結合加權的三次Bézier曲線的新擴展

拓明秀，張貴倉，汪 凱

(西北師范大學 數學與統計學院，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

Bézier方法因具有多種利于曲線設計的優良特性而成為計算機輔助幾何設計(computer aided geometric design，CAGD)的重要方法之一[1]。但Bézier曲線呈現出的剛性給曲線的調節和修改帶來較大的困難。為了解決這類問題，很多學者做出了大量工作，提出了一系列帶有形狀參數的類Bezier曲線，這些曲線主要集中在代數多項式函數空間[2-5]和三角多項式函數空間[6-11]。在文獻[12]中，劉等將拓撲映射和包絡理論運用到一類三次Bézier曲線然后分析了形狀參數對其的影響。在文獻[13]中，嚴等在不改變多項式基函數的類型且不增大多項式基函數次數的前提下，對三次Bézier曲線的控制多邊形頂點引入了參數并與Bernstein基函數進行線性組合構造出新的含參數的擴展基。在文獻[14]中，汪等基于三角域構造了一種具有高階連續性的含兩個形狀參數的擬三次TC-Bézier曲線曲面。

盡管這兩種方法都取得了良好效果，但兩者各有優缺點，比如代數多項式函數空間構造的曲線不能精確表示橢圓弧、圓弧曲線等，三角多項式函數空間雖然可以精確地表示橢圓弧、圓弧，但是卻沒有代數多項式空間構造的曲線計算簡單和直觀。

為了解決傳統文獻出現的問題，本文結合加權思想，以Bézier曲線與三次T-Bézier曲線為工具，在代數多項式空間和三角多項式空間同時進行擴展，得到了新的ωλμ-TC-Bézier曲線。新構造的曲線在解決傳統Bézier曲線的擴展問題的同時能夠克服Bézier曲線不能精確表示二次曲線的弱點。應用實驗結果表明，ωλμ-TC-Bézier曲線對幾何設計研究十分有效。

1 Bézier曲線與三次T-Bézier曲線

1.1 Bézier曲線

給定控制多邊形頂點Qi(i=0,1,…,n)， 當u=[0,1] 時，n次Bézier曲線定義如下

Bézier曲線具有幾何不變性、對稱性、凸包性、變差縮減性和保凸性等優越的性質。

1.2 三次T-Bézier曲線

給定控制多邊形頂點Pi(i=0,1,…,n)， 當u∈[0,π/2] 時，n次T-Bézier曲線定義如下

其中，Ti,n(u)(i=0,1,…,n) 為三次T-Bézier曲線的基函數。當n=3，λ,μ∈[-2,1] 時，T-Bézier曲線基函數具有如下形式

(1)

該基函數具有非負性、權性、對稱性等性質，文獻[9]在此基礎上進一步驗證了其具有全正性等性質。由此得到三次T-Bézier曲線在具有Bézier曲線優良性質的同時還具有保形性。

2 ωλμ-TC-Bézier曲線基函數的定義及性質

2.1 基函數的定義

當n=3時，式(1)是三次ωλμ-TC-Bézier曲線的基函數，該基函數的形狀參數是影響曲線基函數形狀的主要因素，圖1給出了對形狀參數進行調節時ωλμ-TC-Bézier曲線基函數的圖像

(2)

圖1 ωλμ-T-Bézier曲線基函數圖像

2.2 基函數的性質

ωλμ-TC-Bézier曲線基函數具有下列性質：

(1)非負性：Di,n(u)≥0。

根據Bernstein基函數和三次T-Bézier曲線基函數具有權性能夠得到Di,n(u) 的權性。

(3)端點性質：在定義區間的端點的端點處，有

(6)全正性：由Bernstein基函數和三次T-Bézier基函數的全正性[9]，可以推出ωλμ-TC-Bézier曲線基函數的全正性。

3 ωλμ-TC-Bézier曲線的定義及性質

定義2 給定4個控制頂點Vi(i=0,1,2,3)， 對于u∈[0,1]，ω∈[0,1]，λ,μ∈[-2,1]定義

(3)

稱式(2)為含有形狀參數ω,λ,μ的三次ωλμ-TC-Bézier曲線。

可以由ωλμ-TC-Bézier曲線基函數的性質，推出其對應的曲線具有以下性質：

(1)幾何不變性：

由于曲線基函數具有權性，故ωλμ-TC-Bézier曲線的形狀只取決于控制頂點，而與坐標系的選取無關。

(2)對稱性：

當λ=μ時，若將曲線的控制頂點V0,V1,V2,V3的順序取為V3,V2,V1,V0時，得到的是同一條ωλμ-TC-Bézier曲線，只是該曲線與原曲線的方向相反。

(3)端點性質：

ωλμ-TC-Bézier曲線起始于V0點，終止于Vn點，即

曲線首末頂點的一階導數為

(4)

首末頂點的二階導數為

(5)

(4)凸包性：

由曲線基函數的權性和非負性可以得到曲線具有凸包性，即曲線完全被包圍在由特征多邊形所形成的凸包之內。

(5)變差縮減性：

由ωλμ-TC-Bézier曲線基函數具有全正性能夠得到ωλμ-TC-Bézier曲線的變差縮減性。

(6)退化性：

當ωλμ-TC-Bézier曲線的取形狀參數ω=1時，曲線退化為三次Bézier曲線；當形狀參數ω=0時，退化為三次T-Bézier曲線；當ω=0且λ=μ時，退化為文獻[9]中的T-Bézier曲線。

(7)保凸性：

由ωλμ-TC-Bézier曲線具有變差縮減性可以得知曲線具有保凸性。

4 ωλμ-TC-Bézier曲線的拼接

盡管ωλμ-TC-Bézier方法具有許多優點，但在實際造型當中，單個的ωλμ-TC-Bézier曲線通常無法準確地描述結構復雜的曲線，所以為了保證曲線的光滑性常采用拼接的方法。本文討論n=3時，ωλμ-TC-Bézier曲線的拼接。

4.1 G1連續條件

為了實現D1(u) 和D2(u) 兩條曲線在公共連接點處的G1光滑拼接，首先要求D1(u) 的末頂點與D2(u) 的起始點位置連續，即P3=Q0。 其次，兩條曲線還需在公共連接點處的切矢方向相同，即

D′2(0)=kD′1(1)，k>0

(6)

由式(4)得到D1(u) 末頂點和D2(u) 起始點的一階切矢分別為

(7)

(8)

將式(7)和式(8)帶入式(6)可得

(9)

4.2 G2連續條件

為了使兩條曲線D1(u) 和D2(u) 在公共連接點處達到G2光滑拼接，必須要求兩曲線具有公共的曲率矢，也就說除了要滿足G1連續的條件外，還需要滿足副法矢相同，曲率相等

D″2(0)=δD″1(1)

(10)

D1(u) 和D2(u) 在連接點處曲率相等也就是要滿足關系

(11)

把式(6)和式(10)同時代入式(11)后，得到兩條曲線在連接點處達到曲率連續的條件是

δ=k2

(12)

由式(5)得D1(u) 的末端和D2(u) 首端的二階切矢分別為

(13)

將式(12)和式(13)帶入式(10)后整理可得

(14)

由此可得式(11)和式(14)是兩條ωλμ-TC-Bézier曲線在拼接時達到G2連續的條件。圖2是當λ1=μ1=0.6，λ2=μ2=0.6，ω1=0.2時，ω2=0.5，D1(u) 和D2(u) 達到G1和G2連續的光滑拼接圖。

圖2 ωλμ-T-Bézier曲線的拼接

5 曲線的應用實例

5.1 形狀參數λ、μ對曲線的調節作用

改變形狀參數ω,λ,μ的值可以調節ωλμ-TC-Bézie曲線的形狀。圖3(a)是當λ=0.4，μ=0.5，ω依次取0,0.2,0.4,0.6,0.8,1時，曲線向上逐漸逼近控制多邊形的圖像。圖3(b)是當λ=0.4ω=0.6，μ依次取-2,-1.5,-0.8,0,0.5,1時，曲線向右逐漸逼近控制多邊形的圖像。圖3(c)是當μ=0.5，ω=0.4，λ依次取-2，-1.5,-0.8,0,0.5,1時，曲線向左逐漸逼近控制多邊形的圖像。

圖3 形狀參數ω,λ,μ對ωλμ-TC-Bézier曲線的調節

5.2 3種曲線間的比較

圖4為控制頂點V0=(1,1),V1=(2,3),V2=(5,3),V3=(6,1) 時Bézier曲線、ωλμ-TC-Bézier曲線和三次T-Bézier曲線之間的比較，其中參數λ=0.6，μ=0.5，ω由上至下依次取值為1,0.5,0。三次Bézier曲線可以是ωλμ-TC-Bézier曲線取形狀參數ω=1退化而來；三次T-Bézier曲線是ωλμ-TC-Bézier曲線取形狀參數ω=0且λ=μ退化而來。這說明了ωλμ-TC-Bézier曲線比Bézier曲線和三次T-Bézier曲線具有靈活的形狀可調性,并且可以同時兼顧二者的優點。

圖4 Bézier曲線、ωλμ-TC-Bézier曲線和 三次T-Bézier曲線的比較

5.3 拋物線弧的表示

設V0,V1,V2,V3為控制多邊形頂點，若令λ=0,μ=0,ω=0， 曲線的4個控制多邊形頂點為V0=(0,0)，V1=(a,0)，V2=V3=(2a,b)， 則有

圖5中離控制多邊形較遠的虛線是Bézier曲線對拋物線弧的近似逼近。實曲線是三次T-Bézier曲線對拋物線弧的精確表示。其中實曲線同樣是當λ=0,μ=0,ω=0時ωλμ-TC-Bézier曲線對拋物線弧的精確表示，離控制多邊形較遠的虛線同樣是當λ=1,μ=0,ω=0時ωλμ-TC-Bézier曲線對拋物線弧的近似逼近，離控制多邊形較近的虛線是當λ=0.5,μ=0,ω=0時ωλμ-TC-Bézier曲線對于拋物線弧的近似逼近。實驗結果表明，取λ∈[0,1] 中不同值，ωλμ-TC-Bézier曲線既能夠對拋物線精確表示也可以不同程度逼近拋物線弧，新曲線表現出很強的形狀可調性，更適合用于曲線曲面設計。

圖5 拋物線弧的表示

5.4 橢圓弧和圓弧的表示

設控制多邊形的頂點為V4,V5,V6,V7， 令λ=0,μ=0,ω=0， 可得V4=(0,2b)，V5=(a,2b)，V6=(2a,b)，V7=(2a,0)， 則有

圖6(a)中外側虛線是Bézier曲線對橢圓弧的近似逼近。內側點線是三次T-Bézier曲線對拋物線弧的精確表示。其中內側點線也是當λ=0,μ=0,ω=0是ωλμ-TC-Bézier曲線對拋物線弧的精確表示，外側虛線也是當λ=1,μ=0,ω=0是ωλμ-TC-Bézier曲線對拋物線弧的近似逼近，內側點線與外側虛線之間的虛線是當λ=0.5,μ=0,ω=0時ωλμ-TC-Bézier曲線對于拋物線弧的近似逼近。圖6(b)中曲線是控制頂點為V4=(0,2)，V5=(1,2)，V6=(2,1)，V7=(2,0) 時Bézier曲線、三次T-Bézier曲線、ωλμ-TC-Bézier曲線表示的幾段圓弧。實驗結果表明，取λ∈[0,1] 中不同值，ωλμ-TC-Bézier曲線既能對橢圓弧、圓弧精確表示也可以不同程度逼近橢圓弧、圓弧。

圖6 曲線表示的橢圓弧和圓弧

5.5 花瓣圖形

ωλμ-TC-Bézier曲線有較強的工業造型設計功能，當ωλμ-TC-Bézier曲線的起始點與末頂點相重合時，能夠獲得封閉的曲線。圖7為當λ=μ=0.5，ω的取值依次為0,0.3,0.6,1時獲得的閉合曲線及開曲線所形成的花瓣圖形。最外側花瓣線為ωλμ-TC-Bézier曲線ω=0時的三次T-Bézier曲線，最內側花瓣線為ωλμ-TC-Bézier曲線ω=1時的Bézier曲線，而本文構造的ωλμ-TC-Bézier曲線只需調節形狀參數就可以表示出三次T-Bézier曲線及Bézier曲線。

圖7 花瓣圖形

5.6 花瓶旋轉曲面

將相鄰的Bézier曲線、三次T-Bézier曲線及ωλμ-TC-Bézier曲線分別以G1光滑拼接得到的曲線作為母線，將其旋轉可以得到形似花瓶的旋轉曲面。圖8(a)是當λ=μ=0.6時3條曲線的G1光滑拼接曲線，圖8(b)是Bézier曲線拼接旋轉產生的花瓶旋轉曲面。圖8(c)是三次T-Bézier曲線拼接旋轉得到的花瓶旋轉曲面，圖8(d)是ωλμ-TC-Bézier曲線拼接取ω=0.4旋轉產生的花瓶旋轉曲面。ωλμ-TC-Bézier拼接曲線取形狀參數ω=1時能夠生成圖8(b)，取形狀參數ω=0時能夠生成圖8(c)，且調節參數ω∈[0,1] 能夠使對應的花瓶旋轉曲面的形狀介于Bézier和三次T-Bézier拼接曲線的花瓶旋轉曲面之間。這為曲面設計提供了很好的工具。

圖8 3種曲線生成的花瓶旋轉曲面

6 結束語

為了解決傳統文獻在構造曲線時不能對代數多項式和三角多項式函數空間的優點兼顧的問題，本文結合加權思想，將Bézier曲線和三次T-Bézier曲線作為工具，同時在代數多項式空間和三角多項式空間進行擴展，得到了新的ωλμ-TC-Bézier曲線。大量的分析以及實例表明，新曲線具有很強的實用性與有效性。實際上，加權思想不僅僅適用于Bezier曲線的擴展，而且還適用于B樣條曲線、曲面，乃至三角域曲面的拓展。但限于篇幅，此類結果的分析將另文敘述。