由簡單生成復雜
——哲學視角下的微積分

焦 華，謝朝東

(1.貴州商學院，貴陽 550014； 2.貴州民族大學，貴陽 550025)

1 引言

中國古代哲學的五行理論認為：金木水火土是構成物質世界的五種基本元素。計算機中五筆字型漢字錄入法共有130個字根，由這些字根可生成所有漢字。其中金木水火土是鍵盤上五個鍵的首字根，其漢字編碼依次為：金——qqqq、木——ssss、水——iiii、火——oooo、土——ffff。26個英文字母的排列組合可生成所有英文單詞，這種特征使得英文錄入簡單易行。從文字差異可推測文化及思維差異：國人善于將簡單問題復雜化？英美人善于將復雜問題簡單化？世界豐富多彩的顏色是由紅色、綠色、藍色(RGB)這三種基本色生成，稱之為色彩學中的“三色理論”。順序結構、分支結構、循環結構、函數調用回返結構是計算機程序設計中的四種基本結構，由它們有限次的排列組合、有限次的相互嵌套可生成任何復雜的程序代碼[1]。

總之，自然與社會的發展都是從低級到高級、從簡單到復雜的運動過程。由此哲學觀點出發，考察微積分中由簡單生成復雜的相關內容[2]。

2 “點生成圖”——函數圖形由點構成

函數圖形建立在坐標系的基礎上，或者說函數圖形依賴于具體的坐標系[3]。比如隱函數x2+y2=1在直角坐標系下的圖形是一個圓，在斜坐標系下的圖形就不是一個圓，在坐標軸度量單位不相等的直角坐標系下的圖形也不是一個圓。

為什么一些公眾人物充滿爭議？其實很多時候是“坐標系”不同引起的[4]。坐標系其實是一種建立了“數”與“點”聯系的數學結構，自然具有多樣性。“點生成圖”的含義是指平面或空間的圖形是由點構成的，比如平面上的曲線、空間中的曲面等均由點生成，“點”是圖形最基本的元素。Matlab中的 Plot函數就是據此原理由足夠多的“點”采用“描點法”繪制圖形[5]。電腦或手機的分辨率是清晰度的一個指標，反映的是“像素點”的多或少，而點陣圖(位圖)是由“像素點”生成的。

3 由基本初等函數生成初等函數

微積分中有六類基本初等函數：常數函數y=c、冪函數y=xα、指數函數y=ax、對數函數y=logax、三角函數系列、反三角函數系列[6]。

初等函數是指將六類基本初等函數作有限次的加減乘除四則運算以及有限次的函數復合運算所得到的函數。可以說是“無聊”或“無奈”，也可以說是“有趣”，微積分大部分內容是對豐富多彩的、各種各樣的初等函數求導、求微分、求不定積分、求定積分。計算一階導數不夠，還要計算2階導數……n階導數；計算一重積分(定積分)不夠，還要計算2重積分……n重積分；對顯函數求導不夠，還要對隱函數求導[4]。

4 有任意階導數的函數f(x)可由簡單冪函數x0,x1,x2…xn…生成

微積分也稱為數學分析，分析方法就是把整體的研究對象剖分為各個局部部分，然后加以考察和認識。因此很多時候即使函數f(x)有廣闊的定義域，也是以考察x0的一個小鄰域U(x0)作為出發點。泰勒中值定理(也稱為泰勒公式)就是這樣做的，要求函數f(x)在小鄰域U(x0)內具有直到n+1階導數，結論是對任一x∈U(x0)，有[6]：

也可以寫成f(x)=Pn(x)+Rn(x).其中：

探尋泰勒公式過程的思想亮點是針對x0的鄰域構造多項式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n，而后用待定系數法求出多項式所有系數[5]。

泰勒公式的本質是在x0的一個小鄰域U(x0)內用n階(次)泰勒多項式Pn(x)逼近原有函數f(x)，這種近似有誤差，誤差為Rn(x)。容易看出Pn(x)是由f(x)生成的，這是因為Pn(x)可用f(x)在x0點的函數值及各階導數值構造，即由f(x)可構造(或生產)Pn(x)，Pn(x)因f(x)改變而改變，它們是有“血緣關系”的。形象地說：f(x)生個兒子Pn(x)很像自己，不太像的有誤差的地方為Rn(x)。Rn(x)可表示為：Rn(x)=o[(x-x0)n].這是皮亞諾型余項形式。

將代數表示與幾何直觀建立關聯：函數f(x)在小鄰域U(x0)內的曲線足夠光滑，當n=0時，泰勒中值定理變成了拉格朗日中值定理f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x-x0)，因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，幾何意義是“以點代線”。

取x0=0，得到的泰勒公式稱為麥克勞林公式，帶有皮亞諾型余項的麥克勞林公式為：

常見的初等函數的麥克勞林公式如下：

寫出這些常見的麥克勞林公式是為了觀察比較：左邊函數千差萬別，右邊主體部分卻是由冪函數x0,x1,x2…xn…生成的多項式。

歸納總結：泰勒公式的內容簡言之即函數的多項式逼近，而多項式是由最簡單的冪函數生成。

(余項或誤差項趨于0)。

取x0=0，得到的泰勒級數稱為麥克勞林級數，這時f(x)展開成了關于x的冪級數：

微積分中已證明f(x)若能展開成關于x的冪級數，那么展開式一定是唯一的，一定是麥克勞林級數。觀察上式：左邊一項可分解成右邊無窮多項；右邊無窮多項可合并成左邊一項。左邊函數f(x)的任意性可千差萬別，右邊卻是由非負整數次方冪函數x0,x1,x2…xn…的線性組合生成。不同的函數只是線性組合的方式(系數)不同而已。比如：

結論：非負整數次方冪函數x0,x1,x2…xn…是構成任何有任意階導數的函數的基本元素，由于初等函數在其定義區間上有任意階導數，因此任何初等函數均可由x0,x1,x2…xn…的線性組合生成。如同可利用一堆積木塊搭建城堡、大橋、火車等，x0,x1,x2…xn…類似于積木塊，可根據實際需要利用它們搭建生成各種各樣的初等函數。

5 從“線積累生成面”到“面積累生成體”

其實曲邊梯形面積只是定積分概念導入的一個引例，其過程具體化為：將曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形，每個小曲邊梯形用一個小矩形來近似，注意這里若用小直邊梯形近似小曲邊梯形，直觀上誤差將更小、效果更好，為什么沒有這樣做？這是為了保證定積分的廣泛應用性，因為定積分從現實原型抽象出來，除了曲邊梯形面積外，還有變速直線運動的路程、變力沿直線做功等。再有就是為了保證計算的簡便性。每個小曲邊梯形用一個小矩形近似有誤差，n個小曲邊梯形之和用n個對應小矩形之和近似是誤差的n次積累，但是微積分的鮮明特色之一是“取極限可消除一切誤差(偏差)”，因此當最大區間長度趨于0時，不再有誤差，一切迎刃而解！最大區間長度λ(Δ)→0將導致所有的Δxi→0(i=1,2…n)，這表明所有的小矩形的底邊趨于0，小矩形變成了“線”，因此定積分(一重積分)的幾何解釋就是“線積累生成面”。因為“線”的面積為0，因此定積分(一重積分)的思想是先化整為零，再積零為整。

二重積分的定義與定積分(一重積分)類似，當被積函數f(x,y)≥0時，幾何意義是曲頂柱體的體積。其過程具體化為：將曲頂柱體任意分割成n個小曲頂柱體，每個小曲頂柱體用一個小平頂柱體來近似。二重積分的計算是將二重積分化為二次積分，比如在直角坐標系下積分區域D為X—型時可得[7]：

6 結語

“由簡單生成復雜”是宇宙的基本法則，在微積分中得到了充分的體現。微積分幾乎是所有本科大學生必學的重要基礎課，通常開設兩個學期，同時也是高職高專必學的數學課，通常開設一個學期(只講授一元函數微積分學)。因此，對微積分教育教學的研究是非常必要的[8]。用工具論的觀點定位微積分教育教學過于狹隘，將微積分視為可部分解讀世界的哲學更為合理。恩格斯贊譽微積分是人類精神最偉大的成果，足以可見微積分在那個時代對哲學的深刻影響[9]。

在實際教學中，微積分的抽象性與復雜性會讓很多大學生感覺在讀“天書”，枯燥無味、難以理解、沒有興趣。張景中院士多次強調：“優秀教師應向同學展示數學思維的美”，因此對于教師來說，高屋建瓴、深入淺出，引領學生深刻理解微積分的思想方法，體驗微積分與哲學結合產生的震撼的美是必要且必須的[10]。