波反步法的跟蹤精度較高，最高跟蹤誤差約為0.8 A，但由于低通濾波本身存在的相位延遲問題，導致系統產生的有功功率并非最大。Kalman濾波反步法的信號跟蹤波形更加平滑，跟蹤精度更好，跟蹤誤差約為反步法的1/24，低通濾波反步法的5/8，最高不到0.5 A。在波浪激勵力突然轉向和頻率減小（10 s時）的情況下，以及波浪激勵力幅值變為原來的2/3（22 s時）的情況下，Kalman濾波反步法仍能夠快速反應并準確跟隨。

圖6 q軸跟蹤電流誤差對比Fig.6 Comparison of q-axis tracking current error

跟蹤波浪發電最大功率捕獲策略對應的最佳電流，同時為增強對比效果，將浮子速度放大500倍，得到浮子速度和波浪激勵力的相位變化情況如圖7所示。從圖7可以看出：無論波浪激勵力如何變化，Kalman濾波反步法和反步法控制下的浮子速度均能保持與波浪激勵力同相位，滿足波浪裝換裝置實現共振的相位條件，保證浮子運動位移和波浪激勵力的相位差為90°，但是，反步法的跟蹤誤差大，輸出功率無法實現最優；而低通濾波反步法控制下的浮子速度和波浪激勵力有明顯的相位延遲，無法滿足最優功率捕獲的相位條件，并且低通濾波反步法和反步法控制下的浮子速度幅值均比Kalman濾波反步法低0.3 m/s，進而影響輸出功率。

圖7 浮子速度和波浪激勵力的相位變化情況Fig.7 Phase changes of float speed and wave excitation

圖8，9對比了3種控制方法下系統輸出有功功率的瞬時值和平均值。

圖8 不同控制方法產生的有功功率瞬時值Fig.8 Instantaneous values of active power generated by different control methods

圖9 不同控制方法產生的有功功率平均值Fig.9 Average active power generated by different control methods

從圖8，9可以看出，相位延遲和跟蹤誤差過大均會降低波浪能捕獲功率。Kalman濾波反步法控制下的輸出有功功率的平均值分別比低通濾波反步法和反步法約高出110 W和115 W，且反步法控制下的輸出有功功率瞬時值含有大量高頻紋波。

5 結論

根據系統共振要求和牛頓定律，本文分析了直驅式波浪發電系統能量轉換裝置的受力及運動位移的相幅特性，利用反步法和卡爾曼濾波實現濾波控制，設計了一種基于卡爾曼濾波的波浪發電系統反步法最優功率控制策略，并與反步法和低通濾波反步法進行了對比，得到以下結論。

①低通濾波反步法雖在控制效果上有一定優勢，但存在相位延遲，導致不能滿足最大功率捕獲策略的相位條件，影響系統的最終有功功率輸出。反步法能使電機速度滿足最大功率捕獲策略的相位條件，但跟蹤誤差過大，輸出的有功功率較低。

②本文所提的卡爾曼濾波反步法的動態性能較好，跟蹤電流的波形振幅較小，能保證系統全局收斂，濾除了高頻紋波和噪聲。同時，在電機速度方向、幅值和頻率突變的情況下，仍能快速準確跟蹤給定信號，魯棒性和抗干擾能力更好。