一種以扭轉系數KS實現諧振響應分析的方法

李良，范啟富，徐金仙

一種以扭轉系數K實現諧振響應分析的方法

李良1,2，范啟富1，徐金仙3

（1.上海交通大學 電子信息與電氣工程學院自動化系，上海 200240；2.松下電器機電（中國）有限公司，上海 200120；3.上海浩蕊峰自動化設備有限公司，上海 201204）

以精密機床的機械諧振響應特性研究為出發點，以電機動子及負載作為兩個慣性系統、通過扭轉系數作為銜接，對慣性系統的扭轉特性進行建模，分析機械諧振特性與上述變量之間的相關特性。給出了一種以扭轉系數為基礎的諧振系統諧振響應分析方法，建立了數學模型，進一步引申到伺服控制系統的閉環特性，通過MATLAB對不同慣性、扭轉系數組合的閉環特性進行頻率分析，解構機械諧振發生的機制，并在線性模組的測試中獲得驗證。

扭轉系數；慣量；彈性模量；諧振響應特性

在數控機床等需要高精度傳動控制場合，電氣系統增益的提升受到機械諧振特性響應的限制，提升至一定程度會出現系統振蕩，增益無法繼續提高，限制了整個傳動系統的響應特性。為改善響應特性，文獻[1]提出了慣量必須匹配的觀點，文獻[2-3]提出了慣量比的合理取值，文獻[4]提出了基于PI的諧振抑制方式，文獻[5]則用達朗貝爾原理給出了剛體基于慣性力平衡的動力學模型，基于這種方法更容易建立扭轉系動力學模型。

為了提升效率和加工質量，傳動部件的系列化、標準化、智能化設計是未來趨勢[6]。高效、精密的機械設計過程中，需要一種簡潔的方法，將扭轉系數K和期望的諧振特性范圍引入到傳動器件的機械設計中去。

以數控機床為例，典型傳動方式由電機、聯軸器、絲桿、導軌模組組成，經典的傳動模型無法分析諧振的發生特性。嘗試通過引入扭轉系數K，從扭轉系數、負載慣量對于閉環系統響應帶寬影響的角度分析傳動系統諧振發生特性。

1 傳動系統動力學模型及傳動系統扭轉模型

理想的傳動模型是K電機轉子和負載為純剛性連接，即轉子所轉過的角度與負載在任何時刻都是同步的，然而，實際的傳動連接必然存在彈性扭轉。假定電機和負載之間存在彈性扭轉連接，扭轉角度為，傳動模型如圖1所示。

圖1 傳動系統模型

圖1中電機轉子和負載作為兩個不同的慣量系統，以扭轉系數K作為銜接，建立傳動扭轉模型如圖2所示。

圖2 傳動系統扭轉模型

電機驅動的負載包括電機本體的慣量J和之外的J。

運動方程[9]為：

假設理想狀態下粘滯摩擦系數為0，外部擾動力矩為0，消去扭轉角度變量可以獲得：

式中：為拉式變換的復參變量。

其中，扭轉系數模型為：

式中：為扭轉彈性模量，GPa；為扭轉處橫截面的扭轉常量（Torsion Constant），與截面形狀和面積大小相關；為負載的長度，指與柱狀連接負載發生扭轉部分的長度。

為便于分析，簡化速度環增益為K、電流環增益為K，構造伺服電機控制的速度閉環控制回路如圖3所示。

為速度指令；為轉矩電流指令；為速度偏差，；KV為速度環增益；KC為電流環增益

2 通過仿真系統來模擬（，）閉環系統傳動模型的響應曲線

獲得系統的數學模型之后，通過MATLAB仿真，可以比較直觀地獲得諧振頻率的響應特性分析，建立參數對照組，根據模型的三個主要變量：J、J、K，設計不同組合的對照組。

Case1：低J、低J、低K的頻率響應。

Case2：低J、高J、低K的頻率響應。

Case3：低J、高J、高K的頻率響應。

Case4：低J、低J、高K的頻率響應。

Case5：高J、低J、高K的頻率響應。

如表1所示。

因已知閉環傳遞函數，代入J、J、K參數后，容易獲得如圖4所示頻率響應曲線的仿真結果。

表1 仿真所采用的參數組

由此明確，通過扭轉系數K負載慣量J以及電機轉子慣量J實現頻率響應分析可行。通過式（5），并定義慣量比＝J/J，對傳遞函數進行重構為：

定義：

式（6）可表示為：

圖4 不同參數的閉環頻率響應

令：

此時式（8）可表示為一階形式：

由式（9）可見，當≠ω時，慣量比在系統中起到了時間常數調整的作用。

由上述仿真及分析，可得結論：通過扭轉系數K的分析可以獲得諧振頻率響應特性，而慣量比在其中起到了時間常數的作用。

3 實驗對比

圖5為測試系統的系統構成框圖，期望通過其中扭轉系數K的變化，來驗證扭轉系數對于頻率響應的影響特性。實驗中，保證負載慣量不變，電機與負載連接的部分聯軸器采用外徑、長度相同的規格，根據式（4）對于扭轉系數的定義，K的唯一影響因素為電機的軸徑。

對實驗內容進行說明：

測試負載采用圖6的絲杠模組，測試過程中不對絲杠模組進行更換，僅更換電機和聯軸器，傳動系統的構成為：①伺服電機，②聯軸器，③絲杠模組、螺母副及直線導軌。

圖5 測試系統構成示意圖

圖6 滾珠絲桿直線模組

（1）伺服電機

電機一和電機二如圖7、表2所示。

（2）聯軸器

聯軸器一：內徑11 mm；外徑30 mm，長度40 mm。

聯軸器二：內徑14 mm；外徑30 mm，長度40 mm。

（3）絲杠模組、螺母副及直線導軌

絲杠：長度500 mm，直徑10 mm，導程5 mm；螺母副及導軌為直線模組的配套件。

速度閉環響應的測定：速度閉環響應為伺服電機對于速度指令的響應，通過控制系統發送速度指令，指令反饋通過編碼器的位置信息進過一次微分后獲得。

圖7 直徑不同的兩組電機

速度閉環測試的響應頻率分析可采用伺服電機廠家提供的FFT（Fast Fourier Transform，快速傅里葉變換）測定工具測定。FFT測試是通過對速度閉環系統發送振幅固定的一系列正弦速度指令，并采集相應的系統反饋速度，采用快速離散傅里葉變換的方式提取閉環系統的頻率特征，即伯德圖。

閉環速度頻率響應如圖8、圖9所示。

表2 不同軸徑下兩組測試參數的比較

圖8 電機一的頻率響應特性曲線

-3 dB截止頻率作為閉環系統頻率響應特性的判斷依據，可以通過伺服驅動器廠家的FFT速度閉環頻率特性測定軟件經過頻率特性測試獲得。

圖9 電機二的頻率響應特性曲線

至此，本實驗揭示了扭轉系數K對于頻率響應的影響，從而證實了通過扭轉系數K實現諧振響應分析的可行性。

進一步證明上述結論需要區分轉子慣量、轉子半徑、轉子材質進行定量分析。本測試在一定程度上可說明扭轉系數K及負載慣量J對于傳動系統響應帶寬的影響，為進一步分析傳動系統諧振響應帶寬改善提供了一種思路。

4 總結

本文從扭轉系數K的角度，分析傳動系統的諧振響應特性，旋轉傳動機構的響應帶寬受到傳動軸的半徑、材質、長度、負載的慣量的重要影響。提出了一種通過分析扭轉系數特性，實現改善傳動系統諧振響應特性的方法。改善傳動系統的諧振響應特性，可以從連接部分的材料、橫截面積以及縮短負載的長度著手，具體的實施方法比如選擇軸徑更大的電機、剛度更大的聯軸器、長度更短的絲杠，并盡可能地減小負載的整體慣量。

[1]余清華. 數控機床進給系統必須慣量匹配[J]. 金屬加工，2011（3）：53-54.

[2]黃捷建. 伺服電機負載慣量比的合理取值[J]. 微電機，2017，50（11）：72-75.

[3]黃梁松，曲道奎，徐方. 基于可調慣量比的伺服系統低頻諧振控制[J]. 電氣傳動，2010，40（7）：61-65.

[4]王璨，楊明，徐殿國. 基于PI控制的雙慣量彈性系統機械諧振的抑制[J]. 電氣傳動，2015，45（1）：49-53.

[5]鄭慧明. 剛體動力學的統一分析格式[J]. 機械，2018（1）：24-28.

[6]李金佩，姚慧，白瑀，等. 典型傳動機械零件參數化設計系統方法研究[J]. 機械，2018（4）：11-14.

[7]孫宇，王志文，孔凡莉，等. 交流伺服系統設計指南[M]. 北京：機械工業出版社，2013.

[8]Jeff Moscrop. An analysis of motor/load inertiamismatch in machine tool servo systems[C]. In 1stIFAC Conference on Mechatronic System，2000.

[9]Jeff Moscrop. Control of Servo Systems in the Presence of Motor-Load Inertia Mismatch[C]. The 27th Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics’ Society，2001.

[10]Liangsong Huang. Adjustable Inertia Ratio Control for Low-Frequency Torsional ResonanceSuppression in industrial servo system[C]. 2010 International Conference on Measuring Technology and Mechatronics Automation，2010.

Method of Resonant Response Analysis Based on Torsion CoefficientK

LI Liang1,2，FAN Qifu1，XU Jinxian3

( 1.School of Electronic Information and Electrical Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China; 2.Panasonic Industrial Devices Sales (China) Co., Ltd., Shanghai 200120, China; 3.Shanghai Haoruifeng Automation Equipment Co., Ltd., Shanghai 201204, China )

On the basis of the research on the mechanical resonance response characteristics of the precision machine tool, this paper takes the motor rotor and load as two different inertial systems, and connects them with the torsional coefficientK. As a result, the torsional characteristics of the inertial systems are modeled, and the relevant characteristics between the mechanical resonance characteristics and the above variables are analyzed. This paper presents a method of resonance response analysis of resonance system based on torsion coefficientK, establishes a mathematical model which is further extended to the closed-loop characteristics of servo control system, analyzes the closed-loop characteristics of the combinations of different inertia and torsion coefficient by MATLAB, and deconstructs the mechanism of mechanical resonance which is later verified in the test of linear module.

torsion coefficient；inertia；elasticity modulus；resonant response characteristics

TG659

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2020.03.003

1006－0316 (2020) 03－0014－06

2019－10－09

李良（1982－），男，上海人，碩士研究生，主要研究方向為伺服電機在精密機床中的改善、運動控制理論；范啟富（1962－），男，山西太谷人，博士，副教授，主要研究方向為振動、運動控制、FPGA在控制與信號處理中的應用；徐金仙（1971－），女，浙江金華人，碩士，高級工程師，主要研究方向為精密機械及儀器儀表。