圓的幾何性質應用舉例

摘?要：圓具有高度的對稱性，有著豐富的幾何性質。我們經常利用兩條直線的垂直相交的條件來判斷點共圓;阿波羅尼斯圓的性質體現了圓半徑和到兩定點距離比值之間的關系。在解題過程中注意數形結合，利用好圓的幾何性質，能夠簡化運算，達到事半功倍的效果。

關鍵詞：圓;幾何性質;舉例

《直線與圓的位置關系》是高中數學人教版必修二的內容，在該章中介紹了圓的標準方程和直線與圓的位置關系。圓是一種簡單的曲線，具有高度的對稱性，有豐富的幾何性質。在解題過程中注意數形結合，利用好圓的幾何性質，能夠簡化運算，達到事半功倍的效果。

例1?過拋物線y2=4px（p>0）的頂點作互相垂直的兩弦OA、OB，求拋物線的頂點O在直線AB上的射影M的軌跡。

解1：（交軌法）：點A、B在拋物線y2=4px（p>0）上，設Ay2A4p，yA，By2B4p，yB

所以kOA=4pyA?kOB=4pyB，由OA垂直OB得kOAkOB=-1，得yAyB=-16p2，

又可求得AB方程y-yA=yA-yBy2A4p-y2B4px-y2A4p，即（yA+yB）y-4px-yAyB=0，把yAyB=-16p2代入得AB方程（yA+yB）y-4px+16p2=0?①?又OM的方程為y=yA+yB-4px?②

由①②消去得yA+yB即得x2+y2-4px=0，即得（x-2p）2+y2=4p2。

所以點M的軌跡方程為（x-2p）2+y2=4p2，其軌跡是以（2p，0）為圓心，半徑為2p的圓，除去點（0，0）。

解2：（幾何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y-4px+16p2=0可得AB過定點（4p，0）而OM垂直AB，所以由圓的幾何性質可知：M點的軌跡是以（2p，0）為圓心，半徑為2p的圓。所以方程為（x-2p）2+y2=4p2，除去點（0，0）。

該題應用了“已知l1和l2是平面內互相垂直的兩條直線，它們的交點是A，動點B，C分別在l1和l2上，過A，B，C三點的動圓是以BC為直徑的圓。”由此能迅速提煉出幾何等量關系，達到簡化運算的效果。

例2?（2008年江蘇13）若AB=2，AC=2BC，則S△ABC的最大值。

該題考查三角形面積公式，余弦定理及函數思想，但是運算量大處理有難度。

解1：設BC=x，則AC=2x，

根據面積公式得S△ABC=12AB×BCsinB=x1-cos2B，

根據余弦定理cosB=AB2+BC2-AC22AB×BC=4+x2-2x24x=4-x24x，

代入上式得S△ABC=x1-4-x24x2=128-

（x2-12）216

由三角形三邊關系有2x+x>2

x+2>2x解得22-2

故當x=23時取得S△ABC最大值22。

解2：設AB所在的直線為x軸，其中垂線為y軸建立直角坐標系，則A（-1，0），B（1，0），

設C（x，y），得（x+1）2+y2=2（x-1）2+y2，化簡得（x-3）2+y2=8，

又S△ABC=12AB·|yc|=|yc|≤22。

解3：利用阿波羅尼斯圓性質，點C在以AB為直徑的圓上。半徑r=

222-1=22，S=22。

解法3中利用了阿波羅尼斯圓相關性質。

公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯（Apollonius）在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結論：到兩定點距離之比等于已知數的動點軌跡為直線或圓。

點A，B為兩定點，動點P滿足PA=λPB（λ>0），則λ=1時，動點P的軌跡為直線;

當λ≠1時，動點P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓。

以下給出證明（圖略）。

以直線AB為x軸，以線段AB的中點為原點建立平面直角坐標系。

設AB=2m，則A（-m，0），B（m，0）

設點P（x，y），由PA=λPB可得（x+m）2+y2=λ（x-m）2+y2，

兩邊平方整理可得：（λ2-1）x2-2m（λ2+1）x+（λ2-1）y2=m2（1-λ2）

當λ=1時，可得x=0，軌跡是線段AB的中垂線;

當λ≠1（λ>0）時，x-λ2+1λ2-1m2+y2=4λ2m2（λ2-1）2，軌跡是以λ2+1λ2-1m，0為圓心，半徑為2λmλ2-1的圓。

阿波羅尼斯圓的常見性質如下：

（1）設AB=a，AP1P1B=AP2P2B=λ，則所做出的阿波羅尼斯圓

直徑P1P2=2aλλ2-1=2aλ-1λ，面積為πaλλ2-12。

（2）當λ>1時，點A在圓O外，點B在圓O內;當0<λ<1時，點A在圓O內，點B在圓O外;

（3）當λ=OAr=rOB，即r2=OA·OB，λ越大，圓半徑越小。

例3?已知向量a，b滿足|b|=3，|a|=2|b-a|，若|a+λb|≥3恒成立，則實數λ的取值范圍為。

解：由題意可知向量a的端點的軌跡是一個圓。

設A（x，y），可得A的方程為x2+y2-8y+12=0。

由|a+λb|≥3恒成立，可得x2+y2+6λy+9λ2-9≥0，

即（8+6λ）y+9λ2-21≥0對y∈[2，6]恒成立。

可得（8+6λ）·2+9λ2-21≥0

（8+6λ）·6+9λ2-21≥0，解得λ≥13或λ≤-3。

思考：以上可知在已知定點A、B的條件下，阿波羅尼斯圓的圓心一定在直線AB上。反之，若對一個確定圓，在其對稱直線上是否存在確定的兩點A、B，使圓上任意一點P到這兩點的距離的比值為常數λ呢？

以下以圓心在原點的圓為例給出證明。

不妨設P（x，y）是x2+y2=r2上任意一點，已知定點A（m，0），在x軸上是否存在異于點A的一點B，使得PB=λPA？

設點B（n，0）（n≠m），由PA=λPB可得P的軌跡方程為：

（λ2-1）（x2+y2）+（2n-2λ2m）x+λ2m2-n2=0，

由x2+y2=r2可得（λ2-1）r2+（2n-2λ2m）x+λ2m2-n2=0對任意的x恒成立，

故可得2n-2λ2m=0

（λ2-1）r2+λ2m2-n2=0，所以λ=r|m|

n=λ2m=r2m。

故存在點B，且A、B在x軸的同側，即圓和其中一點確定，則另一點和比值λ也隨之確定。

同理可得，圓和比值λ確定，則A、B兩點的坐標可確定，即xA=±rλ

xB=λ2·xA。

例4?在平面直角坐標系中，MN是兩個定點，點P是x2+y2=1上任意一點，且滿足PM=2PN，則MN的長為。

解：由阿波羅尼斯圓的半徑和比值λ之間的關系可得r=MNλ-1λ=23MN=1，∴MN=32。

參考文獻：

[1]鐘順榮.淺談圓的性質在解析幾何中的應用[J].中學教研（數學），2018（2）：31-33.

作者簡介：陶恒聰，浙江省金華市，浙江省金華市武義縣武義第一中學。