在區間上取值的模糊變量的可信性分布

袁敏英，孫大軍

（廊坊師范學院，河北 廊坊 065000）

0 引言

Liu & Liu 于2002 年提出了一個滿足自對偶性和次可加性的可信性測度［1］，并于2004 年建立了可信性理論［2］。近年來，可信性理論已成為研究模糊現象的一種重要數學工具，并已成功應用到一些重要的領域［3-8］。同概率論中隨機變量的概率分布一樣，可信性分布［9］是可信性理論中的重要組成部分?？尚判苑植甲?002 年Liu 提出后，引起了一些專家學者的關注。例如，文獻［2］給出了可信性分布的一個充分必要條件，刻畫了可信性分布的本質屬性；文獻［10］探討了可信性分布的一些數學性質，并證明了模糊變量的特征函數的連續性定理；文獻

［11］基于可信性分布引進了模糊占優的新概念，并討論了模糊占優的一些基本性質。然而，除可信性分布定義之外，用可信性分布刻畫模糊變量的取值規律的結論是一個空白。對比概率論中有完整的利用概率分布刻畫隨機變量的取值規律的系列結論，可信性理論中相關結論的缺失就更為突出，這是由于可信性測度的次可加性使得其研究比概率測度更為復雜。事實上，概率論中許多結論、公式在可信性理論中并不成立。

在可信性理論中，用可信性分布刻畫模糊變量的取值規律，實質是模糊事件的可信性測度計算的理論問題。文獻［1］提出模糊模擬技術，給出近似計算模糊事件的可信性測度的方法，且文獻［12］中Liu Y K 證明了該方法的收斂性。盡管模糊模擬技術能用于對實際問題的近似計算，但在可信性測度的理論研究上有其局限性，且無法實現實際問題理論模型的推導。文獻［13］提出可信性反演定理，給出由隸屬度函數的上確界求一個模糊事件的可信性測度的方法。文獻［7］基于可信性反演定理，給出幾個具體的模糊事件的可信性測度的隸屬度函數表達式。

在理論上，可信性反演定理對于計算模糊事件的可信性測度具有一般性、普遍性，但計算較為復雜。特別是對于簡單且常見的在區間上取值的模糊變量，對比概率論中用區間端點的分布函數值來表示的結論，計算上確界就更顯復雜。為此，我們提出在區間上取值的模糊變量的可信性分布問題，在一個弱條件下，推導在區間上取值的模糊變量的可信性分布表達式、條件可信性分布表達式。得到僅用區間端點的可信性分布函數值表示模糊事件的可信性測度的等式。從而為應用可信性分布處理實際問題，特別是為建立和推導實際問題的理論模型，給出重要的理論支撐。

1 預備知識

定義1［1］設Θ 是一非空集合，P( Θ )為Θ 的冪集。Cr是定義在P( Θ) 上的集函數。如果Cr滿足以下四條公理，則稱Cr是一個可信性測度。

理1 （規范性）Cr{Θ } =1。

公 理2 （單 調 性） 如 果A?B，則 有

公理3 （自對偶性） 對于任何A∈P( Θ )，

公理4 （極大性） 對于任何Ai∈P( Θ )，若

定義2［13］一個模糊變量就是指從可信性空間到實數集上的函數。

定義3［9］模糊變量ξ的可信性分布定義為

顯然，Φ是單調增函數。

定 義4［13］設ξ是 定 義 在 可 信 性 空 間 上的模糊變量。那么由可信性測度Cr可以導出其隸屬度函數為

定理1［14］設Θ為一個非空集合，P( Θ )為Θ的冪集，Cr是可信性測度，則對于任意A,B∈P( Θ) 有

定理2［14］設Θ為一個非空集合，P( Θ) 為Θ的冪集，Cr是可信性測度，則對于任意A,B∈P( Θ )有

定理3［2］可信性測度Cr是次可加的，即對于任意A,B∈P( Θ )有

定理4［13］（可信性反演定理）設ξ是由隸屬度函數μ表示的一個模糊變量，則對實數集的任意子集B，成立

定義5［14］設可信性空間(Θ,P( Θ ),Cr)，對任意A,B∈P( Θ) ，稱在事件B下事件A的條件可信性測度為：

當Cr{B} ＞0時

2 模糊變量的可信性分布

以下主要討論在區間上取值的模糊變量ξ的可信性分布表達式。

引理1 設ξ為模糊變量，Cr是一可信性測度，若則 當時，有Cr{ξ＞x+t}＜0.5成立。

另外，當Cr{ξ≤x}＜0.5時，Cr{ξ＞x+t}只有兩種取值結果：Cr{ξ＞x+t}≤0.5 或Cr{ξ＞x+t}≥0.5。從而有下面的引理：

引理2 設ξ為可信性空間上的模糊變量，Cr是一 可 信 性 測 度 ，x,t(t＞0 )∈?， 若只有三種取值組合：定理5 設ξ為模糊變量且可信性分布函數為Φ，x,t(t＞0 )∈?，若Cr{ξ≤x}≠Cr{ξ≤x+t}，則有

證明：簡記：

由引理2知a和c只有三種取值組合：

以下分別對這三種情況進行討論：

（1）a＜0.5，c≤0.5

由a＜0.5，c≤0.5 及 定 理 3 得 ，進一步由這個不等式及定理 2 得，從而由公理1和公理3得，

由a≥0.5，c＜0.5 及 公 理3 和 定 理1 得，

所以這里只有b≥c一種情況，此時又因為從 而 有故

（3）a＜0.5，c≥0.5

由c≥0.5 及 公 理 3 得，Cr{ξ≤x+t}=1-Cr{ξ＞x+t}≤0.5，從 而 由 定 理1 得于是有

當a≤b時 ， 有時 ， 有Cr{ξ＞x+t}=Cr{ξ≤x+t}，與假設矛盾。所以這里只有a≤b一種情況，此時又從而有Φ(x+t)，故

推論1 設ξ為可信性空間上的模糊變量，若其分布函數Φ(x)=Cr{ξ≤x} 嚴格單調增，則對任意區間(a,b]有成立。

如果去掉定理5 的假設條件，不難得到與文獻

［14］定理1.13類似的結果。即：

性質1 設ξ為模糊變量，其可信性分布Φ，則對任意區間(a，b]有Φ(b) -Φ(a) ≤Cr{a <ξ ≤b} ≤Φ(b) ∧(1-Φ(a) )。

例1 設模糊變量ξ的隸屬度函數為

因此有

同理

顯然，方法一比方法二要簡便。

基于定理5，可進一步給出條件可信性分布函數表達式。

定理6 設ξ為模糊變量且可信性分布為Φ，假設則 有

為進一步簡化上式，進行以下分析：

3 結語

可信性分布是刻畫模糊變量取值規律的函數，一般情況下，在區間上取值的模糊變量沒有可信性分布表達式。本文增加了一個較弱的條件，得到了在區間上取值的模糊變量的可信性分布表達式及條件可信性分布表達式。使得可信性測度的計算由復雜的求上確界變為簡單的求函數值，也為應用可信性分布處理實際問題，特別為建立和推導實際問題的理論模型給出重要的理論支撐。