向量在解決幾何題型取值范圍中的應用探究

福建省莆田市荔城區第九中學 吳明志

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。”對一些問題，如果換一個角度和方法來處理，往往能得全新的一個思路。立體幾何和解析幾何求取值范圍問題歷來是高中數學的一個難點，也是近些年高考的一個重要的考點。解決這些問題的時候有時候可能就會遇到很大的困難，這時向量的應用可以為很多題目開辟一個新的思路。可以把向量作為一個橋梁使問題化繁為簡，利用向量的模、數量積、夾角之間的關系以及向量不等式等把立體幾何或解析幾何求取值范圍問題轉化為我們所熟悉的三角函數、不等式等問題，從而實現問題的解決。在解題的過程中需要構造向量模型，運用向量運算分析進行轉化，體現了數學建模、數學運算、直觀想象等核心素養和化歸的數學思想。筆者結合自身教學經驗，分析探究向量在這兩種求取值范圍題型中的實際應用。

一、向量在解析幾何求取值范圍中的應用

（一）向量在與三角形、四邊形等有關的求取值范圍問題中的應用

運用向量法解決此類平面幾何求取值范圍問題，是向量知識在高中數學解題過程中的重要應用方向，也是靈活運用向量知識解決數學難題的能力的重要體現。它主要是運用向量的定義、幾何意義和向量的不等式等來把平面圖形中的有關三角形、四邊形或者線段等轉化為向量的問題或者我們所熟悉的問題，把它作為一個橋梁，優化解題思路。

例1：在直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M，N 為AC 邊上的兩個動點，且滿足|MN|＝，過點M 作BN 的垂線，垂足為D，求BD·BN 的取值范圍為________。解析：本題如果直接求解就有一定的難度，但如果我們把所求的問題利用向量的數量積的定義就可以看作是求取值范圍，就可以比較容易地解決這個問題了。本題可以先建平面直角坐標系，再設M 坐標，就可以把所求的問題轉化，再由二次函數的知識可得取值范圍。

（二）向量在圓錐曲線取值范圍問題中的應用

高考考查的圓錐曲線取值范圍題型有較強的綜合性，也是考查的重點。其中向量與圓錐曲線的綜合性問題也是考查的重點。求解圓錐曲線取值范圍問題最大的思維難點是轉化，由于圓錐曲線上的點可以使用相對應的橫縱坐標來進行表示，而相應的起點坐標也可以用來表示相對應的向量，所以在這個類型的很多題目中可以利用向量把如兩直線夾角中銳角、直角、鈍角以及線段長度取值范圍等問題轉化為我們所熟悉的二次函數、三角函數、不等式等，利用向量自身的范圍限制，以及三角函數、不等式范圍限制，從而“雙管齊下”，突破思維難點。

例2：已知F1、F2是橢圓的焦點，點P 是橢圓上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，P 橫坐標取值范圍是多少？本題是通過鈍角為出發點來求點的橫坐標取值范圍，其實這個問題就是涉及直線與直線所成角的問題，其中可分為銳角、鈍角和直角或者具體角度等，而平面向量對解決這類問題相對比較容易，所以我們可利用向量夾角公式小于零進行轉化，從而解出點P 的橫坐標取值范圍。

二、向量在高考立體幾何求取值范圍題型中的應用

立體幾何求取值范圍問題也是高中數學教學中的難點，而向量可以為問題的解決另辟蹊徑，比如對于立體幾何的平行垂直與夾角以及距離等問題，都可以通過向量進行直接轉化，并運用向量間的相關關系解決，或者也可以先建立空間直角坐標系，再利用向量轉化為其他問題，比如函數或不等式等求取值范圍來解決問題。

例3：在矩形ABCD 中AB ＝λAD(λ＞1)，將其沿AC 翻折，使點D 到達點E 的位置，且二面角C AB E 為直二面角。F 是BE 的中點，設所求二面角的大小為θ，當λ ∈[2，3]時，求cosθ 的取值范圍。解析：本題先建立空間直角坐標系，利用向量的求二面角的方法可以得到

再利用函數方法求取值范圍。像這樣利用向量轉化為我們所熟悉的問題來解決立體幾何求取值范圍，關鍵是要找到實現轉化為常見問題的求解途徑，實現幾何問題代數化，從而使問題得到較容易的解決。

綜上所述，在高中數學的解析幾何和立體幾何求取值范圍的問題中應用向量的相關知識來轉換為我們比較容易解決其他的數學問題有很重要的現實意義。高考考查題型的一大特點是綜合性，其題目往往由幾種知識點復合而成，其中向量相關知識與這兩類幾何的融合求取值范圍題型是高考考查的重點之一，當我們“山窮水盡”之時如果能靈活運用向量相關知識這個橋梁來解決這兩類幾何求取值范圍題型，會使我們“柳暗花明”。