用雙穩(wěn)態(tài)勢場模型研究觀點轉(zhuǎn)變的驅(qū)動-響應(yīng)關(guān)系*

王鵬 潘鳳春 郭晶晶 李婷婷 王旭明 2)?

1) (寧夏大學(xué)物理與電子電氣工程學(xué)院, 銀川750021)

2) (寧夏沙漠信息智能感知重點實驗室, 銀川750021)

(2019 年 10 月 8日收到; 2019 年 12 月 19 日收到修改稿)

從物理學(xué)的視角看, 群體觀點演化實質(zhì)可以看作是觀點粒子狀態(tài)變化的集體效應(yīng). 本文考察在雙穩(wěn)態(tài)勢中噪聲誘導(dǎo)觀點粒子的狀態(tài)轉(zhuǎn)變, 利用加權(quán)拉蓋爾完備正交函數(shù)法計算了時間關(guān)聯(lián)函數(shù)和描述驅(qū)動-響應(yīng)關(guān)系的弛豫時間. 理論計算結(jié)果表明, 噪聲誘導(dǎo)作用存在一個臨界值Dc, 若噪聲強度高于臨界值, 時間關(guān)聯(lián)函數(shù)隨關(guān)聯(lián)時間呈指數(shù)型增加. 結(jié)果還顯示, 存在弛豫時間隨勢壘縱橫比/噪聲強度變化取值趨于無窮的雙奇異點現(xiàn)象. 奇異點處無法實現(xiàn)觀點粒子狀態(tài)的轉(zhuǎn)變. 弛豫時間與勢壘縱橫比之間存在線性關(guān)系, 預(yù)示著在雙穩(wěn)態(tài)勢場中觀點粒子受噪聲驅(qū)動呈現(xiàn)類似牛頓第二定律的驅(qū)動-響應(yīng)關(guān)系, 而弛豫時間在這個關(guān)系中充當(dāng)表征慣性質(zhì)量的角色.

1 引言

現(xiàn)實社會中, 一些事件會引發(fā)廣泛關(guān)注和深刻討論, 導(dǎo)致觀點一致或分化等強烈變化[1?3]. 事件發(fā)展的動力學(xué)機(jī)制是什么? 如何刻畫? 目前, 基于伊辛模型的基本思想, 建立了觀點動力學(xué)[4?6]、人文動力學(xué)[7]、語言動力學(xué)[8]、動物的集群行為[9]、人類遷移動力學(xué)[10?13]等模型定量描述了人類行為規(guī)律, 探索了人類行為的特征量或?qū)傩粤? 德國物理學(xué)家Helbing[14?16]引入社會力, 提出類慣性的屬性量, 依據(jù)牛頓第二定律考察人類空間行走和人群應(yīng)急出逃的路徑選擇等行為, 為將人類社會行為研究納入經(jīng)典物理學(xué)理論框架進(jìn)行了有益探索. 觀點演化等人類信念傳播過程中, 個體的“狀態(tài)”變化亦可能受普適物理學(xué)規(guī)律的支配, 類慣性等屬性應(yīng)當(dāng)存在于驅(qū)動-響應(yīng)關(guān)系中, 但如何表達(dá)應(yīng)該是一個非常大的挑戰(zhàn).

在經(jīng)典統(tǒng)計物理理論框架下, 觀點動力學(xué)研究取得了豐富的結(jié)果[17?23]. 一些物理學(xué)家基于伊辛模型以及相關(guān)的統(tǒng)計理論, 發(fā)現(xiàn)隨機(jī)漲落會誘導(dǎo)雙穩(wěn)態(tài)間的翻轉(zhuǎn)[24,25]. Sznajd-Weron和Sznajd[21]模擬了噪聲誘導(dǎo)一維觀點粒子的自發(fā)翻轉(zhuǎn). 同時, 觀點傳播被理解為輿論在對稱雙穩(wěn)態(tài)有效勢場中的運動, 揭示了觀點粒子在雙穩(wěn)態(tài)間自發(fā)翻轉(zhuǎn)的最大等待時間與系統(tǒng)尺寸間呈冪指數(shù)關(guān)系[25]. de la Lama等[26]依據(jù)Sznajd模型的個體觀點變化遞歸關(guān)系, 以概率p實現(xiàn)觀點轉(zhuǎn)變, 則以概率 ( 1?p) 保持觀點不變, 結(jié)果表明若p>pc(這里pc是個體狀態(tài)轉(zhuǎn)變的閾值)時, 個體觀點會自發(fā)地形成雙穩(wěn)態(tài),相反則形成單穩(wěn)態(tài)或無序態(tài).

受上述雙穩(wěn)態(tài)勢場觀點粒子特征的啟發(fā), 本文試圖考察觀點粒子在雙穩(wěn)態(tài)勢場中, 噪聲誘導(dǎo)其狀態(tài)翻轉(zhuǎn)的動力學(xué)特征, 展示狀態(tài)變化的驅(qū)動-響應(yīng)關(guān)系, 揭示類慣性的表現(xiàn)方式, 即獲得類似于彈性系數(shù)扮演系統(tǒng)屬性量的角色, 通過類比, 可理解觀點翻轉(zhuǎn)過程的因果律.

2 觀點轉(zhuǎn)變的隨機(jī)動力學(xué)模型

輿情的形成、觀點傳播等社會群體行為, 其實質(zhì)是每個個體狀態(tài)的轉(zhuǎn)變. 與實物粒子系統(tǒng)類似,群體狀態(tài)轉(zhuǎn)變通常存在一個動力學(xué)臨界, 表現(xiàn)為一種標(biāo)度規(guī)律. 為了清晰地展示這種群體狀態(tài)的轉(zhuǎn)變, 將觀點粒子的狀態(tài)轉(zhuǎn)變抽象為雙穩(wěn)態(tài)勢中的粒子從一個穩(wěn)態(tài)跳躍至另一個穩(wěn)態(tài)的動力學(xué)行為.基于物理系統(tǒng)中對雙穩(wěn)態(tài)勢的選取[27], 取V(x)=這里x表示觀點空間,是調(diào)整雙穩(wěn)態(tài)場勢壘高度的參數(shù), 雙穩(wěn)態(tài)對應(yīng)的觀點位置分別為勢壘高度為

如圖1所示.勢壘高度描述粒子躍遷所需的最小能量, 可以刻畫觀點粒子實現(xiàn)轉(zhuǎn)變的困難程度. 為了考慮勢壘寬度對狀態(tài)轉(zhuǎn)變的影響, 將其與勢壘高度的影響歸并,從而引入勢壘的高寬比即縱橫比從縱橫比的表達(dá)形式可知, 縱橫比越大(α越大, 即勢壘高度越大), 觀點粒子維持狀態(tài)的能力越強, 實現(xiàn)翻轉(zhuǎn)需要注入的能量越多, 反之則相反. 對于開放的社會系統(tǒng), 觀點粒子狀態(tài)的變化不僅受確定勢場的作用, 同時還會受由社會環(huán)境施加的不確定作用, 即隨機(jī)作用(突發(fā)事件、突然的關(guān)注等不確定的作用)的影響. 因此, 應(yīng)由Langevin方程描述觀點粒子的動力學(xué), 則有

圖1 不同勢壘高度下的雙穩(wěn)態(tài)廣義勢Fig. 1. Bistable generalized potential with different barrier heights.

其中??V(x) 表示觀點粒子受勢場的負(fù)梯度力;ξ(t)表示由社會環(huán)境不確定因素引發(fā)的隨機(jī)力, 服從高斯白噪聲, 其統(tǒng)計特征滿足:

用Kramers-Moyal級數(shù)展開方法將方程(1)轉(zhuǎn)變?yōu)楦怕恃莼匠蘙11?13,27], 即 Fokker-Planck方程

這里N0是歸一化常數(shù).

為了考察觀點粒子從一個穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€穩(wěn)定狀態(tài)的統(tǒng)計規(guī)律, 即粒子從雙穩(wěn)態(tài)勢的左谷向右谷的轉(zhuǎn)變, 從而實現(xiàn)對觀點粒子輸運特征的測量. 根據(jù) Graham 和 Schenzle[28], Huber和Tsimring[29], Lett等[30]對關(guān)聯(lián)函數(shù)的定義, 考察變量時間關(guān)聯(lián)函數(shù)

這里P(x,τ;x0,0) 表示初始條件為x(0)=x0, 經(jīng)歷時間τ出現(xiàn)在位置x(τ) 的概率. 由于觀點粒子狀態(tài)的變化是一個隨機(jī)過程, 因此, 從狀態(tài)經(jīng)過時間間隔τ轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)x的概率可以通過轉(zhuǎn)移概率密度P(x,τ|x0,0) 獲得, 即

根據(jù)方程(3)中微分算符的時間獨立性, 可以推出轉(zhuǎn)移概率的廣義形式為

將方程(7)和方程(8)代入方程(6), 得時間關(guān)聯(lián)函數(shù)

發(fā)現(xiàn)此函數(shù)滿足Fokker-Planck方程(方程(3)),即此函數(shù)是Fokker-Planck方程的一種含時解, 且初始條件滿足

將含時解代入方程(10), 則時間關(guān)聯(lián)函數(shù)的形式轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

基于初始條件以及穩(wěn)態(tài)解的可積性, 可將Fokker-Planck方程的概率解在完備正交函數(shù)空間展開, 即

根據(jù)Sancho等[31]對時間關(guān)聯(lián)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化定義, 則有

將方程(14)代入方程(17), 則

將方程(15)和方程(16)代入方程(18), 則

依據(jù)加權(quán)拉蓋爾多項式的正交性和平方可積性, 即

將方程(21)代入方程(18), 可得

為了計算含時系數(shù), 將方程(14)代入方程(11),借助加權(quán)廣義拉蓋爾多項式的正交性和遞歸關(guān)系得

具體計算過程以及系數(shù)的表達(dá)形式請參考附錄A.

那么方程(23)轉(zhuǎn)變?yōu)槿鞘噶窟f歸關(guān)系[27], 其形式為

對方程(25)做Laplace變換, 則有

這里I是單位矩陣,是穩(wěn)態(tài)展開系數(shù). 根據(jù)加權(quán)廣義拉蓋爾展開系數(shù)的定義式

從方程(28)可知穩(wěn)態(tài)概率的拉蓋爾級數(shù)展開系數(shù)為于是可推出

李錦認(rèn)為，國企應(yīng)該通過混改，帶來吸引資金、降低杠桿率、優(yōu)化公司治理、試點職業(yè)經(jīng)理人制度等多重效益，不能單打一。

對(27)式進(jìn)行連續(xù)迭代, 從而建立了關(guān)聯(lián)矩陣的連分?jǐn)?shù)形式

方程(36)可以看作是Q為未知量的一元二次方程,其解為

根據(jù)連分?jǐn)?shù)極限收斂性質(zhì), 則關(guān)聯(lián)矩陣收斂于上述解的最小值[27], 即

那么, 含時系數(shù)的遞歸關(guān)系可寫成為

將方程(39)代入方程(27), 可得

將方程 (26), (27), (30)和 (38)代入方程 (40),計算得

其中, 參數(shù)A,B,,和分別為

對方程(43)進(jìn)行Laplace逆變換, 則有

和

將方程(44)和方程(45)代入方程(22) 即得時間關(guān)聯(lián)函數(shù)

為了能展示觀點粒子系統(tǒng)對噪聲驅(qū)動所作響應(yīng)的本質(zhì)特征, 引入描述系統(tǒng)相變的弛豫時間, 即對時間關(guān)聯(lián)函數(shù)進(jìn)行積分

據(jù)此可考察相變過程的驅(qū)動-響應(yīng)關(guān)系.

3 結(jié)果分析

通過上述理論解析, 獲得了刻畫雙穩(wěn)態(tài)觀點粒子狀態(tài)轉(zhuǎn)變的時間關(guān)聯(lián)函數(shù)和弛豫時間. 圖2展示了時間關(guān)聯(lián)函數(shù)對關(guān)聯(lián)長度的依賴關(guān)系, 噪聲強度D的差異將時間關(guān)聯(lián)函數(shù)劃分為兩種不同的變化方式: 若DDc, 時間關(guān)聯(lián)函數(shù)隨時間呈指數(shù)形式遞增, 如圖2(b)所示. 指數(shù)隨著噪聲作用的增強而變大(D=0.20→0.25 對應(yīng)指數(shù)從ke=0.14→0.32 ),標(biāo)志著強噪聲作用強到完全壓制關(guān)聯(lián)函數(shù)隨時間衰減的程度, 噪聲誘導(dǎo)群體狀態(tài)轉(zhuǎn)變的有序性隨之提高.

顯然, 弛豫時間能夠反映上述相變過程的快慢, 一定程度上體現(xiàn)了此過程驅(qū)動-響應(yīng)關(guān)系中的慣性, 稱之為類慣性. 為揭示這種關(guān)系, 考察其對噪聲強度和勢壘縱橫比的依賴關(guān)系, 從而揭示輿情傳播、觀點演化過程的本質(zhì)特征. 圖3展示了觀點粒子狀態(tài)轉(zhuǎn)變的弛豫時間. 弛豫時間隨勢壘縱橫比呈現(xiàn)出衰減趨勢且存在兩個不連續(xù)的奇異點, 如圖3(a)所示. 衰減變化表明勢壘越高, 兩態(tài)轉(zhuǎn)變的弛豫時間越短. 這可從相反的情形得到理解, 即勢壘越低, 觀點粒子雖然越容易跨過勢壘到達(dá)另一狀態(tài), 但越難穩(wěn)定于此狀態(tài), 即弛豫時間越長. 圖3(b)刻畫了弛豫時間與噪聲強度間的依賴關(guān)系, 同樣呈現(xiàn)出雙奇異點現(xiàn)象. 弛豫時間對縱橫比和噪聲強度的雙奇異點, 從方程(48)的表達(dá)形式可知產(chǎn)生奇異的兩種情形, 8D?6α →0 和K?x(0)→0 . 這兩種情形分別對應(yīng)圖3中的第一個和第二個不連續(xù)奇異點, 前者表示噪聲強度與勢壘縱橫比間競爭的臨界關(guān)系, 后者描述了群體系統(tǒng)位移的均方差趨于0, 即觀點粒子分布趨于空間均勻. 第一個奇異點的參數(shù)Ds=0.75α和與之對應(yīng)的勢壘縱橫比

圖2 在確定勢壘高度的縱橫比 ( γ =0.2 )情形下, 時間關(guān)聯(lián)函數(shù)對關(guān)聯(lián)時間長度的依賴關(guān)系(a) 若噪聲強度DDc , 時間關(guān)聯(lián)函數(shù)對關(guān)聯(lián)時間長度呈指數(shù)關(guān)系, Φx(τ)∝ e?keτFig. 2. Time correlation function with different aspect ratios of energy barrier: (a) When D Dc , time correlation function increases with time correlation length exponentially,Φx(τ)∝ e?keτ.

圖3 (a) 在不同的噪聲強度情形下, 弛豫時間對勢壘深度縱橫比的依賴關(guān)系; (b) 在不同縱橫比情形下, 弛豫時間對噪聲強度的依賴關(guān)系Fig. 3. (a) Dependence of relaxation time on aspect ratio of energy barrier under different noise intensities; (b) dependence of relaxation time on noise intensity under different aspect ratios of energy barrier.

圖5 (a) 弛豫時間與噪聲強度間呈線性依賴關(guān)系; (b) 關(guān)聯(lián)系數(shù)與縱橫比間呈線性依賴關(guān)系Fig. 5. (a) Relaxation time depends linearly on noise intensity; (b) correlation coefficient depends linearly on aspect ratio of energy barrier.

奇異點標(biāo)志著噪聲誘導(dǎo)無法實現(xiàn)觀點粒子的狀態(tài)翻轉(zhuǎn). 第一個奇異點意味著噪聲強度與縱橫比的競爭勢均力敵(方程(49))時觀點粒子無法實現(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)變. 第二個奇異點是系統(tǒng)整體趨于無序的均勻狀態(tài), 亦無法實現(xiàn)觀點粒子的狀態(tài)翻轉(zhuǎn).

為了找出前述相變過程驅(qū)動-響應(yīng)關(guān)系及其對應(yīng)的量, 在無奇異現(xiàn)象的參數(shù)情形下考察弛豫時間與噪聲強度的這種關(guān)系. 圖5(a)展示了弛豫時間(過程特征)與噪聲強度(驅(qū)動)間呈線性相關(guān), 即

其中 1 /C是關(guān)聯(lián)系數(shù). 圖5(b)展示了噪聲強度與紅色圈連成的線表示臨界條件

圖4 藍(lán)色點連成的線為

Fig. 4. Dotted blue line shows the critical condition ofred circle line presents the critical condition

勢壘縱橫比間呈線性關(guān)系, 因此方程(51) 可變形為

其中k是C與勢壘縱橫比的比例系數(shù).

至此, 可以用方程(52)來描述觀點粒子狀態(tài)轉(zhuǎn)變的驅(qū)動-響應(yīng)關(guān)系. 在這個關(guān)系中D是驅(qū)動力,代表觀點粒子狀態(tài)變化的難度, 一定程度上反映兩個態(tài)之間的差異程度, 對應(yīng)相變時的狀態(tài)變化量, 度量系統(tǒng)對驅(qū)動的響應(yīng);T描述觀點粒子從一個態(tài)變到且穩(wěn)定于另一個態(tài)的“瞬態(tài)”時長, 在這個驅(qū)動響應(yīng)關(guān)系中, 具有表征慣性的“質(zhì)量”的意義, 稱之為“類慣性”.

4 結(jié)論

通過理論計算時間關(guān)聯(lián)函數(shù)以及弛豫時間, 考察觀點粒子狀態(tài)轉(zhuǎn)變過程的細(xì)節(jié)特征. 時間關(guān)聯(lián)函數(shù)的變化規(guī)律顯示: 在確定的縱橫比下, 噪聲誘導(dǎo)觀點粒子狀態(tài)轉(zhuǎn)變存在一個臨界值, 若噪聲誘導(dǎo)群體狀態(tài)轉(zhuǎn)變的有序性先增強后減弱, 若誘導(dǎo)群體狀態(tài)轉(zhuǎn)變的時間關(guān)聯(lián)函數(shù)呈指數(shù)型遞增, 表明噪聲作用引起群體的局部關(guān)聯(lián)與時間關(guān)聯(lián)長度間形成競爭. 噪聲誘導(dǎo)作用強, 群體狀態(tài)轉(zhuǎn)變行為顯著且有序性高. 弛豫時間與縱橫比/

附錄A含時系數(shù)的計算

為了計算含時系數(shù), 將方程(14)代入方程(11), 則噪聲強度間的雙奇異點現(xiàn)象揭示了: 1)當(dāng)系統(tǒng)處于均勻的空間分布狀態(tài)時, 噪聲無法誘導(dǎo)觀點粒子狀態(tài)的轉(zhuǎn)變; 2)噪聲誘導(dǎo)作用與觀點粒子狀態(tài)轉(zhuǎn)變困難程度的競爭處于平衡時, 即處于參數(shù)曲線時, 同樣無法實現(xiàn)觀點粒子狀態(tài)的轉(zhuǎn)變. 弛豫時間隨勢壘縱橫比的衰減關(guān)系表明, 觀點狀態(tài)轉(zhuǎn)變的難度越高, 群體系統(tǒng)對噪聲的響應(yīng)時間越短. 弛豫時間與噪聲強度以及C與勢壘縱橫比間的線性關(guān)系, 實際體現(xiàn)了群體系統(tǒng)的驅(qū)動-響應(yīng)關(guān)系, 即其中D是驅(qū)動強度,C是系統(tǒng)的響應(yīng),T則度量系統(tǒng)的類慣性大小.這個關(guān)系可以看作是支配觀點演化的“牛頓第二定律”.

本文結(jié)果還隱含了另外一個重要關(guān)系, 即能量和信息量的聯(lián)系. 在本文的雙穩(wěn)態(tài)勢場模型中, 觀點粒子從一個穩(wěn)態(tài)躍遷至另一個穩(wěn)態(tài)首先需要獲得能量以越過勢壘. 換一個角度看, 觀點粒子之所以能夠從一個穩(wěn)態(tài)躍遷至另一個穩(wěn)態(tài), 是因為它通過噪聲關(guān)聯(lián), 獲得了信息. 從這個意義上講, 能量和信息量在這一過程中聯(lián)系起來了. 可以看作是與微觀領(lǐng)域兩者之間存在的本質(zhì)聯(lián)系[32?34]一致的經(jīng)典領(lǐng)域的結(jié)果.

方程(A1)右邊第一項記為

對方程(A1)右邊第二項化簡得

第三項化簡得

對方程(A5)進(jìn)行遞歸關(guān)系變換, 即做如下的遞歸變換:

方程(A5)右邊的項分別為

將方程(A7)—(A14)代入方程(A5), 化簡得

為了書寫方便, 假設(shè)方程(A15)中的系數(shù)分別為