估算、估算教學的認識誤區及分析

孫敏 陸世奇

【摘 要】估算作為貫穿整個小學階段的數學教學內容，是教師教學的一大重點。由于其內容的復雜性和多樣性，教師的教學也自然會出現各種誤區。從估算教學的本質、過程、關系與價值這四個層面出發進行探討，可以更好地針對教師對估算、估算教學的認識誤區進行分析，并提出相應的教學建議。

【關鍵詞】估算;估算教學;估算本質;估算過程;估算類型;估算價值

【中圖分類號】G623.5【文獻標志碼】A【文章編號】1005-6009（2020）17-0024-05

【作者簡介】1.孫敏，江蘇省常州市第二實驗小學（江蘇常州，213026）副校長，高級教師，常州市數學學科帶頭人，常州市中小學名教師工作室領銜人，常州市優秀教育工作者，江蘇省教科研先進個人;2.陸世奇，南京師范大學（南京，210097）課程與教學研究所博士研究生，主要從事小學數學教學研究。

隨著新課程改革的推進，教師對估算教學內容的教材安排逐漸熟悉，對估算價值和估算方法有了一定認識，形成了自己的估算教學經驗，由此我們可以看到一些精彩的估算單課教學實例。然而，估算教學具有十分豐富的育人價值，僅從這種著眼于一個單元或一節課的微觀視角出發進行教學，并不能充分展現它的價值。因此，需要從宏觀視角來重新審視估算教學。所謂宏觀視角，指的是把估算作為小學數學的一個主題，貫穿整個小學階段，以課程標準和教材為基礎，從估算的本質、過程、關系與價值等方面出發，整體地考慮估算教學。基于此，本文試從教師對這幾個方面的認識誤區出發，在深度剖析的基礎上厘定其應有的意義與價值。

一、估算本質的認識：“離散性”還是“連續性”

（一）“離散性”認識導致對估算本質的理解偏差

有研究指出，某些學生認為估算得到的都是不正確的答案，所以他們在估算時往往只是隨意地猜測。某些教師則因為與估算相關的筆試較少，難以真正檢測學生的估算水平，而對估算教學抱著點到即止的態度，缺乏深入的理解和認識。

這一現象引出了一個本體性的問題：估算作為一種心理運算的過程，它在本體上是一個連續的范圍還是一個個離散的點？隨意的猜測是不是一種估算？如何判斷估算的好壞？等等。我們由此可以得到兩種理解估算的模式：一種是“離散性”的估算，即在二元思維主導下的一種“是與否”的離散模式，沒有對估算性質的判斷，此時隨意的猜測就不是一種估算;另一種是“連續性”的估算，是一種具有性質判斷的估算，即對心理運算過程進行帶有價值分析的判斷，是對“好”與“壞”的分析。相應地，隨意的猜測可以看成是一種消極的估算。

（二）“連續性”指向估算的性質

“連續性”的估算更符合估算的本質，體現了估算的性質，強調一種對合理性的追求，要求學生投入足夠的思維精力去完成一個盡可能合理的估算過程，也要求教師在教學中引導學生追求“好”的估算。當然，這里的“好”與“壞”沒有一個一般性的規定，更多需要在具體的估算情境下去判斷。這些估算的特征也反映出估算教學中內隱地存在著批判性思維、分析性思維等思維成分。

（三）從“離散性”轉向“連續性”

在一線教學中，教師往往是在教一個個“離散性”的估算方法，學生往往很熟練地掌握了各種方法，但不會合理地運用，不能選擇恰當的方法去匹配相應的估算問題。教學需要從“離散性”的估算轉向“連續性”的估算，即將教授估算方法層面的估算教學上升為培養估算素養層面的估算教學，在估算教學中反思估算的本體價值，追求好的、合理的估算，使各種估算方法聯系在一起，并最終形成學生穩定的、靈活的估算素養。

二、估算過程的認識：“操作性”還是“綜合性”

（一）“操作性”估算過程帶來價值的缺失

在實際教學中，教師往往會將估算更多地定位為一種技能，從操作層面進行指導，如先轉換數據，再代入進行計算，最后比較，要求學生按程序一步一步模仿學習。在這樣的學習過程中，學生可以憑借習得的技能完成相關練習要求，但對于為什么估算、估算的情境性、用什么方法估算、估算的適切性、估算的結果如何運用、估算的靈活性等問題缺乏認識和把握。

（二）“綜合性”估算過程的三層次分析

事實上，對估算過程的理解是一個復雜的綜合體，可以從事實層面、操作層面和概念層面這三個方面進行闡述。

就事實層面而言，估算是一種數學活動，估算本身就是估算方法的具體展開，是基于具體情境進行的情境條件的抽象和估算方法的抽象。由于估算方法的多樣性，估算并沒有一般性的形式，因而學生并不能直接將估算作為一種文字或符號的事實記在腦海里。可以說，估算的事實層面并不能獨立于其操作層面或概念層面而存在，但這并不意味著它是低層次的估算知識，可以表述為“在怎樣的情境下，可以運用這種估算的方法”。

就操作層面而言，估算預設了兩種運算前提：一種是無法做準確計算;另一種是不必做準確計算。估算的精確程度并不是無條件可控的，它往往被情境條件限制在一定的范圍之內。即使在同一情境條件下，所能運用的估算方法也不止一種。操作層面也是一個不斷發展的過程，從僅僅把估算當作一種直覺或一種隨意的猜測，到把估算作為一種有條件、有目的的數學活動，其間經歷了多方面、多層次的發展，是對估算情境的多方面要素綜合考慮之后的一種估算方法的籌劃，是一項“估算工程”。

就概念層面而言，可以對估算有一個整體理解：概念層面的估算通過事實層面得到表述，并作為操作層面的依據去解決具體的估算問題。抽象是概念的必然要求，概念是解決估算問題所依賴的理論工具。學生掌握的抽象的估算概念越豐富，就越能合理地解決估算問題。在數學上，估算概念是一種條件與方法都明確的算法語句。從這方面來說，估算概念是基礎的、封閉的。

（三）基于“綜合性”的估算過程建構

綜合估算的事實、操作與概念這三個層面，就可以得到一般性的估算過程：從估算條件出發，根據估算目的和估算概念得到估算方法，從而得到估算結果。

在具體教學中，有兩種可能的教學進程。一種是“事實—操作—概念”的線性進程。首先，掌握估算的事實方面，即通過范例讓學生記住一些具體的估算指令;其次，在變式練習下鞏固對一系列估算事實的掌握，從而讓學生可以熟練地運用各種估算方法;最后，通過熟練的操作將估算的各種事實描述內化為概念，學生可以自如地運用各種估算方法，甚至合理地創造新的方法。

另一種教學進程是通過情境同時進行三個層面的教學，依據不同復雜程度的情境，將估算的各個步驟都交給學生自由地進行取舍和運用，引導學生由淺入深地理解估算過程，使他們在此過程中不斷加深對估算目的、估算概念、估算方法、估算結果的理解和內化，形成對估算過程的整體認識。

上述兩種思路都是教學的可能路徑，在實踐中產生第三、第四種思路也是必然。無論何種教學進程，都需要綜合考慮估算的事實、操作和概念這三個層面，如此，才可以使學生真正掌握估算的過程。

三、估算關系的認識：“孤立的”還是“聯系的”

（一）“孤立的”估算關系帶來教學的割裂

估算教學中普遍存在的一個誤區，就是忽視了各領域中多種估算類型的內在聯系。不少教師都認為它們幾乎是不相關的，有著不同的估算方法和思路。從心理學研究的角度來看，國外主要將估算分為三種類型——數量估算、測量估算、計算估算，每一種估算都有豐富的研究成果，這表明各種類型的估算之間確實具有較大的差異性——有著不同的心理機制和心理運算路徑。教師的認識割裂進而造成學生的學習孤立，使得學生將估算的學習看作一個個點狀的知識，難以形成完整的認知結構，更不用說進行估算策略之間的融合和靈活運用了。

（二）基于四大領域的估算類型分析

基于《義務教育數學課程標準（2011年版）》四大內容領域的編排，我們對數量估算、測量估算、計算估算以及統計估算分別進行闡述。

1.數量估算。

數量估算可以作為整個估算體系的基礎，它可以看作最簡單的估算類型。當你在估計有幾只小鳥、幾個凳子、幾個人時，就是在進行數量估算。對數量估算研究最為重要的結論，是兒童具有多種數量估算的模式，整體上是從對數模式向線性模式發展。顯然，線性模式是更準確的數量估算模式。

2.測量估算。

測量估算是數量估算的自然延伸，它們的區別主要是估算對象的改變。數量估算的對象主要是離散的;測量估算關注的則是對象的連續性，或者說關注對象某種可以量化的屬性，如長度、面積、重量等。量的感覺是內在的，而量的概念是外在的，這種內外聯結是一個復雜的過程，它既要求具有對象各種屬性的背景知識，又要求具有關于對象的深入認識經驗，是以單位量為前提、以數系統為條件進行測量估算。這實際上是一種內在樸素的推理過程。這兩種估算最大的特點，就是它們都要求學生兼顧數感和一般的感覺，這種一般的感覺包括視覺與空間感、觸覺與重量感等（與估算的對象有關），并且最終形成量感。

3.計算估算。

計算估算是從具體數字到數字的估算，不涉及具體的現實對應物，它也是真正需要計算的一種估算。計算估算可以概括為兩個步驟：一是將已有算式進行簡化，包括改變數字或運算;二是進行運算，這是計算估算的核心問題，但這一核心問題還需要目的性這一估算原則的引導。在計算估算中，我們需要為其找到動力機制：為何需要進行估算？為何用某種方式進行估算？估算的目的可能有如下幾個：一是檢驗算式的正確性，可以用估算作為一種簡約方法;二是精算的不必要性，現實生活中大量使用計算估算，因為精確的答案是不必要的，人們追求用更短的時間得到模糊、大概的答案;三是學習新的運算，如在學習小數的運算時，可以借助估算先知道大概的答案，以加深對小數的理解;四是促進對運算律的理解，在改變運算時通常都包含著運算律的影響。

4.統計估算。

在小學數學教學中，把統計的過程作為一種估算的過程是一種大膽但很有價值的嘗試。它們之間具有豐富的相似性，都是過程與結果的綜合，過程都具有多樣性，結果都具有不確定性，并且都追求合理性。可以說，估算視角給予統計教學重要的啟示，統計視角反過來拓展了估算教學的內涵。

具體來看，我們可以把統計估算分為兩個部分——估算的準備和估算的進行。以教材的安排來看，統計部分都是估算的準備，只有概率部分才是估算的進行。但是，估算本身是一個完整的過程，需要兼顧準備過程與進行過程。

與其他三種估算相比，統計估算的過程更加復雜，其中包含定量與定性的因素，要求學生綜合考慮多方面因素。但歸根結底，它仍然是一種估算，且最能體現估算的“連續性”，整個統計過程都是為了估算本身能夠盡可能地成為“好”的估算。需要補充的是，統計估算總是面向一個具體的現實問題，它的操作過程總是或多或少地包含著其他三種估算，因而可以把它作為估算教學的一個轉折點。即，在學習了數量估算、測量估算和計算估算之后，學生才算有了一定的、抽象的估算概念，也就是有了對具體情境要素進行分析的依據，此時，統計估算往往提供了情境，讓學生體會完整的估算過程。這樣，再回到其他任何一種類型的估算時，學生都可以審慎地思考問題，并能作出合理的回答。

（三）用“聯系的”視角重新認識四種估算類型

區別于作為心理科學的一般性估算類型研究，作為教育教學內容的估算要求學習者不僅要學習估算，更要學習數學，并從中培養知識、技巧、思維、情感等多方面的能力。因此，小學數學課程體系及課程標準應給予各種估算教學一種融合的可能。

綜合來看，我們可以從對象、教學關鍵點和教學共同點這三個方面來整體審視上述四種估算類型（如表1）。

四、估算價值的認識：“知識的”還是“素養的”

（一）“知識的”價值認識無法面向未來

長期追求具有精確性、封閉性、唯一性的標準化答案，使得教師和學生都習慣于線性思維，習慣于算法思維，將估算看作固定的知識去教授或運用。這種思維方式和學習方式不足以幫助學生應對瞬息萬變、充滿挑戰的未來。

（二）“素養的”價值認識引發對可能性思維的關注

估算作為小學數學教學中最為常見的一個知識點，幾乎貫穿于整個小學階段。而估算活動本身又是人類認識世界、理解世界的一種重要方式。在日常生活中，估算甚至比精算更為常用，更多地涉及開放性、多樣性和不確定性等。在大多數情況下，估算并沒有一個唯一的答案，而是追求一個合理的答案、一個合理的估算過程，這個過程可以有多種選擇，依據不同的目的可以有多種不同的呈現方式和解釋。綜合來看，估算是一個更為復雜的心理運算過程，需要更多的思維投入。這就要求教師把握住每一次估算教學的機會，把它們看作促進學生素養發展的一種重要渠道。

首都師范大學郜舒竹教授認為，可能性思維在估算教學中十分重要。所謂可能性思維，就是針對不確定事物或現象進行列舉、比較、篩選與判斷的思考過程。其基本模式是在對諸多可能性列舉的基礎上去尋找證據，通過對這些可能性及其證據進行比較，形成對可能性大小的判斷。因此，在課程內容中挖掘可能性思維的因素就顯得十分必要。當學生的學習活動中出現多種答案時，教師需要容忍并鼓勵不同，寬恕并理解錯誤，引導學生經歷列舉、比較和判斷的過程。

（三）對立統一中的估算精神培育

雖然可能性思維在估算教學中十分重要，但算法思維并沒有被估算所拋棄。當條件確立以后，方法同時被確立，就可以得到一個唯一的結果，這是估算過程中的重要環節。也就是說，估算的可能性不是一種猶豫不決的轉換過程，而是對問題條件的多種解讀，是對估算方法的分析與選擇，在此之后就需要以一種確定性的運算程序解決問題。如果缺少這最后一個步驟，那估算活動就只能在無意義的各種可能性之間徘徊，讓學生形成估算就是任意的猜測或者估算就是錯誤答案的誤解。

可能性思維與算法思維的兼顧也自然引出一種估算精神。它作為一種情感，可以讓學生體會到數學學習并不總是追求精確的答案，也需要我們深入不確定、可能性之中，去分析多樣的問題情境，在多種不同的方法之間進行選擇，數學在此不再要求絕對正確的答案，而要求更合理的答案。但兩者擁有共同的思想源泉，即數學地思考。可見，在情感層面，估算的學習可以使學生形成一種估算觀，同時也能豐富他們的數學觀，拓展他們自我數學觀的外延。

以上，是我們對現實教學中教師因對估算本質、估算關系、估算過程、估算價值認識不到位而產生的諸多問題的呈現、分析和思考。帶著這些認識和思考，我們將付諸實踐，在整體、系統、結構化的視野下形成對估算教學新的研究。

【參考文獻】

[1]徐文彬，孫敏.估算、估算教學及其育人價值[J].江蘇教育：小學教學，2019（12）：7-11.

[2]郜舒竹.小學數學這樣教[M].上海：華東師范大學出版社，2015.