從數學角度分析一階微分方程求解

葉匯閩　李杰姣　陳潔

摘要：給出常微分方程及其解的定義，重點介紹一階微分方程的求解。總結了三大類常見的一階微分方程，即變量可分離的微分方程、其次微分方程、一階線性微分方程，介紹這三類常見微分方程的解法。

關鍵詞：一階微分方程;通解;特解

引言：

微分方程研究的來源：它的研究來源極廣，歷史久遠。牛頓和G.W.萊布尼茨創造微分和積分運算時，指出了它們的互逆性，事實上這是解決了最簡單的微分方程y'=f（x）的求解問題。當人們用微積分學去研究幾何學、力學、物理學所提出的問題時，微分方程就大量地涌現出來。

常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關幾點簡述一下，以了解常微分方程的特點。

求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標，一旦求出通解的表達式，就容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達式，了解對某些參數的依賴情況，便于參數取值適宜，使它對應的解具有所需要的性能，還有助于進行關于解的其他研究。

后來的發展表明，能夠求出通解的情況不多，在實際應用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解。當然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點轉移到定解問題上來。

一個常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個呢？這是微分方程論中一個基本的問題，數學家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因為如果沒有解，而我們要去求解，那是沒有意義的;如果有解而又不是唯一的，那又不好確定。因此，存在和唯一性定理對于微分方程的求解是十分重要的。

大部分的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解。當然，這個近似解的精確程度是比較高的。另外還應該指出，用來描述物理過程的微分方程，以及由試驗測定的初始條件也是近似的，這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。

通常微分方程在很多學科領域內有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩定性的研究、化學反應過程穩定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質的問題。應該說，應用常微分方程理論已經取得了很大的成就，但是，它的現有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待于進一步的發展，使這門學科的理論更加完善。

一、微分方程及階的定義

表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間關系的方程，叫作微分方程。

n階微分方程的一般形式為

F（x，y，y'，…，y（n）） =0? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

標準形式為

y（n）=f[x，y，y'，…，y（n-1）]? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

未知函數是一元函數y=y（x）形式的微分方程稱為常微分方程，未知函數是多元函數的叫做偏微分方程，其中導數實際出現的最高階數n叫做該微分方程的階。未知函數的導數最高階數為1，即形如y'=f（x，y）的微分方程稱為一階微分方程。

在形如方程（1）的常微分方程中如果右端函數F對未知函數y和它的個階導數y'，…，y（n）的全體而言是一次的，則稱它是線性常微分方程，否則稱它是非線性常微分方程。

方程

y（n）+a1（x）y（n-1）+…+an-1（x）y'+an（x）y=f（x） （f（x）不恒等于0）? （3）

稱作n階非齊次線性微分方程，f（x）稱為自由項。

方程

y（n）+a1（x）y（n-1）+…+an-1（x）y'+an（x）y=0? ? （4）

稱作n階齊次線性微分方程。若其中的ai（x）（i=1，2，... ，n）與方程（3）的完全一樣，則稱方程（4）為方程（3）對應的齊次線性微分方程。

本文總結了三大類常見的一階微分方程，即變量可分離的微分方程、其次微分方程、一階線性微分方程。

二、微分方程的解、通解、特解

如果函數y=φ（x）代入（1）或者（2），使得等式成立，即

F[x，φ（x），φ'（x），…，φ（n）（x）] =0或φ（n）（x）=f[x，φ（x），φ'（x），…，φ（n-1）（x）]

成立，則稱函數y=φ（x）為微分方程（1）或（2）的解。如果解的表達式含有個數與方程階數相等的獨立常數（形如y=φ（x，C1，C2，…，Cn），其中C1，C2，…，Cn為任意常數），則稱其為通解。

可以確定通解中任意常數的條件稱為定解條件。最常見的定解條件是初始條件，n階方程（1）或（2）的初始條件為

y|x=x0=k0，y'|x=x0=k1，… ，y（n-1）|x=x0=kn-1，

其中x0，k1，k2，…，kn-1是已知的，滿足初始條件的解稱為特解。

三、變量可分離的微分方程及其解法

定義：

如果微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0.

中的函數P（x，y）和Q（x，y）均可分別表示為x的函數與y的函數的乘積，則稱為變量分離的方程。

解法：

令

P（x，y）=X（x）Y1（y），Q（x，y）=X1（x）Y（y），

變量分離的方程可以寫成如下形式：

X（x）Y1（y）dx+X1（x）Y（y）dy=0.

以因子X1（x）Y1（y）去除上式的兩側，就得到

X（x）dx/X1（x）+Y（y）dy/Y1（y）=0.

此方程的x與y互相分離，因此它的通積分為

參考文獻：

[1]中公教育研究生考試研究院. 考研數學基礎知識復習大全[M].北京：世界圖書出版公司，2017：157-159.

[2]丁同仁，李承治. 常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社.2004.

作者簡介：

葉匯閩（1998-），女，漢族，四川省德陽市，本科，研究方向：數學。

李杰姣（1998-），女，漢族，四川省雅安市，本科，研究方向：數學。

陳潔（1996-），女，漢族，四川省德陽市，本科，研究方向：數學。