《獨立性檢驗的基本原理及其初步應用》的教學研究

蘇志強 王慧

摘 要：高中階段“獨立性檢驗”知識一直是教學中的一個難點，尤其在文科班教學中會碰到更大的理解障礙。故本人打算研究一下“獨立性檢驗”在文科數學教學中的問題，以一個不同的教學視角重塑教材，促進文科生更好地理解和掌握獨立性檢驗知識.

關鍵詞：獨立性檢驗;教材解析

一、產生背景

高中數學“獨立性檢驗”知識一直是教學中的一個難點，并且在文科數學和理科數學中的教學方式很不相同。本人通過查閱相關文獻，感覺多數文章都是針對理科數學的“獨立性檢驗”教學進行研究，從事件的相互獨立性入手，推出兩個分類變量無關下的公式，然后結合小概率原理說明獨立性檢驗的基本原理。這樣的教學在文科數學教學中卻會碰到很大的障礙，本文打算研究一下“獨立性檢驗”在文科數學中的教學問題，以一個不同的教學視角重塑教材，促進文科生更好地理解獨和掌握獨立性檢驗知識。

二、問題提出

文科生應該如何學習“獨立性檢驗”知識？這對大多數一線老師來說都是一個頭疼的問題。首先文科學生多數數學基礎不好，對數學概念的理解不夠深刻;其次“獨立性檢驗”知識放在了選修1—2的第一章第2節，在此之前學生沒有學習過相關知識：比如假設檢驗的知識[1]、連續型隨機變量和正態分布的知識，也沒有正式學習過小概率原理和反證法原理等等，所以很多學生會困惑為什么獨立性檢驗要假設兩個分類變量無關？為什么不能假設兩個分類變量有關？為什么要構造K2？K2為什么用書上的形式？P（K2≥6.635）=0.01是什么意思？6.635是怎么冒出來的？“犯錯誤不超過0.01”又該如何理解？[2]鑒于此，要想讓文科生易于接受獨立性檢驗的基本思想，就不能按照教材的過程按部就班地進行教學，應當對教材深入挖掘和提煉，找到一個適合文科生數學現狀的教學方式。

那么“獨立性檢驗”如何教學才能更好的讓文科生接受呢？本人最近在本市上了一節本課例的示范課，收獲了很好的教學效果，在此列出其中的一些片段，希望能夠與各位同仁探討一下。

三、實施過程

（前面的分類變量、列聯表、數據和圖形分析的講解過程省略）

師：同學們，我們知道了數據和圖形分析可以很直觀的判斷出兩個分類變量是否有關系，但是現在有個問題，我們這個判斷結果有沒有可能犯錯誤呢？

生1：有可能，因為調查數據有一定的隨機性

師：很好，我們通過數據和圖形分析得來的判斷過于依賴數據的特征，這便有可能造成誤判，那么如果我們能將這種誤判的風險定量化是不是對于決策會產生很好的幫助呢？比如我們不僅得到了一個判斷結果，而且還知道這個結果犯錯誤的可能性只有1%，那么我們的結果是不是更有說服力呢？那么如何確定我們做判斷時犯錯誤的概率呢？

生：......

師：大家有了困惑，這很好，這個便是我們這節課所要完成的事情，也就是說獨立性檢驗不僅要解決兩個分類變量是否有關系的問題，而且要推斷出犯錯誤的概率，下面我們一個一個解決！

師：同學們，我們將前面的引例一般化，看看有什么發現？

不吸煙者中患肺癌的比例是? ，在吸煙者中患肺癌的比例是? ，那么如果吸煙和患肺癌有關系，用式子如何表示？

生2：應該吸煙者中患肺癌的比例高于不吸煙者中患肺癌的比例，即

師：很好，那么如果吸煙和患肺癌沒有關系，用式子又如何表示？

生3：應該吸煙者中患肺癌的比例約等于不吸煙者中患肺癌的比例，即

師：回答的很對，但是事實上我們不知道吸煙和患肺癌是不是有關系，這時我們要進行下去，就要先假設一下，這樣才能將研究進行下去。那么大家覺得應該如何假設才有利于操作和計算？

生：假設吸煙和患肺癌沒有關系比較好，這樣式子比較簡單

師：對的，那么請同學們計算一下，看看能通過

推出什么？

生4：我們可以推出ad-bc≈0

師：很好，但是ad-bc的值可正可負，那么我們如何處理才能避免這種麻煩呢？

生5：取絕對值或平方

師：好，如果吸煙與患肺癌無關，那么? ?或? ?的值有什么特征？

生6：會非常小

師：對的，也就是說兩個變量無關時（ad-bc）2會非常小，可是我們知道樣本容量越大得到的結果就會越接近真實情況，但是上面的量（ad-bc）2并未將樣本容量包括進去，所以我們需要兼顧（ad-bc）2和樣本容量，所以基于以上分析，我們構造了一個變量：? ? ? ? ? ? ，請問，如果吸煙和患肺癌沒有關系，那么K2的值會有什么特征？

生7：K2的值會很小

師：對的，也就是說我們可以很形象地用K2值的大小來確定吸煙和患肺癌是否有關系，若K2值很大，我們就認為兩者有關系;若K2值很小，我們就認為兩者無關系，這樣說可不可以？

生：可以！

師：好的，那么問題來了，K2的值怎樣才算大？怎樣才算小？

生：......

師：大家不妨想想生活中的例子，比如什么才算成績好？什么才算低收入？怎么界定胖和廋？

生8：我知道了，這里的K2是大還是小要有一個臨界值，比臨界值大我們就認為K2值大，比臨界值小，我們就認為K2值小.

師：對的，我們可以通過K2值與臨界值k0的比較來確定：如果K2≥k0，我們就可以認為K2值很大，這時吸煙和患肺癌有關系;如果K2

生：......

師：不好回答，那么大家思考另一個問題：在吸煙和患肺癌無關的情況下，K2有沒有可能很大呢？

生9：有可能，因為調查數據的隨機性K2有可能出現較大值.

師：對的，在吸煙和患肺癌無關時K2值有可能很大，只是出現較大K2值的概率非常小，有多小呢？數學家已經幫我們求出來了，比如P（K2≥6.635）=0.01，這里的意思就是在兩個分類變量沒有關系的前提下K2≥6.35的概率只有0.01，我們的數學家是不是很厲害啊？

生：是的！

師：大家思考一下，哪些情況下會出現K2值很大呢？

生10：有兩種情況，（1）兩個分類變量有關系，K2值很大;（2）兩個分類變量沒有關系，K2值有很小的概率會很大

師：回答的很好，大家想一想，如果K2≥k0，這時我們有理由認為吸煙和患肺癌有關系，但這種判斷我們知道是有可能犯錯誤的，那么犯錯誤的概率是多少呢？

生11：我覺得應該是第（2）種情況對應的概率

師：對的，我們根據較大K2值確定了兩個分類變量有關系，但是我們忽視了兩個分類變量無關時K2值較大的這種可能性，所以我們會犯的錯誤就是這個概率，大家明白了么？

生：明白！

師：K2值很大時我們為什么不認為是第（2）種情況發生了呢？

生12：在第（2）種情況下K2值很大的可能性太小了，在一次實驗的情況下很難發生

師：回答的很好

（后面的教學過程省略）

四、教后反思

在此之前本人一直是采用教材的處理方式展開教學，但是在處理P（K2≥6.635）=0.01上感覺教學的銜接不是很順暢，這個公式在教材中是直接給出的，是忽然間冒出來的，書上沒有給出什么解釋，所以教學中處理不當就會讓學生感到牽強和唐突，自然教學效果也不盡如人意。雖然后期通過強化訓練可以讓學生學會獨立性檢驗的操作步驟，但是學生心中的疑惑始終不能排解。所以這次本人在教學時有意識的避開書上的講解方式，淡化理論性的敘述，改用通俗形象的語言解釋如何利用K2的值判斷兩個變量是否有關系，只要K2值大于或等于臨界值 我們就認為兩個變量有關系，K2小于臨界值k0我們就認為兩個變量沒有關系;然后說明在兩個變量無關的前提下，也有小概率出現K2值很大的情況，只是在一次試驗中，這種小概率幾乎不會發生，所以我們根據K2值判斷兩個變量有關系時，這種判斷會犯錯誤，并且犯錯誤的概率就是前面說的小概率。當然，通俗的語言容易產生麻煩，教學中說K2小于臨界值k0我們就認為兩個變量沒有關系，這其實是不嚴謹的。但是為什么又要這樣敘述呢？我覺得文科學生，尤其是數學基礎不好的文科生不能跟他們強調太多的數學嚴謹，學生的認知水平還遠遠沒有達到嚴謹的程度，過度的嚴謹會束縛學生的思維，令學生失去學習數學的興趣和熱情。所以教學不能生搬硬套書本知識，特別是教材內容超過學生的理解范疇時更要仔細挖掘教材的精華，通過老師的深度思考和加工后再以通俗易懂的語言教給學生，這樣的教學才是符合新課標的理念，教師的魅力也在于此！

參考文獻：

[1]李勇，張淑梅.關于高中教材中獨立性檢驗知識呈現方式的思考[J].數學通報，2010，49（11）：25-26.

[2]彭愛萍.新課程理論下是“教”教材還是“用”材教——從一節“獨立性檢驗的基本思想”的教學談起[J].數學教學通訊，2013（3）：30-31.