大學數學專業課基本概念的教學方法探究

郝曉燕

[摘? ? ? ? ? ?要]? 大學數學專業課的概念較為抽象，直觀上難以理解。而概念是理解一切的基礎，所以概念的教學關乎學生學習和理解一門課的程度。以數列的極限、連續與概率密度的概念的教學為例，由于數學概念是現實生活中某一數量關系和空間形式的本質屬性在人的思維中的反映，數學根本上是來自自然界，從數學原始概念所描述的生活現象出發，利用“數學是用數字詮釋生活”這一思想，引導學生自己用數學語言描述這一生活現象，親自感受定義的得出過程。提供了一種數學概念教學的行之有效的方法，使一些抽象概念不僅變得易學易理解，還能掌握其實質。

[關? ? 鍵? ?詞]? 極限;概率密度;教學;概念

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）28-0168-02

大學數學專業的課程貫穿高度抽象的方法、高度嚴密的推理、高度系統的結構，致力于培養學生科學嚴謹的思考習慣與認真細致的工作作風。具有極強的理論性、系統性和邏輯性，并且知識點多、抽象概念多、邏輯性強。不少學生在學習和掌握本課程知識點時存在一定的困難。

數學概念是數學知識體系中重要的一環，在教學的過程中不能忽視對數學概念的探究教學，只有讓學生對數學概念有了一個完整、正確、清晰的認識，他們才能夠在學習其他的數學知識時更加輕松。我們在進行概念教學時，要精心設計，大膽嘗試，和學生一起參與到概念的形成過程中，達到對概念本質的理解。

究其原因，主要是學生不能理解有關知識點的本質，這對我們如何進行教學提出了新的挑戰。如果直接給出定義進行教學，這屬于“填鴨式”“灌輸式”教學，教學效果可想而知。

我們知道數學來源于生活，服務于生活，如果我們能挖掘出每個知識點的生活本質描述生活現象。在教學中還原其生活本質，讓學生親歷定義得出過程，試著用數學語言表述出來，學生對定義的理解一定會很深刻。以下以“極限”概念以及概率密度的概念的教學為例探討這一教學方法。

一、極限概念的教學

數學分析是用極限為工具研究連續函數的一門數學分支學科。極限是數學分析研究連續函數的工具。所以理解極限概念對學生學好數學分析這門課起著至關重要的作用。

（一）極限這一概念描述的生活現象

極限描述的是有著確定變化趨勢的現象。

（二）極限的定義

1.極限的描述性定義

對于數列an，如果隨著n的無限增大，數列an會無限接近某一個確定的常數，則稱該數列存在極限，并且以該常數為其極限。

2.極限的“ε-N”定義[1]

對于數列an，常數a，如果對？坌ε>0，？堝N>0使得對n>N，都有an-a<ε。則稱數列an的極限為a。

（三）極限定義的教學

首先，給學生指明極限就是變化趨勢。數列的極限描述的是隨著n的增大數列的變化趨勢，也就是觀察該數列隨著n的無限增大，是否會“無限接近”某一個常數。

其次，給學生解釋“無限接近”也就是“要多接近就有多接近”，最后引導學生怎么在數學上刻畫它。兩個數的接近程度即兩個數的距離，在數學上用絕對值來表示，而要多接近就有多接近的“多”也就是“任意”的意思，所以在數學表示即為“？坌ε>0，an-a<ε”就有多接近，指的就是隨著n的增大，就能有多接近，也就是從某一項開始的所有項都能滿足即可，即“？堝N，？坌n>N”這就是極限的“ε-N”定義。

如果這樣給學生講，學生不僅能很好地理解該定義，知道各個符號的真正含義，并且對“ε的任意性和確定性，N的存在性，可以限制ε的范圍”等注意點也一目了然。

二、連續函數的定義

數學分析是用極限為工具研究連續函數的一門數學分支學科。連續函數是數學分析研究的對象。所以對連續函數概念的理解，對學生學好數學分析這門課起著至關重要的作用，連續函數有函數在一點處連續，在某區間連續，在某區間連續的函數是利用函數在一點處連續的定義而定義的。

（一）連續這一概念描述的生活現象

先提問：“一提到連續，你想到了什么情形呢？”答曰：“連綿不斷。”緊接著給學生說明連續描述的是連綿不斷的現象。

（二）函數在一點連續的定義[2]

設函數f（x）在點a的某個鄰域內有定義，

（2）函數f（x）在點a處有定義，

則稱函數f（x）在點a處連續。

（三）連續定義的教學

首先，給學生指明連續就是連綿不斷，好比一條繩子，隨之板書出來。

其次，讓學生思考：斷開的兩條繩子怎么能連接起來呢？很容易引導學生得出：斷開的兩條繩子湊到同一個點。再繼續引導可以了嗎？還必須得滴一滴膠水把兩者黏住即可。這樣這兩條繩子就連接起來了。

最后，引導學生怎么在數學上刻畫它。斷開的兩條繩子湊到同一個點，也就是這兩條繩子在從兩側向同一個點走，在數學上也就是在該點處左右極限不僅存在，而且相等。還必須得滴一滴膠水把兩者黏住，在數學上也就是在這點處函數值不僅存在，而且極限值等于函數值，即函數在一點處連續的定義。

如果這樣給學生講，學生不僅能很好地理解該定義，知道各個符號的真正含義，在知識掌握方面，對連續函數圖像的認識也有一個直觀深刻的理解，為以后進一步學習函數在一個區間上連續和數學分析后續知識的學習打下堅實的基礎。

三、概率密度的教學

概率密度是概率論的一個重點，對學生了解隨機變量的分布起著非常重要的作用。

（一）概率密度這一概念描述的生活現象

在某一區間上概率的分布情況。

（二）概率密度的定義

設隨機變量X，x∈R，

則稱該極限為隨機變量在點處的概率密度[2]。

（三）概率密度定義的教學

首先，給學生指明密度即“稠密程度”。

其次，和學生回憶一下學過的密度以及總結怎么去量化密度。

我們知道人口密度、物理上的密度。

我們是怎么去計算的呢？

我們知道密度是等于值除以其對應的幾何度量。

如果這樣給學生講，學生不僅能很好地理解該定義，知道各個符號的真正含義，而且還能夠還原其生活實質，概率密度為0代表什么，值的大小代表什么學生就能很好地理解。

參考文獻：

[1]劉玉璉.數學分析（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]沈恒范.概率論與數理統計（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2017.

編輯 張 俐