一道高考?jí)狠S題的分析與反思①

黃曉琳

(福建省南安國(guó)光中學(xué) 362321)

筆者有幸參加了2019年高考數(shù)學(xué)科的閱卷工作，并全程參與對(duì)理科第21題評(píng)分細(xì)則的討論與制定、閱卷教師的培訓(xùn)與指導(dǎo)、閱卷過程的三評(píng)與仲裁．結(jié)合考生的答卷情況，以及同儕之間的討論，形成以下思考與同行們交流分享．

1 試題分析

2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第21題：為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假設(shè)α=0.5，β=0.8．

(i)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ii)求p4，并根據(jù)p4的值解釋該試驗(yàn)方案的合理性．

高考是選撥性考試，壓軸題在高考卷中起著區(qū)分考生數(shù)學(xué)水平的重要作用．今年壓軸題的難度雖然不是太大，但由……