巧破常規法 妙解二項式

■江蘇省張家港中等專業學校

二項式定理是高中數學內容與體系中較為獨特的一部分知識,內容并不多,難度并不大,卻充分展示了中學數學中待定系數法、構造法、特殊值法、賦值法和逆向思維等基本方法思想。破解二項式問題常見的思維方式就是借助二項式定理進行展開,而常見的方法是通過二項式公式的正向與逆向應用、賦值應用來解決問題,其實還可以利用一些其他的非常規方法來巧妙解答相關的二項式定理問題。下面結合實例,以非常規技巧方法來妙解二項式問題。

1.巧轉化

在二項式定理的相關問題中,經常會見到多于二項的多項式或較為復雜的多項式問題,解題時要通過合理轉化,把多于二項或較為復雜的多項式問題轉化為與之對應的二項式定理的問題來分析與求解。

例1在的展開式中,x3y3的系數為_____。的合理變形,要求解原展開式中x3y3的系數,就可以轉化為求解較為簡單的

分析：根據展開式中的含xy項的系數問題,這樣合理轉化,易于操作,過程簡單方便。

解：由于的展開式中x3y3的系數,只需求的展開式中含xy項的系數即可。

點評:結合展開式中關系式的運算,分解相關問題,進行有效的轉化,把較為復雜的二項式問題轉化為較為簡單的二項式問題,這樣使得解題過程化繁為簡,起到事半功倍的效果。

2.巧換元

在解決一些二項式定理的相關問題時,經常會碰到二項展開式的等式左右兩邊所對應的冪的底數不一致的情況,此時往往可以借助換元思維來處理,有效降低數學思維的難度,使得問題變得簡單易解。

例2已知a1(x-1)4+a2(x-1)3+a3(x-1)2+a4(x-1)+a5=x4,則a2+a3+a4=( )。

A.12 B.13 C.14 D.15

分析：觀察二項展開式的等式左右兩邊,可知含有未知數的冪的底數不一致,從而需要通過巧妙換元轉化為一般情況下的二項展開式問題,再通過二項式定理的相關知識來分析與解決。

解：令x-1=t,則有x=t+1。

結合題目條件,可得(t+1)4=a1t4+a2t3+a3t2+a4t+a5。

利用二項式定理,則有：

故答案為C。

點評:結合二項展開式中冪的特征進行換元處理,化陌生的二項展開式問題為熟知的二項式定理問題,借助二項式定理的相關知識來分析與處理即可。換元思維,使得問題熟悉化、常規化,從而得以借助常規思維來解決與處理。

3.巧分組

在解決一些涉及三項或更多項的展開式問題時,經常根據題目條件,對相應的三項或更多項的展開式進行合理分組,轉化為二項展開式問題,再通過二項式定理的相關公式或性質來分析與處理。

例3(x2+3x+2)5的展開式中含x的項的系數為_____。

分析：結合題中條件中的三項展開式(x2+3x+2)5中關系式的特征,合理進行因式分解x2+3x+2=(x+1)(x+2),把問題中的三項式問題進行巧妙轉換,再結合二項式定理來解決即可。

解：(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5=

可知展開式中含x的項為

所以展開式中含x項的系數為240,答案為240。

點評:對于三項式或更多項的展開式中的特定項問題,一般先對三項式進行合理變形,比較常見的變形方式就是借助因式分解巧妙分組,進而轉化為與之對應的二項式問題,再利用二項式定理解決。

4.巧建模

對于一些特殊的二項展開式問題,如果給出相關項的特征,結合組合模型特征,通過從相關二項式所對應的因式中按要求提取相關的因式,進而達到滿足條件的目的,通過合理建模來解決相應的系數問題。

例4(2015年全國課標Ⅰ卷理科第10題)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數為( )。

A.10 B.20 C.30 D.60

分析：根據題目條件,可以把二項展開式(x2+x+y)5看作5個因式x2+x+y的乘積,根據所求的項x5y2的特征,分配各相應的因式中所要提取的關系式,利用組合模型特征來進行處理。

解：在(x2+x+y)5的5個因式中,要使得取出的項為x5y2,那么應該從這5個因式中,其中2個因式提取項x2,剩余的3個因式中1個提取項x,其余2個因式提取項y,這樣就使得展開式中的項滿足題目條件。

根據組合模型特征,可得x5y2的系數為=30,故答案為C。

點評:結合二項展開式中所求項的特征,合理建立組合模型來巧妙處理。解決此類問題往往回歸二項式定理的本質特征與數學模型——組合,利用組合模型特征來分析與處理,方法巧妙,簡單易懂,同時處理問題也自然流暢。

5.巧求導

在解決一些與二項式定理有關的參數值、系數和、代數式和、恒等式求值以及關系式證明等相關問題時,結合對應代數式中系數特征,通過對二項展開式兩邊進行求導,再結合特殊值的賦值處理等相關方法來達到破解問題的目的。

例5已知(4x-3)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8,則a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8=_____。

分析：結合所求關系式的系數特征,其相關的系數恰好是二項式右邊自變量x的次數,由此聯想到冪函數的求導公式,通過對等式兩邊求導,再對自變量x進行適當的賦值來分析與求解。

解：已知等式(4x-3)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8,兩邊對x進行求導,得：

32(4x-3)7=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6+8a8x7。

令x=1,則有a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8=32×(4×1-3)7=32。

故答案為32。

點評:結合關系式的系數特征進行合理的求導處理,可以針對性配湊到相對應的系數,達到巧妙破解問題的目的。若用二項式定理展開來處理,則會相對比較麻煩,運算量也會倍增,解題過程也更為復雜。

其實,除了以上幾種破解二項式定理的非常規方法外,還有其他的一些相關的方法可以采用,需要我們在在學習過程中不斷加以總結、積累與反饋。破解二項式定理問題的關鍵是正確分析題目條件,結合相關知識點加以合理轉化與化歸,采用切實可行的方法,從而達到解決二項式定理問題的目的。特別地,一些非常規的方法與技巧對同學們思維的發展、能力的提高和核心素質的培養都是十分有益的。