小波理論與應(yīng)用課程的實踐教學(xué)設(shè)計

李福利

[摘? ? ? ? ? ?要]? 在哈爾濱工業(yè)大學(xué)工科研究生小波理論與應(yīng)用的教學(xué)過程中，加入上機實踐教學(xué)內(nèi)容后，學(xué)生的反響比較強烈，普遍反映以往抽象的概念和理論更加易于接受，而且提高了動手實踐能力。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 小波;濾波器;Mallat分解與重構(gòu)算法;實踐教學(xué)

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0602（2020）40-0202-02

近幾年來，哈爾濱工業(yè)大學(xué)工科研究生學(xué)位課中，小波理論與應(yīng)用的選修人數(shù)穩(wěn)定在300人左右。這是一門理論性和應(yīng)用性都比較強的交叉學(xué)科。在以往的研究生小波理論的教學(xué)過程中，教師往往偏重于理論教學(xué)，忽視了實踐教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)過小波理論后，不知道如何用小波解決具體的實際問題。學(xué)生課堂上似乎聽懂了，實際動手操作起來，就很茫然，不知所以然了。為此，我們在教學(xué)過程中，向哈爾濱工業(yè)大學(xué)研究生院主管研究生教學(xué)培養(yǎng)和哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院主抓研究生公共教學(xué)的領(lǐng)導(dǎo)申請了12學(xué)時的上機實踐，申明了實踐教學(xué)的迫切性和重要性，得到了有關(guān)部門領(lǐng)導(dǎo)和研究生院的大力支持。

由于課時限制，經(jīng)過5年多的教學(xué)實踐摸索，我們把上機實踐內(nèi)容分成兩大塊，一塊是基礎(chǔ)篇內(nèi)容上機實踐部分，另一塊是提高篇內(nèi)容上機實踐部分。

我們在基礎(chǔ)篇內(nèi)容實踐部分，為了使實踐教學(xué)不流于形式，特別加強設(shè)計了八個實踐教學(xué)任務(wù)，使學(xué)生上機實踐的時候感覺到任務(wù)充實?；A(chǔ)部分要求學(xué)生完成實驗報告，報告內(nèi)容包括實驗?zāi)康?、實驗原理、實驗結(jié)論、實驗結(jié)果分析、MATLAB源程序、上機收獲體會等內(nèi)容。從而加深了學(xué)生對基本概念、基本理論的理解，提高了學(xué)生的動手能力、實踐能力，并有效防止了高分低能現(xiàn)象的產(chǎn)生。具體的八個實踐任務(wù)如下。

一、Butterworth濾波器的原理與實踐

設(shè)計這一實踐任務(wù)的目的是為了加深學(xué)生對濾波器概念的理解，體會到濾波器對信號的濾波作用，和不同參數(shù)的Butterworth濾波器對信號的濾波效果的影響是不同的。學(xué)生通過這一實驗，體會到了MATLAB強大的編程能力，加深了對有關(guān)數(shù)學(xué)公式的理解。

二、小波濾波器的原理與實踐

設(shè)計這一實踐任務(wù)的目的是為了讓學(xué)生加深理解連續(xù)小波變換作為一種濾波器，對信號是有濾波作用的。不同的連續(xù)小波變換對信號的濾波作用是不同的，有的起到帶通濾波的作用，有的起到高通濾波的作用。不同的典型信號的連續(xù)小波變換的表現(xiàn)形式是不同的，諸如脈沖信號、白噪聲信號、椒鹽噪聲的信號、正弦波的信號的連續(xù)小波變換各有其特征。學(xué)生做過這一實踐任務(wù)后，普遍反映加深了對連續(xù)小波變換濾波作用和特征提取作用的理解。

三、基于Haar小波濾波器的信號去燥原理與實踐

噪聲在時間域的表現(xiàn)形式是高頻，而Haar小波是最簡單的正交小波，通過伸縮平移變換，與信號做離散小波變換后，可以提取不同位置的高頻信息，從而達到去除噪聲的目的。這是最簡單的去燥原理。學(xué)生做過這一實踐任務(wù)后，加深了小波去燥原理的理解，為進一步構(gòu)造復(fù)雜去燥的方法打下了堅實的基礎(chǔ)。

四、基于Haar小波濾波器的信號壓縮原理與實踐

小波函數(shù)至少具有一階消失矩，信號在小波基下的稀疏表示問題，即壓縮問題，是小波應(yīng)用領(lǐng)域的一個重要課題。通常小波函數(shù)消失矩越高，壓縮效果越好。由于Haar小波具有一階消失矩，因此采用它作為一種壓縮工具是有一定效果的，雖然與具有高階消失矩的小波的壓縮效果相比，它不是最理想的小波。學(xué)生做過這一實踐任務(wù)后，能夠深刻理解信號在小波基下的稀疏表示原理。

五、用MATLAB語言實現(xiàn)db2小波畫圖

Daubechies小波函數(shù)系沒有顯示表達式，它的構(gòu)造過程非常巧妙，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決具體問題時的強大。它的構(gòu)造過程應(yīng)用到了三角多項式分解的Riesz引理，高等代數(shù)中代數(shù)多項式的Bezout定理，組合數(shù)學(xué)的有關(guān)公式，函數(shù)多項式展開的Taylor定理，數(shù)值分析的迭代原理等一些深刻的數(shù)學(xué)工具。構(gòu)造Daubechies小波的原始論文長達88頁，美籍比利時裔女?dāng)?shù)學(xué)家Daubechies在構(gòu)造這一類緊支撐正交小波時，體現(xiàn)了她數(shù)學(xué)功底的深厚和構(gòu)思的巧妙。一般在短期內(nèi)很難深刻理解其原理，但通過上機實踐，可以認識到它可以通過迭代產(chǎn)生，并深刻理解“支集”以及“消失矩”這兩個在小波理論中非常重要的概念。

六、一維Mallat分解與重構(gòu)算法實現(xiàn)

一維Mallat分解與重構(gòu)算法是小波理論與應(yīng)用這門課程的重要內(nèi)容之一。以往的一些老師講解只注重公式的推導(dǎo)，忽視了上機實踐。其實一維Mallat分解與重構(gòu)真正上機實踐還會面臨很多具體的問題，比如，初值的選取個數(shù)，怎樣應(yīng)用采樣定理選取初值，如何應(yīng)用小波尺度函數(shù)計算初值，邊界怎樣延拓，最后算出的數(shù)據(jù)如何進行選擇截斷等，這些只有通過上機實踐，學(xué)生才能體會到其中的奧妙，才能夠更加深刻理解Mallat算法。在這一課時安排中，提到Mallat與Meyer的師生關(guān)系，指出大數(shù)學(xué)家的風(fēng)范和氣度，本來，MAllat算法的理論基礎(chǔ)是多分辨分析概念，這一概念是Mallat提供的思想，后經(jīng)與其導(dǎo)師Meyer的研討，經(jīng)過其導(dǎo)師Meyer用嚴格的數(shù)學(xué)語言濃縮抽象提煉而成的，但其導(dǎo)師在Mallat發(fā)表的文章中卻沒有要求署上自己的名字，使得Mallat一炮走紅，這種甘為人梯的精神值得稱頌。同時提到Mallat對同行的協(xié)作精神，他非常歡迎國外的同行與其交流討論，胸懷坦蕩，為國外同行的研究提供很多便利。提到他的第一學(xué)歷，其實也不高，是一個半軍事化的類似于我們國家的?？茖W(xué)校，但他發(fā)憤圖強，依然取得了斐然的成就。并同樣列舉哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院高會軍為例，他的第一學(xué)歷也不高，但在控制領(lǐng)域依然取得了斐然的成就，發(fā)表有影響的SCI、EI檢索的高水平期刊文章100多篇，是院士的節(jié)奏，從而激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

七、二維小波變換原理與實踐

通過二維小波變換的上機實踐，學(xué)生可以更直觀地理解二維Mallat算法。通過一個二值圖像的分解，領(lǐng)會到二維分解的近似部分信息以及分解得到的三個高頻信息，分別是水平方向的細節(jié)，垂直方向的細節(jié)以及對角方向的細節(jié)。通過典型圖像Lena的分解更加深入地理解二維小波變換對彩色圖像的分解效果。并啟發(fā)學(xué)生如何進行圖像的高分辨率放大。

八、信號的分解與重構(gòu)

對具體的一維信號案例，比如一段大型交響樂進行分解，得到各個頻段的頻譜特征，從而具體分辨出有哪幾種樂器參與了演奏。對于實測的雷達信號分解，分辨出飛機的種類，是客機、轟炸機、殲擊機、運輸機、預(yù)警機，還是電子偵察機等。

在提高篇內(nèi)容上機實踐部分，主要采取課堂講授和學(xué)生討論的形式，要求學(xué)生以大作業(yè)形式完成，可以進行拓展和延伸。這部分內(nèi)容以案例為主線，選取具有代表性、注重時效性的工程案例，支撐關(guān)鍵知識點，針對案例的工程情境，結(jié)合視頻播放，通過設(shè)計具有邏輯性的系列問題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，調(diào)動學(xué)生主動學(xué)習(xí)的積極性，增加學(xué)生思辨的興趣，增強工程理論課程教學(xué)的信服力。同時選取典型工程案例，比如，小波分析在電力負載信號處理中的應(yīng)用，指出電力系統(tǒng)在線監(jiān)測中的檢測信號含有大量的現(xiàn)場背景噪聲，給傳統(tǒng)方式的數(shù)據(jù)采集與故障診斷帶來很大的困難，指出以處理瞬態(tài)信號、含寬帶噪聲信號等見長的小波分析應(yīng)用于電力系統(tǒng)在線監(jiān)測是大有前途的。通過小波分析傳感器故障檢測和奇異點定位與消除案例演示，讓學(xué)生體會到小波分析在工程領(lǐng)域的巨大作用。為延伸對小波知識的理解，我們引導(dǎo)學(xué)生對以下問題進行思考：（1）如何利用小波檢測傳感器故障;（2）如何利用小波進一步抑制噪聲;（3）如何利用小波在細節(jié)系數(shù)中識別信號模式;（4）如何利用小波定位并抑制偏離點;（5）如何利用小波研究丟失信息。

另外，有機融入課程思政授課。教師多年來在教學(xué)一線和科研實踐中積累了大量的工程素材，同時結(jié)合平時積累的兩個“思政元素庫”，從中選取合適的元素重新設(shè)計教案。這兩個思政元素庫，一個是從哈工大的辦學(xué)歷史和教學(xué)傳統(tǒng)中發(fā)掘素材，一個是結(jié)合學(xué)科特點積累的最新工程案例、時政新聞素材等。將工程案例與課程思政有機融合，為課程賦予靈魂。結(jié)合國內(nèi)外工程領(lǐng)域的發(fā)展趨勢，精選具有警示作用和感召力的工程案例，采用正反結(jié)合的選取模式，講述并分析實際工程案例發(fā)生的前因后果，展示具體倫理道德困境。通過正面案例的講解，充分體現(xiàn)我國工程的先進性及工程師的職業(yè)倫理道德，引導(dǎo)學(xué)生在工程活動中進行倫理思辨。同時，適當(dāng)選取反面案例，分析由于違背自然規(guī)律、違規(guī)操作、未排除安全隱患等，引發(fā)的工程問題及產(chǎn)生的后果。借助栩栩如生的生動案例，分析辨識案例中存在的倫理道德問題，引導(dǎo)學(xué)生深入、自主思考，并觸及其心靈深處，鼓勵學(xué)生充分表達自己的觀點，培養(yǎng)學(xué)生的工程倫理意識和道德素養(yǎng)。

在具體的課程講解中引入習(xí)近平總書記提出的生態(tài)文明建設(shè)思想，融入課程思政元素，以工程案例為主線，如講解工程的價值導(dǎo)向性，介紹哈工大的劉永坦院士承擔(dān)的新體制雷達工程，為我國筑起海防長城，對于雷達信號處理，指出也可應(yīng)用小波;以思政為靈魂，把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，結(jié)合課程內(nèi)容，于無聲處融入思政元素，為課程賦予靈魂。落實價值塑造、能力培養(yǎng)、知識傳授“三位一體”的人才培養(yǎng)目標，進一步激勵學(xué)生的愛國情懷。

在實踐教學(xué)過程中，授課教師親臨實驗環(huán)境，不厭其煩地為學(xué)生上機過程中產(chǎn)生的疑問解答，與學(xué)生交流、討論、互動，從而真正實現(xiàn)了教學(xué)互長，互相促進。

總之，小波理論與應(yīng)用這門課程，在以往的教學(xué)中，由于偏重于理論教學(xué)，學(xué)生普遍反映課程抽象、枯燥。在增加實踐教學(xué)內(nèi)容并有機滲透了課程思政內(nèi)容后，學(xué)生普遍反映這門課程理論性、應(yīng)用性和趣味性都比較強，印象深刻，提高了邏輯思維能力和實踐動手能力，收獲頗多。這門課程為學(xué)生進一步走向科研領(lǐng)域打下堅實的基礎(chǔ)。學(xué)生反響都比較強烈，評教由以往的接近90分的B+，上升到93.5分的A，離95分的A+僅一步之遙。

編輯 張 俐