識模策略在數學問題理解中的運用探析

南通大學理學院 (226007) 鐘志華 劉凱峰

認知心理學家西蒙指出：人們在解決數學問題時，大多數是通過模式識別來解決的.首先要識別眼前的問題屬于哪一類，然后以此為索引在記憶儲存中提取相應的知識，這就是模式識別.

模式識別(Pattern Recognition)是人類的一項基本認知能力或智能，在人的各種活動中都有重要作用.比如一個人觀察某個物體并對該物體進行辨認后判斷究竟是何種東西，或對所聽到的聲音進行辨認并確定是何種物體發出的聲音，或對某種顏色、氣味進行辨認等都涉及模式識別.

在數學學習中，模式識別也普遍存在，小到具體數學問題類型的識別，大到數學概念、數學公式、數學定理以及數學思想方法的運用都離不開模式識別方法.因此，善于運用模式識別方法不僅有助于深刻理解數學的本質，而且對數學問題的解決也具有非常重要的指導意義.筆者曾在“論數學中的模式識別方法”一文中研究了模式識別的機制與類型，本文將進一步探討運用模式識別方法促進數學問題理解的一些具體策略.

1.識別問題結構

古人云：“不謀全局者，不足以謀一域；不謀萬世者，不足以謀一時.”數學問題的理解也應首先著眼于問題的整體結構，即解題者在解題時首先應對整個問題有一個宏觀上的理解.這正如美國著名數學家、數學教育學家G·波利亞在《怎樣解題》一書中所指出的那樣：“首先，我們要將題目作為一個整體來理解.在理解了題目以后，我們在判斷哪些特點可能是最重要的內容時，就占據了一個更為有利的位置.在研究了一兩個要點以后，我們再判斷還有哪些深一層的細節值得研究時，將會占據一個較有利的位置.”事實上，解題者只有首先在整體上對所解決問題的結構有了基本的理解和把握以后才能更好地把握局部，才能少走彎路，而不至于在細節方面迷失方向，出現只見樹木，不見森林的現象.具體來說，解題者在解題時首先要對問題整體結構有一個初步的識別或判斷，要知道問題的已知條件是什么(起點是什么？)，要求的是什么(目標是什么？)，已知條件與尋求的結論之間有什么聯系？有哪些途徑或方法可以從起點達到目標？等等，然后在此基礎上再進一步深入到問題的具體細節之中.

例1 如圖，已知⊙O1，⊙O2相切于P，切線A1C1∥A2C2，B1C1∥B2C2且A1C1⊥B1C1，求證：P，C1，C2共線.

分析：本題中的點C1、C2和切線A1C1、A2C2、B1C1、B2C2一直處在變化之中，如果把眼光僅僅局限于這些具體對象，往往很容易陷入迷局.正確的方法應該是首先跳過具體細節，從大的方面去進行把握，即首先從數學思想方法的高度對問題進行理解或解釋：根據圖形的特點(兩圓相切，這樣切點P與兩圓圓心O1、O2共線)，我們容易發現可以從變換的觀點去考慮問題，將P看作位似中心，⊙O1，⊙O2是以P為位似中心的位似圖形，位似將過某點的切線變成過其對應點的切線，這樣問題就變得非常清楚了.由于B1C1∥B2C2，可將B1，B2看作是一對對應頂點.

同樣地，A1，A2也是一對對應頂點.相應地，B1C1與B2C2是一對對應切線，A1C1與A2C2也是一對對應切線.再根據對應直線的交點也必是對應點，從而就可以知道C1，C2必為對應點.從而P，C1，C2共線.

2.識別關鍵信息

蘇聯學者塔爾塔夫斯基曾把數學解題比喻為捕捉躲藏在一堆石頭中的老鼠.他說：“有兩個方法捕捉躲藏在一堆石頭中的老鼠，一是一塊一塊地拋開石頭，直到看見老鼠為止，這時向它撲上去，并且捉住它；二是圍繞石頭走來走去，并且聚精會神地注視著，是否出現一條老鼠尾巴.一旦發現尾巴就抓住，由石頭中抽出老鼠.”模式識別往往也是這樣，通過仔細觀察發現問題中的關鍵信息，即解決問題的突破口，然后從此出發求得問題的解決.

例2 在相距105千米的兩地A和B，同時相向駛出兩個騎摩托車的人，經過1小時45分鐘相遇，各人繼續沿著自己原來的方向不停前進.3分鐘后，以每小時40千米的速度行駛的第一個騎車人在D點遇到了迎面而來的第三個騎摩托車的人.第三個騎車人在和第一個騎車人相遇后也繼續沿著原來的方向行駛，并且在C點趕上第二個騎車人.如果第一個騎車人的速度每小時減少20千米，而第二個騎車人每小時增加2千米，那么他們就在C點相遇.問第三個騎車人以什么速度行駛？

3.識別特殊信息

一般來說，不同的問題會表現出不同的特征，而不同的特征往往又會決定著不同的解題思路和解題方法.因此，解題者在解題過程中必須善于通過觀察識別問題中出現的各種特征，如數量特征(元素個數、字母的系數或指數等)、結構特征(問題的類型、層次等)、符號特征、關系特征(如大于、小于、等于、平行、垂直等)、位置特征等，然后再利用這些特征的啟發與暗示找到解決問題的思路和方法.關于這一點，G·波利亞曾經反復指出，解題者在面對新問題時應不斷嘗試思考以下問題：“你知道一道與此問題有關的題目嗎？你是否知道一道與所解問題具有相同或相似已知量的題目？你是否知道一道與所解問題具有相同或相似未知量的題目？你有沒有見到過與所解問題方法相同或相似的題目？你有沒有見到過比所解問題更特殊或更一般的題目？”等等.G·波利亞要解題者思考這些問題的目的無非就是要以這些問題來引導解題者發現問題的特征，再將這些特征與解題者頭腦中原有的知識(解題經驗、解題思路、解題方法等)建立聯系并根據這種聯系找到求解問題的思路與方法.

4.識別解題思路(方法信息)

G·波利亞認為：方法就在于按適當的順序一個接一個地去注意全部有關聯的各點.發現解法就是在原先是隔開的事物或想法(已有的事物和要求的事物，已知量和未知量，假設和結論)之間找出聯系.然而，事物之間的聯系(或解題思路)常常非常隱蔽或似是而非，往往需要解題者對問題的各種要素作深入分析才能發現.波利亞研究表明，不管是新手還是專家，很多時候他們對自己的解題前景或猜想都會有明確的感覺.因此，解題者應對這些或明或暗的思路或猜想進行識別、比較、聯想、類比來去粗取精、去偽存真，從而發現比較合理的解題思路.這方面，波利亞介紹了很多寶貴經驗，如通過“回歸定義”“重新表述問題”“從里面做起”“從外面做起”等策略或通過聯想“你有沒有見到過與所解問題思路、方法相同或相似的題目？你有沒有見到過比所解問題更特殊或更一般的題目？”等方法來發現解題思路.

(1)求數列{Sn}的通項公式；

(2)設{bn}是{Sn}中按從小到大順序組成的整數數列，①求b3；②存在N(N∈N+),當n≤N時，使得在{Sn}中，數列{bk}中有且只有20項，求N的范圍.

5.識別隱蔽信息

美國學者W.A.魏克爾格倫指出，尋找暗含信息往往是解題的關鍵.對解題者來說十分重要的就是要知道暗含信息究竟屬于哪些類型并知道怎樣把它們找出來.在數學問題的理解過程中，我們常常有這樣的感覺，如果僅僅局限于問題的表面信息往往很難理解問題并找到解決問題的方法，而如果能深入挖掘問題的隱蔽聯系則可能會產生“柳暗花明”的感覺.

例5 證明：10022003>2003!.

6.識別無關信息

模式識別不僅要識別有用的信息，同時還要善于將與問題解決無關的信息與有用信息區分開來.

例6 一生物學家為了計算一個湖中的魚的條數，他想了一個非常巧妙的辦法.在五月一日，她隨機地捕捉了60條魚，并對他們作了標記后放回湖中.在九月一日，她再隨機地捕捉70條魚，發現其中3條魚是有標記的.為了計算五月一日這湖中魚的條數，她假定五月一日湖中魚的25%到九月一日已經不在湖中(由于死亡和遷出)，九月一日湖中魚的40%五月一日時并不在湖中(由于出生和遷入)，而且九月一日抽樣所得的無標記及有標記的魚數是有代表性的.這位生物學家算出的五月一日湖中的魚數是多少？