隨機變量的特征函數在概率論中的應用

白偉華

(韶關學院 韶州師范分院數學系，廣東 韶關512009)

0 引言

在概率論中，隨機變量的分布函數刻畫了隨機變量的統計規律。但有時分布函數或概率密度這些工具使用起來并不方便，如計算獨立隨機變量和分布的概率密度，用卷積求很麻煩，過于復雜，通過數字特征并不能完全反映出隨機變量的分布規律，但確定它的特征函數比較容易。由于分布函數和特征函數之間有一一對應關系，在得知特征函數后就可知道分布函數。經過不斷探索與研究，發現特征函數是處理許多概率論問題的有力工具。

1 有關概念及結論

現將本研究中涉及的有關概念及結論列舉如下，不予證明，詳見(1)(2)。

1.1 特征函數的定義

設x是隨機變量，稱復隨機變量eitx=costx+isintx的數學期望。

fx(t)=E(eitx)=E(costx)+iE(sintx)，-∞

(1)

為x的特征函數。

因為對任何實數t，E|costx|≤1,E|sintx|≤1, 所以fx(t)對一切實數有定義，即任一隨機變量的特征函數總是存在的。

當離散型隨機變量x的分布律為：pk=p(x=xk),k=1,2,…

則x的特征函數：

(2)

當連續型隨機變量x的概率密度函數為p(x)， 則x的特征函數：

(3)

1.2 特征函數的性質

①fx(o)=1, |fx(t)|≤1 -∞

③設y=ax+b，其中a，b是常數，則fy(t)=eitbfx(at)

④設x，y獨立，則fx+y(t)=fx(t)·fy(t)

1.3 特征函數的唯一性定理

若x是連續型隨機變量，其概率密度函數為p(x)，有特征函數fx(t)，則有

1.4 特征函數的逆轉公式

設隨機變量x的分布函數為F(x)，有特征函數f(t)，x1與x2為F(x)的任意兩個連續點，則有

2 特征函數的應用

2.1 求隨機變量的分布

例2：試證f(t)=cost為一特征函數，并求它所對應的隨機變量x的分布。

2.2 求隨機變量的數字特征

例3：設隨機變量x服從參數為α,β的Γ分布，求其數學期望和方差。

且iE(x)=f′(0),i2E(x2)=f″(0);

2.3 求獨立隨機變量和的分布

由于分布函數和特征函數之間有一一對應的關系，從而知：

例5：設x1,x2和x3是相互獨立的,且服從正態分布N(0,1)，試求隨機變量Y1=x1+x2和Y2=x1+x3組成的(Y1，Y2)的分布。

解：(Y1，Y2)=(x1+x2,x1+x3)

∵xi～N(0,1),i=1,2,3,

∴(x1,x2,x3)～N(0,E3),

從以上5個例子可以看出，有些概率問題利用分布函數很難給出證明，即使能給出證明也很麻煩，而利用特征函數及其導數性質便可很巧妙地給出證明，這充分說明了注重知識的內在聯系是很重要的。