不止于“實驗與猜想”，也需要“邏輯與證明”
——例談數(shù)學(xué)推理能力培養(yǎng)的幾種方法

□金秀葉

正如史寧中教授指出的那樣，推理能力的培養(yǎng)對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和綜合素養(yǎng)的發(fā)展都有著重要的作用。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》把推理作為十大核心概念之一，它實際上是數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力之一。推理教學(xué)的目的是要教給學(xué)生深層次的數(shù)學(xué)道理，最終讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，掌握基本的推理方法，逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法思考和解決問題。

推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。但在實際教學(xué)中，教師一般偏重于通過實驗與猜想等方法來發(fā)展合情推理，而對于需借助邏輯與證明等方式來彰顯的演繹推理就不那么重視。實際上，這兩種推理能力的培養(yǎng)不僅都需要加以重視，而且也是可能的。曹培英老師曾提出：“演繹推理不是中學(xué)幾何的專利。小學(xué)數(shù)學(xué)有許多尚待發(fā)掘的演繹推理。”本文從人教版六年級下冊《比例的基本性質(zhì)》一課的教學(xué)實踐出發(fā)，就此問題作探討。

一、“舉例—猜想—驗證”的“不完全歸納”教學(xué)現(xiàn)狀

綜觀人教版、北師大版、蘇教版等教材，對于“比例的基本性質(zhì)”一課，整個教學(xué)過程只應(yīng)用了不完全歸納法。學(xué)生往往認(rèn)為舉例驗證對了，或是舉不出反例了，猜想就對了，我們的課堂一般也僅滿足于此。

人教版

蘇教版

在我們的教學(xué)中，一般都是經(jīng)歷“舉例—猜想—驗證”這樣的環(huán)節(jié)，僅此而已。教材這樣編排，教師照此教學(xué)。但這樣的教學(xué)現(xiàn)狀，筆者覺得有如下不足。

（1）止于不完全歸納，未能深挖本質(zhì)。數(shù)學(xué)思維是一種表達(dá)特定推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)方法，這種通過不完全歸納得出的結(jié)論，會削弱知識的邏輯聯(lián)系，從而影響理解的深度。

（2）止于零散的學(xué)習(xí)，未能實現(xiàn)整合。生本學(xué)材的實驗稿將“整理與復(fù)習(xí)”調(diào)整為“復(fù)習(xí)與關(guān)聯(lián)”，目的就是期待教師重視知識之間的整合與聯(lián)系。學(xué)生在一節(jié)課中能否得到能力的增長，將來又能否用聯(lián)系的眼光來看待新的數(shù)學(xué)問題，是與教師平時的教學(xué)行為息息相關(guān)的。

（3）止于單一的路徑，未能呈現(xiàn)多樣。推理教學(xué)可以有多種可能，歸納推理只是其中的一種路徑。放眼看，這項內(nèi)容可以聯(lián)系比的基本性質(zhì)、等式的性質(zhì)、代數(shù)的思想、圖形論證等形式加以證明。

如果只應(yīng)用不完全歸納法，其實就停留在“知其然”；只有討論“為什么”，找出必然聯(lián)系，那才是“知其所以然”。事實上，我們有必要去探究這個知識到底是怎么來的，為什么會是這樣。

二、走向“演繹推理”的可能性教學(xué)嘗試

研究比例的基本性質(zhì)背后的秘密，采用完全歸納法教學(xué)合適嗎？筆者認(rèn)為合適與否的關(guān)鍵在于是否給學(xué)生搭建了“夠得著”的“腳手架”，而答案應(yīng)該是肯定的。

（一）透過已知性質(zhì)，推出未知

在初步發(fā)現(xiàn)比例的兩個外項之積等于內(nèi)項之積后，學(xué)生起疑：為什么比例的外項之積會等于內(nèi)項之積呢？是不是所有的比例都有這樣的規(guī)律？通過借助已有知識，串聯(lián)起某些知識之間的內(nèi)部聯(lián)系，對猜想的結(jié)論進(jìn)行推理證明，促進(jìn)學(xué)生的深度理解。

（1）利用比的基本性質(zhì)。學(xué)生在研究“為什么兩個外項之積等于兩個內(nèi)項之積”時，展開如下交流。

層次一（能利用“比的基本性質(zhì)”初步看出兩個比的前項和后項之間的倍數(shù)關(guān)系）

層次二層次三images/BZ_25_448_343_1179_565.png（能看出兩積中“6”和“10”的“前世”，初步感知兩個外項積等于兩個內(nèi)項積背后的秘密）images/BZ_25_448_777_1185_940.png（能清晰地找到規(guī)律，并說明其中的道理）

（二）利用代數(shù)方法，推出未知

三、同步走向“邏輯與證明”推理能力培養(yǎng)的廣闊空間

強(qiáng)化學(xué)生的推理能力，不僅要著眼于眼前，還要看到與未來的更多聯(lián)系，不僅不能簡單止步于依靠“猜想與驗證”對合情推理的培養(yǎng)，更可采用“邏輯與證明”等方式推進(jìn)學(xué)生演繹推理能力的提升。事實上，在我們的教材中蘊(yùn)含著很多有待挖掘的材料。那么如何基于教材，提升學(xué)生的推理能力呢？

（一）強(qiáng)化說理，學(xué)習(xí)邏輯化

【例1】角的度量。（人教版四年級上冊P44）

從四年級測量驗證、觀察驗證到推理論證，再到六年級下冊初步感受運用一些“公理”（如等式的性質(zhì)）進(jìn)行數(shù)學(xué)推理。讓學(xué)生體會到僅憑觀察其實是不夠的，要結(jié)合問題展開適當(dāng)?shù)恼f理，還要有一定的邏輯，且在不同的年級滲透不同的教學(xué)目標(biāo)。

（二）聯(lián)系整合，促進(jìn)結(jié)構(gòu)化

【例2】面積推導(dǎo)。（人教版五年級上冊P103）

從學(xué)習(xí)平行四邊形的面積，到學(xué)習(xí)三角形、梯形的面積，這些圖形面積計算方法的習(xí)得同樣離不開推理。放眼看，其實就是將新的圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形，以此加深對幾何知識的整體理解，并不斷促進(jìn)知識的結(jié)構(gòu)化。這些方法不只是簡單地局限于合情推理，同時也有不少演繹推理的成分在其中。

合情推理強(qiáng)調(diào)從已有事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果，而演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成。人民教育出版社王永春老師在《小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)要點簡析——以“推理思想和運算能力培養(yǎng)”為例》一文中指出：“為了中小學(xué)銜接，演繹推理在小學(xué)數(shù)學(xué)中可適當(dāng)加強(qiáng)。教學(xué)中經(jīng)常啟發(fā)學(xué)生思考一些問題：為什么這樣算？怎樣得出的結(jié)論？”

實踐證明，推理真的不只是中學(xué)生的專屬，只要“有理有據(jù)”，小學(xué)生也可以做出精彩的論證。“數(shù)學(xué)”不僅需要“實驗”與“猜想”，更需要邏輯與證明的參與，讓學(xué)生知道“是什么”，更明了“為什么”，從而學(xué)會“前聯(lián)后延”，真正培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。