數(shù)字圖像相關(guān)法散斑圖質(zhì)量評價方法

俞 海，劉云鵬，郭榮鑫，夏海廷，顏 峰

(1.北方民族大學 土木工程學院，銀川 750021；2.昆明理工大學 工程力學系，昆明 650500)

引 言

數(shù)字圖像相關(guān)方法[1-4](digital image correlation，DIC)作為一種高效、實用的全場變形測量技術(shù)，已被廣泛應(yīng)用于實驗力學等領(lǐng)域[5-8]。該方法通過對變形前后圖像子區(qū)的唯一準確識別進行變形測量，被測物體表面需具備一定程度隨機分布的灰度信息(或散斑)，這些隨機分布的灰度信息便是位移或變形的載體。國內(nèi)外研究人員對DIC方法位移測量精度進行了大量研究[9-12]，指出影響DIC方法位移測量精度的因素主要包括搜索算法、散斑圖質(zhì)量、亞像素插值方法、子區(qū)位移模式、光學鏡頭畸變等。VENDROUX等人[13]對牛頓-拉普森(Newton-Raphson,N-R)算法中的Hessian矩陣進行了近似處理，大大提高了該算法的計算效率。SCHREIER等人[14]研究了不同亞像素插值方法對位移測量精度的影響;他們還曾分析了圖像子區(qū)位移模式(形函數(shù))對測量精度的影響[15]。PAN等人[16]研究了不同的亞像素匹配算法在位移測量精度中的表現(xiàn)。WANG等人[17]研究了散斑尺寸對散斑圖質(zhì)量的影響。SATURU等人[18]研究了光學鏡頭的鏡頭畸變對DIC位移測量精度的影響。

在實際實驗中，散斑圖質(zhì)量對位移測量精度有著十分重要的影響，在眾多散斑圖質(zhì)量研究文獻中，參考文獻[17]和參考文獻[19]中分別從散斑顆粒尺寸角度對散斑圖質(zhì)量進行了研究，并提出了最優(yōu)散斑尺寸范圍。參考文獻[20]中從數(shù)字圖像相關(guān)測量誤差角度進行了理論分析，并提出了平均灰度梯度(mean intensity gradient，MIG)這一概念對散斑圖質(zhì)量進行評價。然而，在實際實驗過程中，不同人或不同方法所制作出的散斑場的灰度分布千差萬別，因此，僅從顆粒大小(部分人工制備的散斑圖和物體表面的天然紋理并非具有明顯的顆粒分布特征)角度或平均灰度梯度概念并不能準確表征散斑圖質(zhì)量。本文中通過對散斑圖灰度信息分布形式進行分析，指出散斑圖平均灰度2階導數(shù)(mean intensity of second derivative，MISD)與散斑圖灰度分布形式之間的關(guān)系，利用這一參量對散斑圖質(zhì)量進行評價并通過相關(guān)實驗驗證了該參量的有效性。

1 散斑圖平均灰度2階導數(shù)

平均灰度梯度(用δf表示)這一概念是PAN等人[20]提出的對散斑圖質(zhì)量進行有效評價的全局參量，其公式如下：

(1)

PAN等人的研究結(jié)果顯示,位移測量結(jié)果的均值誤差和標準差均與散斑圖的平均灰度梯度有關(guān)，散斑圖具有高的平均灰度梯度對應(yīng)較低的測量誤差。對于散斑圖而言，δf越大，對整個散斑圖意味著該散斑圖含有更多的信息量(或者說更多更明顯的灰度特征)，這將有利于DIC方法子區(qū)的準確識別，尤其適合于大變形或“退相關(guān)”明顯的情況。另一方面，δf越大，對散斑圖局部而言表示灰度的對比度越強烈，或者說相鄰像素間的灰度級差越大。

盡管平均灰度梯度在散斑圖質(zhì)量評價中具有一定的有效性，但作者研究發(fā)現(xiàn)，具有相同平均灰度梯度的散斑圖依然表現(xiàn)出完全不同的測量精度，在平均灰度梯度相同的情況下，測量誤差與平均灰度2階導數(shù)(用ωf表示)呈現(xiàn)出一定的規(guī)律，因此本文中提出平均灰度2階導數(shù)這一新的散斑圖質(zhì)量評價參量結(jié)合平均灰度梯度對散斑圖進行綜合評價，其表達式為：

(2)

(3)

2 理論分析

DIC方法的位移測量誤差來自兩個方面：系統(tǒng)誤差和隨機誤差。系統(tǒng)誤差一般是指由亞像素插值方法所導致的位移測量誤差；隨機誤差是指由圖像采集設(shè)備(如CCD,CMOS等)暗電流引起的圖像噪聲所導致的位移測量誤差。DIC方法為了得到亞像素測量精度，在利用N-R等迭代算法使互相關(guān)系數(shù)達到極值過程中，圖像亞像素位置的灰度及灰度導數(shù)信息需通過具體插值來獲取，而通常所采用的插值算法均存在一定的相位誤差，使得DIC方法在利用具體插值算法獲取圖像亞像素位置的灰度及灰度導數(shù)過程中不可避免地帶入了系統(tǒng)誤差(插值誤差)，參考文獻[14]中給出了三次Lagrange插值算法的系統(tǒng)誤差表達式:

δ

(4)

式中,es為系統(tǒng)誤差，k為歸一化波數(shù)(周期為T的正弦波，歸一化波數(shù)與周期T之間的關(guān)系為k=2/T)，δ為亞像素位移。由(4)式可知，系統(tǒng)誤差與圖像信號頻率和亞像素位移值有直接關(guān)系，圖像的信號頻率越高系統(tǒng)誤差也越大，系統(tǒng)誤差在亞像素位置上呈正弦函數(shù)形式分布。

本文中的研究結(jié)果顯示，散斑圖質(zhì)量的好壞在一定程度上跟散斑圖具有的平均灰度梯度有關(guān)系，但并非取決于平均灰度梯度，具有相同平均灰度梯度的散斑圖可以表現(xiàn)出完全不一樣的測量精度。平均灰度梯度在一定程度上只反映了散斑圖所包含的信息量或特征量，而無法體現(xiàn)特征信息的灰度分布形式，這就需要其它新的參量來表征散斑圖的灰度分布形式。

圖1a和圖1b分別為兩個灰度子區(qū)(或特征子區(qū))，其大小均為9pixel×9pixel。圖1a中有17個灰度級(8bit圖)，灰度分布按一定規(guī)律排列，其中任意位置灰度值與其相鄰位置的灰度值相差均為15，并且在兩個方向上呈遞減或遞增趨勢。圖1b與圖1a具有相同的灰度信息(即具有相同數(shù)量的灰度級，且每一個灰度級對應(yīng)相同數(shù)量的像素個數(shù))，但每一像素位置的灰度信息呈隨機分布。表1中給出了通過計算得到的圖1a、圖1b兩個灰度子區(qū)的平均灰度梯度和平均灰度2階導數(shù)。從圖1b可以看出，由于相鄰像素之間的灰度級差較大且灰度波動劇烈，使得圖1b圖具有很高的平均灰度梯度和平均灰度2階導數(shù)，因此，灰度2階導數(shù)反映了灰度梯度的變化程度。圖1a中，由于灰度分布按一定規(guī)律排列，相鄰像素間具有一定灰度梯度而灰度梯度的變化保持不變，使圖1a具有一定的平均灰度梯度和為零的平均灰度2階導數(shù)，因此,平均灰度2階導數(shù)在一定程度上反映了散斑圖的灰度分布形式。

Fig.1 Two image subsets produced by computer simulation

Table 1 MIG and MISD of two image subsets produced by computer simulation

speckle patternFig.1aFig.1bMIG21.2163.50MISD0135.12

由(4)式可知，為了降低系統(tǒng)誤差，應(yīng)使用頻率較低的圖像，頻率較低的圖像可以帶來較小的插值誤差。本文中圖像的信號頻率、平均灰度梯度、平均灰度1階導數(shù)雖屬于3個不同的概念，但它們之間又存在著一定的聯(lián)系。一般而言，圖像信號頻率高意味著相鄰像素間的灰度梯度大，圖像灰度波動劇烈，導致高的平均灰度2階導數(shù)；圖像信號頻率低意味著相鄰像素間的灰度梯度小，圖像灰度波動平緩，導致低的平均灰度2階導數(shù)。DIC方法通過唯一識別特征子區(qū)來進行位移測量，因此特征子區(qū)必須具有一定的灰度梯度，因此,可以利用具有一定灰度梯度而灰度波動(或灰度梯度變化)平緩的圖像作為散斑圖，而平均灰度2階導數(shù)可以很好地量化圖像灰度波動(或灰度梯度變化)的情況。

3 實驗驗證

驗證實驗分兩組進行，兩組實驗中分別選取了4幅散斑圖進行亞像素平移實驗。第1組實驗中，為了研究散斑圖平均灰度2階導數(shù)對DIC方法位移測量精度的影響，因此選取了4幅幾乎具有相同平均灰度梯度的散斑圖，其分辨率均為401pixel×401pixel，這4幅散斑圖的灰度分布及局部灰度3維分布如圖2所示。其中，散斑圖A,B,C是實際實驗中通過CCD拍攝得到，散斑圖D為計算機仿真圖，具體數(shù)學表達式[19]如下：

(5)

式中，S是散斑顆粒的總數(shù)目，I0是散斑顆粒中心的隨機分布光強，r表示圖像坐標位置，rk=(xk,yk)T是隨機分布散斑顆粒中心的位置坐標，R是隨機分布散斑顆粒的大小。

實驗過程中，利用傅里葉變換對圖2所示的4幅散斑圖施加位移精確可控的平移。每一幅圖像連續(xù)平移20次，最大位移平移量為1pixel，相鄰兩幅散斑圖之間的平移量為0.05pixel，將連續(xù)平移20次的圖像序列作為變形后圖像，然后利用N-R方法對參考圖像(未變形圖像)中3721(61×61)個均勻分布點的亞像素位移進行計算，計算子區(qū)大小均為41pixel×41pixel。圖3所示為計算得到的各散斑圖對應(yīng)亞像素位移下的位移均值誤差和標準差。從計算結(jié)果可以看出，雖然4幅散斑圖具有幾乎相同的平均灰度梯度，但計算結(jié)果中無論位移均值誤差還是標準差各不相同且差異較大，因此,不能僅從平均灰度梯度這一統(tǒng)計量來對散斑圖質(zhì)量進行有效評價。從表2和圖3可以明顯看出，對于4幅不同的散斑圖，位移計算均值誤差和標準差也不同，具有較小平均灰度2階導數(shù)散斑圖的計算均值誤差和標準差也較小。散斑圖平均灰度2階導數(shù)與圖像灰度梯度變化程度(或圖像灰度波動劇烈程度)有關(guān)系，灰度波動越劇烈其平均灰度2階導數(shù)也越高。圖像灰度波動程度反映出圖像中信號頻率的高低，而圖像中信號頻率的高低又導致圖像插值誤差的大小，因此，平均灰度2階導數(shù)這一概念可以反映DIC方法的系統(tǒng)誤差。

Fig.2 Speckle patterns A,B,C,D and 3-D distribution of local grayscale

a—speckle patterns b—3-D distribution of local grayscale in the corresponding rectangular regions

Fig.3 Mean bias errors and standard deviation of subpixel displacement for speckle patternsA,B,C,D

Table 2 MISD and MIG of speckle patterns A,B,C,D

為了進一步研究平均灰度2階導數(shù)在散斑圖質(zhì)量評價中的有效性，進行了第2組實驗。第2組實驗中綜合考慮了平均灰度梯度和平均灰度2階導數(shù)的情況。選取4幅(E,F,G,H)散斑顆粒大小基本接近、散斑顆粒分布均勻且平均灰度梯度和平均灰度2階導數(shù)各異(如表3所示)的散斑圖，4幅散斑圖分辨率均為701pixel×701pixel。實驗中同樣對4幅散斑圖進行亞像素平移，平移量為0.2pixel(因為圖3中在0.2pixel左右位置測量均值誤差最大，所以本實驗中取該位置)。對每幅散斑圖中均勻分布的3721(61×61)個點的位移進行計算，計算子區(qū)大小為21pixel×21pixel，同時計算圖像子區(qū)的平均灰度2階導數(shù)及平均灰度梯度，并采用雙三次和雙三次B樣條兩種插值方法。

Table 3 MISD and MIG of speckle patterns E,F,G,H

圖4中給出了4幅散斑圖及其中心區(qū)域(51pixel×51pixel)局部放大圖及對應(yīng)y方向的fy和fyy分布圖。圖5、圖6所示為4幅散斑圖各計算點對應(yīng)計算子區(qū)的平均灰度梯度、平均灰度2階導數(shù)及位移計算誤差散點分布圖。從圖5、圖6計算結(jié)果可以得出如下結(jié)論:散斑圖的平均灰度梯度和平均灰度2階導數(shù)具有一定相關(guān)性，具有較高平均灰度梯度的圖像子區(qū)，其平均灰度2階導數(shù)也較高。對于某一固定的平均灰度梯度，從圖5、圖6可以看出，位移計算誤差較大的計算點基本分別在左上側(cè)，說明圖像子區(qū)的平均灰度2階導數(shù)越大位移計算誤差也越大；其次，本文中通過對離散點進行線性回歸，得到了各散斑圖計算均值誤差與回歸系數(shù)之間的關(guān)系(見圖7)，結(jié)果顯示：回歸系數(shù)越小，位移測量均值誤差越小；回歸系數(shù)越大，位移測量均值誤差也越大；而且本文中所采用的兩種插值方法表現(xiàn)出基本相同的上述規(guī)律，只是不同的插值方法對應(yīng)不同的計算誤差。

上述實驗表明，平均灰度梯度和平均灰度2階導數(shù)均與位移測量誤差有關(guān)系，其原因在于平均灰度梯度反映了散斑圖所包含灰度信息的量及灰度信息的明顯程度，子區(qū)灰度信息量越大特征越明顯，越有利于子區(qū)被唯一識別；平均灰度2階導數(shù)反映了散斑圖所包含灰度信息的分布形式(灰度波動情況)，一般而言，對于具有一定平均灰度梯度的散斑圖，其灰度曲面越光滑，平均灰度2階導數(shù)越小，位移測量誤差也越小。因此，實際實驗中高質(zhì)量散斑圖的制備與選取應(yīng)該使散斑圖具有明顯的特征信息(高的平均灰度梯度)、平緩的灰度過渡或灰度波動(低的平均灰度2階導數(shù))。同一散斑圖其平均灰度梯度和平均灰度2階導數(shù)對散斑圖質(zhì)量的影響看似矛盾，其實高質(zhì)量散斑圖是平均灰度梯度和平均灰度2階導數(shù)的某一平衡。

Fig.5 Scatter diagram of MIG,MISD and displacement error(bicubic)

Fig.6 Scatter diagram of MIG,MISD and displacement error(bicubic B spline)

Fig.7 Relationship between mean bias error and regression coefficient of speckle pattern E,F,G,H

4 結(jié) 論

散斑圖作為物體表面變形信息的載體，其質(zhì)量對數(shù)字圖像相關(guān)方法位移測量精度有著十分重要的影響，本文中基于數(shù)字圖像相關(guān)方法位移測量精度基本理論，分析了位移測量誤差與圖像灰度信息分布之間的關(guān)系，提出平均灰度2階導數(shù)這一概念對實際散斑圖質(zhì)量進行評價。利用相關(guān)實驗進行驗證，實驗結(jié)果顯示,位移測量精度不僅與散斑圖具有的平均灰度梯度有關(guān)，而且與平均灰度2階導數(shù)有著直接關(guān)系，對于具有相同平均灰度梯度的散斑圖，其平均灰度2階導數(shù)越小，位移測量誤差也越小。因此，在實際應(yīng)用中，散斑圖質(zhì)量的評價應(yīng)綜合考慮平均灰度2階導數(shù)和平均灰度梯度兩個參量對散斑圖質(zhì)量的影響。另外，在實際應(yīng)用中還應(yīng)考慮實驗環(huán)境(噪聲、高溫等)、圖像采集設(shè)備分辨率、物體變形大小等因素對散斑圖進行合理的選取。