HPM視角下的正切概念教學①

潘金城

(揚中市外國語中學 212200)

1 引言

“正切”是初中數(shù)學課程中的重要概念.蘇科版九年級(下冊)數(shù)學教科書中，首先創(chuàng)設“底等高不等、高等底不等”三種不同類型的臺階的情境，判斷哪個臺階最陡？然后運用相似三角形的知識證明“如果直角三角形的一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與鄰邊的比值也確定”.在此基礎上給出了銳角∠A的正切概念：在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA.

對于初中生來說，從“線段長”到“線段比”是認識上的一次飛躍.研究表明，學生在正切概念的理解上存在認知困難.教科書上的情境讓學生直接面對把“線段比”作為研究對象，似乎還不符合他們的認知基礎，也未必能凸顯引進正切概念的必要性.那么，應該如何引入正切概念，既符合學生的認知基礎，又能有效地激發(fā)學生的學習動機？事實上，學生在學習“正切”概念之前，已經(jīng)研究了直角三角形中兩銳角之間、邊邊之間的關系，研究邊角關系成為學習新知的必要性.而從歷史上看，早期天文學家將“影長”作為正切，17世紀數(shù)學家將圓的切線長定義為正切，在三角形教科書中，直到19世紀20年代才出現(xiàn)“線段比”定義.因此，“正切”概念的演進過程，自然成了教學設計的指南.這是我們選擇HPM視角來設計“正切概念”教學的緣由.

本節(jié)課的教學目標是：(1)理解正切函數(shù)的概念，會在直角三角形中求出某一個銳角的正切值，能用正切知識解決較為簡單的實際問題；(2)經(jīng)歷……