導數在不等式證明中的應用

齊雨萱

高中數學學習中，不等式是研究各項數學問題的基礎工具，不等式證明是一種常見數學題型，也是同學們較為頭疼的數學題型之一，要想提高自身的不等式證明準確率和效率，就必須充分掌握運用導數理論展開科學解題，導數理論證明不等式是最為高效和基本的一種解題方法，合理利用導數工具進行不等式實踐證明，能夠有效將不等式證明過程從困難轉化為簡單，幫助自身建立起更好的數學自信心，并提高數學解題綜合能力。本文將對導數在不等式證明中的應用展開分析與探討，為不等式證明過程提供一定借鑒與參考。

1 合理運用導數單調性證明不等式

在實踐計算函數某個區間導數最大值或者小于0時，可以通過合理運用導數單調性展開科學高效證明。首先，必須準確計算出該函數在此區間中表現出來的遞減或者遞增過程，這樣才能夠順利證明不等式問題。在日常證明數學不等式過程中，要學會結合不等式的不同特點，合理運用不同形式構造出對應的函數，同時科學采用導數工具去證明出實際構造出函數的單調性，這樣一來就能夠根據函數單調性特征去完成對該不等式的有效證明，提高整個證明解題過程的效率。通過去科學準確判斷出函數單調性，就可以比較出區間大小，同時在該區間中融入不等式，有效將不等式與函數結合在一起，除此之外，要正確認識到利用導數單調性進行證明不等式能夠為自身提供極為實用的解題思路，無論是多復雜的曲線，往往只需要經過兩個步驟就可以實現對不等式題目的高效準確證明。這兩個解題步驟是先將不等式與函數有機結合起來，接著準確判斷出該函數在對應區間的單調性。

比如，當遇到這個問題時，已知X〉0，證明X-X²/2-1N（1+X）〈0，我們在證明這個不等式的時候，可以合理利用導數單調性去進行有效證明。在相應單調區間內，通過判斷函數是遞減還是遞增去得出該不等式是否成立。證明解題步驟如下所示：假設函數f（X）=X-X²/2-1N（1+X）（X〉0），則f（X）=X-X²/2，當X〉0時，f（X）〈0，這樣我們就能夠準確判定出f（X）在X〉0區間中該函數是一種遞減的發展趨勢，X=0可以去除函數的最大值，通過f（X）〈f（0）有效證明出f（X）〈0成立，并且也能夠準確證明出X-X²/2-1N（1+X）〈0是成立的。在不等式證明學習過程中，要理解到函數f（X）不只是可以與0作比較，還可以利用其它常數展開比較，比如常見的a、b等，當真正理解掌握了導數原理，就能夠利用導數單調性快速準確證明不等式問題了。

2 合理運用導數和函數極值之間關系證明不等式

在高中數學中，函數極大值與極小值實質是指在某個域上函數取得的最大值或者是最小值點的函數值，促使函數取得極大值與極小值的點則被人們稱之為極值點。該域不僅可以是整個函數域，也可以是一個領域。在不等式證明解題過程中，可以先通過合理運用導數準確求出極數，并有效判斷出該極數是屬于極大值，還是極小值，接著就能夠求出最終的最大值或最小值，并在極值結果下完成對不等式的證明。其定理是令F（x）=f（x）-g（x），令F^‘（x）=f（x）-g（x）=0，求出點a.倘若是F^‘（x）〉0，則a為極小值，倘若是F^‘（x）〈0，則a為最大值，而相對應的f（a）是函數f（x）在某區間上的極大值或者最小值，這樣一來就能夠有效得出f（x）≤f（a），亦或者是f（x）≥f（a）。

在實踐運用導數和函數極值之間的關系去科學證明不等式時，所要采用的步驟如下所示：1）要根據實際不等式題目去有效構造出對應的輔助函數，通常情況下要以作商或者作差為主：2）針對于該輔助函數在需要證明區間內準確找出其極值或者是最值，這樣就能夠使用極值或者最值完成與需要證明條件之間的比較，從而促使不等式得到有效證明，幫助我們高效解題。

3 合理運用導數定義證明不等式

在高中數學導數學習過程中，導數定義是導數關系內容中最為基礎的數學知識。基于數學定義輔助應用下展開解題是高中數學實踐應用過程中一種較為常見的方法，在不等式證明解題中，可以通過對導數不同方面的深入分析完成對定義型不等式的有效證明。在不等式題目實踐證明解題中，首先可以通過假設y=f（X），在X0的鄰近區域中可以有效定義假設出limx0f（X）-f（X0）/X-X0=lim△/△X時存在的，這樣在X0區域中f（X）可導。要正確了解到在X0區域中f（X）有一個極值點y=f（X），可以通過使用高中導數定義去有效證明出其中一部分定義型的不等式問題，接著再通過合理運用導數定義展開對不等式的證明過程。值得注意的是要學會認真觀察判斷分析題目含義，首先要科學明確實際題目中已知條件與結論的關系，要在不等式題目中準確找到合適的X0鄰近區域，這樣就能夠高效運用導數實現對應定義。

比如，當面對函數題目f（X）=b1sinx+b2sin2x+...bnsinnx，其中b1、b2、b3一直到bn均是實數，同時n是屬于整數。我們在解題過程中，首先要假設出f（X）=b1cosx+2b2cos2x+3b3cos3x...+nbncosnx，然后就能夠證明出f（0）=nb1+nb2+nb3+...nbn，最后我們只需要根據高中導數定義得出1b1+2b2+3b3+...nbn≤1。

4 合理運用函數凹凸性證明不等式

在高中數學不等式證明解題中，可以通過運用函數的凹凸性去科學有效證明不等式。要正確理解到導數的單調性會影響到函數凹凸性，可以基于建立坐標系方法去知道函數的導數會在某段區間內呈現出單調遞增的現象，這樣就能夠得出該區間的函數是向下凹的。反之亦然，倘若是導數函數的整體在該段區間內表現為單調遞減的狀態，這樣就能夠得出該區間的函數是向上凸的。在面對不等式證明問題時，可以合理運用導數曲線凹凸性去展開計算和觀察分析，最終能夠得知f（x）在該段區間內可導。首先我們可以建設在該區間內存在兩個點，它們分別是x1、x2，在函數f（x）中，f（x）〉0，x?A區間，這樣就可以得出f（x）在該區間A內會呈現出一種凹陷的狀態。倘若在函數f（x）中，f（x）〈0，x?A區間，那么就可以得出f（x）在該區間A內呈現出一種凸出的狀態。

比如，當進行對不等式問題證明中，已知x>0，y>0，且x≠y，請證明出不等式xlnx+ylny>（x+y）ln。針對該不等式證明問題時，我們可以通過合理運用函數凹凸性去展開證明解題。首先我們要假設一個新函數f（a），使f（a）=alna，其中a〉0，這樣就能夠得出1（a），f1（a）=>0，從而就可以判斷出函數f（a）=alna在區間（x，y）中，x>0，y>0，該函數在區間內呈現出一種凹陷的狀態。利用函數凹凸性進行不等式證明解題的弊端在于會操作起來比較麻煩，而優勢則是在于利用函數凹凸性更加直觀清晰，能夠促使不等式較為抽象的內容變得更加直觀明了。針對于此，我們在面對部分特殊不等式題型時可以科學采用函數凹凸性展開解題，前提是要充分掌握了解函數函數f（x）基礎性質，提高對問題的判斷分析能力，避免在證明解題過程中遇到各種阻礙，造成思路出現不清晰的現象。

5 合理運用作差法證明不等式

在高中數學不等式證明中作差法是一種學生常用的解題方法，該解題方法最為顯著的優勢特點是操作簡單方便、應用難度小，只要進行反復訓練使用就能夠輕松掌握作差法。當面對 f（x） < g（x）或者 f（x） > g（x）這些基礎函數形式時，可以科學采用作差法去有效構建出新函數。比如，函數形式Z（x）= f（x） - g（x），然后只需要證明出構造新函數的Z（x） < 0 或者Z（x） > 0 就可以了。

當遇到下面這個不等式證明題目時，已知x >0 時，證明 x-x²/2〈ln（x+1）恒成立。我們首先要根據題目條件展開分析，得出該題能夠符合差數形式f（x） < g（x），因此可以通過合理運用作差法做構建出新的函數，然后在進行不等式證明。該不等式證明步驟如下：令Z（x）=x-x²/2-ln（x+1）<0（x>0），將該函數進行求導得出Z（x）=-x²/x+1。

因為x> 0，所以得出Z（x）<0，這樣就能夠得知不等式x-x²/2〈ln（x+1）是恒成立的。

6 結束語

綜上所述，在高中數學實踐學習中導數是重要組成部分，導數在不等式證明中的靈活應用能夠為我們高中生有效提供各種解題思路，散發學生實踐創新思維，從而全面提高數學學習綜合能力和素養。在高中數學實踐學習過程中，要想提高自身的不等式解題水平，就必須充分發揮出導數在不等式證明中的作用。數學學習的關鍵所在就在于要注重提高自身的思維推理能力和創新實踐能力，要學會運用不同解題方法打開解題思路。在不等式證明中導數知識應用是極為廣泛的，我們要根據實際不等式題目情況合理選擇運用導數工具，只有這樣才能夠確保高效準確的達到不等式證明目的。在日常做題練習中，要認真注意導數使用條件，靈活選用導數工具展開不等式證明，從而避免犯錯。

（作者單位：榕城中學）