古希臘三大幾何問題的近似尺規(guī)作圖①

蔣 迅 王淑紅

(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 050024)

1 引言

尺規(guī)作圖是初等幾何教育中的一個(gè)課題.它對培養(yǎng)學(xué)生的幾何想象能力起到了重要作用.在古代，尺規(guī)作圖的研究曾經(jīng)促成過多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展.一些結(jié)果就是為解決古希臘的三大幾何問題而得到的副產(chǎn)品.對尺規(guī)作圖的探索推動(dòng)了對圓錐曲線的研究，并發(fā)現(xiàn)了一批著名的曲線.我們也知道，不是任何的幾何圖形都可以用直尺和圓規(guī)作出來的，其中最著名的就是古希臘的三大幾何問題.盡管如此，人們還是嘗試著用直尺和圓規(guī)作出盡可能接近目標(biāo)的圖形來.本文就介紹自古至今人們對古希臘三大幾何問題的近似解法，特別是拉馬努金(Srinivasa Ramanujan，1887—1920)的一個(gè)作圖法和丟勒(Albrecht Dürer，1471-1528)的一個(gè)作圖法.本文也將提及著名數(shù)學(xué)家陶哲軒(1975—)在其中一個(gè)問題上的討論.

2 古希臘三大幾何問題

所謂尺規(guī)作圖，指的是只使用直尺和圓規(guī)經(jīng)過有限次使用來作出不同的平面幾何圖形.這里，直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來將兩個(gè)點(diǎn)連在一起，不可以在上面畫刻度.而圓規(guī)可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度.它只可以拉開成你之前構(gòu)造過的長度或一個(gè)任意的長度.

古希臘三大幾何問題是早期希臘數(shù)學(xué)家特別感興趣的三個(gè)問題.它們分別是：

三等分角問題：分任意角為三等分.

倍立方體問題：求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍.

化圓為方問……