解析法在研究解析幾何問題中的運用

梁旭

摘 要：我們現行高中數學幾何教材采用的是歐幾里得《幾何原本》的內容。長期的教學實踐表明：初等幾何構思艱深，眾多師生往往為一道題冥思苦想而不得其解，因此，開辟新的途徑，尋求思路清晰、過程簡潔的解題方法已是勢在必行。

關鍵詞：解析法，幾何問題，數形結合，坐標系

中圖分類號：G633.6 ? ? ? ? ?文獻標識碼：A

文章編號：1992-7711（2020）03-064-2

解析法又稱坐標法，是解析幾何中最基本的研究方法，它是在平面直角的基礎上，把幾何問題轉化為代數問題，通過代數運算研究幾何圖形性質的方法。

應用解析法研究問題，必須建立坐標系，使數和形結合起來。常用的坐標系有直角坐標系、極坐標系等，教師應根據討論問題的特點和要求，合理選擇坐標系。坐標系選擇是否恰當，直接關系到以后的論證是否簡捷。所以，教師在選擇坐標系時，應當選擇那些問題所涉及的坐標中盡可能多地出現零的坐標系，為此常用以下方法：

①將圖形一邊所在的直線或定直線作x軸，若有直角，則取直角邊為坐標軸。

例1 求證：三角形的三條高交于一點。

證明時可以以三角形的一邊為x軸，該邊上的高為y軸建立直角坐標系，分設三個頂點坐標，得出三邊所在直線方程，再聯立成方程組證得有唯一解即可。

②對稱圖形，則取對稱軸為x軸或y軸。

例2 在△ABC中，BC=8，∠A=45°，固定BC，求頂點A的軌跡方程。

由平面幾何知識可知，到已知線段的視角為定角（非零角及平角）的點的軌跡，是以已知線段為弦的兩個弓形弧，它們的內接角都等于給定的已知角（弓形弧的兩端點即線段的兩端點除外）。

此題坐標系可以以BC為x軸，線段BC中點O為原點建立，則B、C點的坐標為B（-4，0），C（4，0），則可根據平面幾何知識，很快求出點A的軌跡方程為x2+（y-4）2=32（y>0），x2+（y+4）2=32（y<0）。

此題若不如此建立坐標系，則計算量大，不易得解。

③可將圖形的一個頂點或定點連線的中點作為原點。

例3 已知圓M和圓N，半徑分別為R和r，|MN|=2d>R+r，若動點P到兩圓的切線長相等，求P點的軌跡方程。

分析：可知題設已知兩圓圓心距為2d，啟示我們以連心線段中心為原點，故可以直線MN為x軸，線段MN的中垂線為y軸建立坐標系，則M，N的坐標為（-d，0）和（d，0），根據切線長相等列方程化簡為4dx=R2-r2即x=R2-r24d。

在研究解析幾何問題時，我們知道，曲線的形狀、性質不會因坐標系改變而改變，但它的方程卻是因坐標系的不同而不同（形式上繁簡有別），因此化簡整理的運算過程也就有復雜簡單之分。本例中這種取定點連線中點作為坐標原點的設置方法是經常被采用的。

選定坐標系后，還可以在點的坐標之外，引入新變數——參變數。運用參數思想，對討論的問題先進行分解分析，從一個個有影響的側面建立等量關系，再綜合起來建立參數方程。

分析：此題是道平面幾何題，按習慣思維，用平面幾何知識去解決確實是一道較難的問題。若用解析法來解決，恰當建立極坐標系，把“形”轉化為“數”，則證明就顯得簡潔多了。

求一元二次方程的兩根之和求解。

需要說明的是，當給出的問題中諸線段共點時，可以選擇公共點為極點，以某一條關鍵的定向線為極軸，建立極坐標系。本題若取AT中點為原點，有向直線TA作為x軸建立直角坐標系，分別求出A、B所在圓與M、N所在拋物線方程，聯立求出A、B、M、N的坐標，再利用兩點距離公式求各線段的長，則計算繁瑣，易出差錯。

在掌握了解析法研究問題的一般原則技巧之后，不妨歸納一下解析法研究問題的一般步驟：

（1）選擇引入恰當的坐標系，使數和形初步結合，把曲線與方程有條件地統一起來，

（2）考慮是否需要引入新的變量——參變量，以便更容易地建立曲線的方程或求解其他問題，

（3）考慮是否需要進行坐標變換，使曲線方程化簡，或使研究的問題便于歸納，討論及解決，

（4）運用各種代數方法，解決提出的幾何問題，并給出適合要求的答案。

綜上所述，在用解析法研究問題時，坐標系（直角坐標系、極坐標系）的選擇是可變化的，選擇的坐標系是可以運動的——平移、旋轉或其它類型的運動，點的坐標及曲線的方程依坐標系的不同是可以變化的，根據研究問題的需要，變量的個數是可以增減的引入參數或消去參數：唯一保持不變的是研究對象本身具有的幾何性質，解析法的確使運動進入了數學。無論是從思想上還是從方法上，解析法都在以常量研究為主的初等數學和以變量研究為主的高等數學之間，架起了一座橋梁。

（作者單位：南京師范大學附屬中學行知分校，江蘇 南京210000）