高效2 n 并行快速FIR 算法及其實現方法

胡劍浩，曾維棋，費 超，陳杰男

(電子科技大學通信抗干擾技術國家級重點實驗室 成都 611731)

FIR 又稱為非遞歸型濾波器，是數字信號處理系統中最基本的模塊之一。FIR 濾波器在通信、雷達、圖像、模式識別等領域都有著廣泛的應用[1-3]。某些應用領域如光通信、5G 通信系統、高速遙感衛星接收機等，對濾波器的速率要求越來越高，而移動設備、手持終端等領域對設備的功耗有著嚴格的要求[3]。

文獻[3]的研究表明，并行技術可以提高濾波器的信息吞吐率，同時降低設備功耗。然而傳統的并行處理方式會使硬件復雜度隨并行度線性增加，并行濾波器的硬件效率并沒有得到改善，難以支持高并行度的應用。FFA 能打破傳統并行方式的這種局限性[3-6]，可僅用約2L?1 個N/L 抽頭的子濾波器實現L 并行N 抽頭的FIR 濾波器[3]。文獻[7]提出了基于FFA 的2 和4 并行FIR 濾波器的理論形式與結構，文獻[8]介紹了基于FFA 的8 并行FIR 濾波器，文獻[9]改進了基于FFA 的3 并行FIR 濾波器，文獻[10]給出了基于FFA 的16 并行FIR 濾波器的ASIC 實現方式。然而，目前的研究工作沒有給出基于FFA 的2n并行FIR 濾波器的通用算法。

此外，在高速FIR 濾波器或濾波器組濾波等應用場合[11-12]，對FIR 濾波器并行度的要求達到了160 并行甚至更高。目前基于FFA 的算法沒有提出針對高并行濾波器的設計架構，很多工程實踐仍然采用傳統并行FIR 濾波器的實現方式，造成了很大的硬件資源浪費。

對此，本文根據已有的基于FFA 的2、4、8 并行FIR 濾波器的理論形式，提出了通用的2n并行FFA，并給出了其相應結構，進一步給出了160 并行FFA 的實現架構。通過硬件復雜度評估和算法分析，本文提出的算法和實現架構，可以滿足高并行度FIR 的設計要求，并且算法復雜度和硬件效率較傳統方法有顯著改善。

1 基于FFA 的2、4 與8 并行FIR 濾波器

文獻[8]已經推導出了基于FFA 的2、4 與8 并行FIR 濾波器的理論形式。本節主要對上述理論形式進行整理，方便后面進行推導和分析。

1.1 基于FFA 的2 并行FIR 濾波器

式中的濾波器輸入為：

式中，X0和X1分別是輸入序列{x(2k)}與{x(2k+1)}的z 變換，對于更高并行度情況亦類似。濾波器輸出為：

同樣，Y0和Y1分別是輸出序列{y(2k)}與{y(2k+1)}的z 變換。預加矩陣為：

2.稅收可以促進企業盈利。一方面,企業為了增加雙贏,一方面是強大企業的生產能力,一方面為企業增加收入,另一方面,減少費用支出和稅收,如果他能夠完成稅收策劃和削減稅收,這將有助于保證企業盈利。

但由于算例4增加了電動汽車的數量,意味著可移動的儲能容量增加,電動汽車的可調功率也會增大,如圖14所示。由圖14可以看出,電動汽車的調制功率在-1 500～2 000 kW之間,比算例2的可調功率要大。

濾波器系數矩陣為：

H0和H1分別是濾波器系數序列{h(2k)}與{h(2k+1)}的z 變換。后級加法及延時矩陣為：

1.2 基于快速FIR 算法的4 并行FIR 濾波器

基于FFA 的4 并行FIR 濾波器的算法形式為：

我的畫院：畫院坐落在美麗的地方，有很多美麗的故事。如果想到其與宋代有著各種聯系，立刻讓人感到渺小，又讓人振奮，力爭創作出美麗的畫，以不負各方。

式中的濾波器輸入為：

輸出為：

預加矩陣：

本文采用市售橡木桶對實驗室制備的獼猴桃果酒進行了貯藏研究，隨著貯藏時間的延長，電導率、色度和色調等指標呈現上升趨勢，而溶解氧、游離二氧化硫、總酚和高級醇等物質均呈現下降趨勢，經過橡木桶貯藏后的獼猴桃果酒其感官得分明顯提高。在獼猴桃果酒貯藏過程中，物理、化學和感官的變化與樣品初始溶解氧含量及橡木桶質量有關，后續將對不同貯藏裝置及不同貯藏條件對獼猴桃果酒的影響做進一步研究。

后級加法及延時矩陣：

濾波系數矩陣：

1.3 基于FFA 的8 并行FIR 濾波器

基于FFA 的8 并行FIR 濾波器的算法形式為：

式中的濾波器輸入為：

輸出為：

預加矩陣：

在堅持黨的領導這個重大原則問題上，很重要的是要引導人們正確認識和把握黨的領導、依法治國、人民當家作主這三者之間的關系。在這個問題上，還存在一定的錯誤認識。有的把堅持黨的領導同人民當家作主、依法治國對立起來，甚至用人民當家作主、依法治國來動搖和否定黨的領導。這些在思想上是錯誤的、在政治上是十分危險的。

濾波系數矩陣：

后級加法及延時矩陣：

本文簡單對鋼混凝土疊合梁模板支架的施工技術進行了考察。經過實踐證明，采用自承式懸挑支架體系來開展混凝土模板的搭建最為契合鋼結構本身的特性，因此其結構安全性最好，施工效率較高且外部感觀亦相對完整，是實現鋼混凝土疊合梁模板支架施工的良好途徑。

式中，

試驗結果表明，經過浮選金精礦粗磨浸出—鉛硫浮選分離—硫精礦再磨浸出工藝，可獲得合格鉛精礦，鉛回收率73.00%，鉛精礦中含金、銀分別為97.40 g/t、467 g/t，作業回收率分別是8.03%、13.47%，可隨鉛精礦計價銷售。該方案金、銀總回收率為92.74%、86.92%，相較于方案一，金、銀總回收率稍高，且鉛精礦中金銀的回收率大幅降低，可減少計價系數導致的產值降低。該方案在技術上也是可行的。

2 基于FFA 的2 n 并行FIR 濾波器算法

基于FFA 的2、4、8 并行FIR 濾波器的算法形式，推導出2n并行算法，并設計了基于FFA的2n并行與非2n并行的FIR 濾波器整體結構。

2.1 算法設計

2.2.1 基于FFA 的2n并行FIR 實現結構

由式(2)→式(9)→式(17)可歸納其輸入：

根據2.1 節中的算法形式，對基于FFA 的2n并行FIR 濾波器架構進行設計。

對于預加矩陣，由式(4) →式(11)→式(19)推知：

對于濾波系數矩陣，由式(5)→式(12)→式(20)推知：

由式(6)→式(13)→式(21)推知：

對于后級加法及延時矩陣，由式(7)→式(14)→式(22)推知：

由式(7)→式(15)→式(23)可歸納得：

他用手上的刀絲掛住崖邊的樹木山石緩沖，因為下落的速度太快，第一次掛住東西的時候，拉斷了一條手臂，然后刀絲太過鋒利，斬斷了樹枝，第二次出手的時候，拉斷了他另外一條手臂，最后能看到崖底了，只有一條腿還是完整的，可掉下去的時候還是摔斷了……

式中，Ak滿足：

所歸納的式(24)～式(32)即為基于FFA 的通用2n并行FIR 濾波器的算法形式。分析式(24)～式(32)可以看出，2n并行FIR 算法保持了原FIR 濾波器的傳遞函數，因此該算法具有與原FIR 濾波器的信號處理性能。

2.2 基于FFA 的2 n 并行FIR 濾波結構設計

由式(1)→式(8)→式(16)，可歸納得到2n并行的理論形式為：

由式(3)→式(10)→式(18)，歸納得輸出為：

基于FFA 的2 并行FIR 濾波器的算法形式：

2.2.2 基于FFA 的非2n并行FIR 實現結構

對于非2n并行的FFA，可以用較低并行度的基于FFA 的并行FIR 濾波器組設計高并行度濾波器，本文設計并實現了基于FFA 的160 并行FIR濾波器。由于1 60 =20×8，因此可以用20 個基于FFA的8 并行FIR 濾波器組構建基于FFA 的160 并行FIR 濾波器。其設計結構如圖2 所示。

3 硬件復雜度及算法性能分析

3.1 硬件復雜度分析

設計一個L 并行N?1 階的FIR 濾波器，若多相濾波方式，需要NL 個乘法器及 (N?1)L 個加法器。

2012年12月，習近平總書記在廣東考察時指出：“要尊重人民首創精神，尊重實踐、尊重創造、鼓勵大膽探索、勇于開拓，聚合各項相關改革協調推進的正能量?！边@里，他所談的正能量，與毛澤東同志所說的“調動一切積極因素，團結一切可以團結的力量”的基本精神是一致的。

若基于FFA 實現，當L=2 時，需要3N/2 個乘法器實現；當L=4 時，需要9N/4 個乘法器；當L=8 時，需要27N/8 個乘法器；L=16 時，需要81N/16個乘法器。那么，可以歸納出基于FFA 的2n并行N?1 階FIR 濾波器所需乘法器的個數為3nN/2n，所需加法器數量需要具體計算。

由此，可以統計出N?1 階不同并行度下，傳統方式與基于FFA 方式并行FIR 濾波器的乘法器數量的對比情況，如表1 所示。

由表1 可知，基于FFA 的并行FIR 濾波器所需乘法器個數少于傳統方式。且隨著并行度的增加，FFA 相對于傳統方式將節省更多的乘法器資源。

表1 設計N?1 階FIR 在不同方案下乘法器數目統計表

3.2 算法性能分析

在硬件實現過程中，在計算單元層面，假設傳統并行FIR 結構中加法器的整數位寬為m bit，小數位寬為n bit。由于FFA 架構在前級有預加運算，如16 并行FFA 在前級最多會有16 個數的預加，若仍然采用m bit 的整數位寬，會存在運算溢出的情況。此時，需要拓寬預加16 個數的加法器的整數位寬至m+4 bit。這樣，會使FFA加法器及乘法器的復雜度高于傳統FIR 濾波器。并且相同并行度下FFA 的加法器個數也多于傳統方式。由于FFA 相比傳統方式能節約大量的乘法器，所以高效2n并行FFA 還是有顯著增益。

(1) 隨著支管關閉數量增加，流量改變量越大，造成的水錘升壓越嚴重，因此，設計人員在設計時，應盡量的延緩末端閥門的關閉時間，并且要求盡量避免多條支管同時關閉。

我的畫院：畫院是我的繪畫道路得以前行的一個保障，它為我提供了展示的機會，專研的動力，交流的平臺。杭州畫院是一個團結的集體，每位成員都有自己的追求目標，用“美美與共，和而不同”來形容最合適不過。

為了評估硬件資源總體的收益情況，針對高速光纖通信系統需要的7 階160 并行FIR 濾波器進行設計實現。其架構如圖2 所示。根據前文所述算法性能的分析，在計算單元層面，傳統方式與本文提出的方式的加法器和乘法器的復雜度不盡相同。為了對比分析，采用本文提出的設計方法和傳統的設計方法對該濾波器在FGPA 上進行資源評估。資源評估按FPGA 上對應IPCORE 所占用的查找表LUTs等效折算，所使用FPGA 為Xilinx XC7K325T，乘法器IPCORE 使用Multiplier 11.2 中的常系數乘法器。最終，基于FFA 的方法比傳統方法的乘法器資源 縮減了56.3%，總資源縮減了36.2%，如表2 所示。

當前，實踐中的課程整合可分為兩大類：學科本位的課程整合與兒童本位的課程整合。學科本位的課程整合又可以分為兩類：一類是超越不同的知識體系，以關注共同要素的方式安排學習的課程開發活動。這里的共同要素指的是相似目標、類似內容和大致實施方式。還有一種是學校常常容易忽略的，即以兒童現實的直接經驗、需要和動機為出發點的課程整合。這種整合實際上是對現有課程的拓展和創新，是將游離在原課程體系之外的兒童經驗和需求融入新的課程，故可稱之為“兒童本位的課程整合”。

表2 7 階160 并行FIR 濾波器FPGA 資源評估

4 結 束 語

本文根據已有的基于FFA 的2、4、8 并行FIR 濾波器的理論形式，推導了2n并行FFA，然后設計了2n并行FFA 及非2n并行FFA 的架構。接著，對比了在不同并行度下，高效2n并行FFA與傳統并行算法實現的乘法器數目，發現隨著并行度的增加前者的優勢越發明顯。最后，從計算性能以及計算單元層次上分析了該算法，得出結論：雖然高效2n并行FFA 相對于傳統并行算法會增加若干加法器與乘法器的復雜度，但是由于前者對乘法器資源增益明顯，所以其硬件效率較傳統并行算法仍有顯著改善，且隨著并行度增加，這種優勢會更加明顯。