基于改進的快速趨近律的四旋翼姿態控制

張 文,孫瑞勝

(1.南京理工大學泰州科技學院，泰州 225300；2.南京理工大學 能源與動力學院，南京 210094)

0 引 言

近年來，四旋翼飛行器因結構簡單、操作靈活，受到越來越多的學者和科學家的關注。通過深入開發研究，四旋翼飛行器在很多方面都得到了廣泛的應用，比如在航拍攝影、無人偵察、森林防火、城市巡邏以及在各種惡劣環境下的災情監測等領域。

四旋翼飛行器的結構簡單源于其機械構造。它的四個旋翼分別由4個電機帶動。如果調整4個電機，讓它們的轉速發生變化，就可以改變飛行器的姿態，從而實現對姿態的控制。4個電機的轉速之間存在差異，電機所對應的旋翼升力就會產生變化，從而飛行器的姿態也發生相應的改變。

在運動期間，飛行器的姿態可以通過6個自由度來描述：圍繞X，Y以及Z軸的俯仰、滾轉、偏航運動；上下的垂直運動，以及前后、左右的兩個平移運動。這6個自由度通過4個控制量來進行控制。自由度的數目大于控制量的數目，符合欠驅動系統的特征，因此四旋翼飛行器屬于欠驅動系統。此系統不但非線性比較嚴重、耦合性比較強，而且還容易被外界因素所干擾，具有很強的不確定性。但是這些問題都可以通過采用控制器得到改善，改善的結果取決于控制器所采用的控制算法，即控制算法直接決定了控制質量。因此，許多學者都希望能夠研究出一個好的控制算法來實現對飛行器的快速穩定控制。其中，比較突出的有K Erbatur[1]等，他們設計的是一種高增益的滑模控制器，此控制器可以模糊、自動地調整邊界層的厚度。針對滑模控制器存在的抖振問題，高為炳[2]設計了一種變結構控制系統。針對有較強干擾存在的伺服系統，A Kawamura[3]等將觀測器與傳統的滑模控制方法相結合，設計了一種新型的觀測器。對于沒有確定數學模型以及動態性能不確定的機械系統，G Bartolini[4-5]等設計了切換函數的二階導數，有效地消除了抖振現象，同時進一步將這種方法應用到了多輸入系統中。Zhuang K Y等[6]則是通過調整增益來降低抖振現象，具體是對于系統的不確定項利用模糊控制在線估計，實現增益的自適應調整。目前，對四旋翼飛行器主要采取的智能控制方法有自適應控制、滑模控制、模糊控制等。

本文針對傳統趨近律，對控制器做了一定的改進，并進行了仿真分析，仿真結果表明所設計的控制器是有效的。

1 數學模型[6]

在各種坐標系描述方法中，我們通常采用機體坐標系或者慣性坐標系來描述四旋翼飛行器。飛行器在慣性空間的位置用ξ=[x,y,z]T來表示，而飛行器的姿態滾轉角、俯仰角及偏航角用η=[φ,θ,ψ]T表示。可以用矩陣R實現的轉換。

(1)

忽略摩擦阻力、大氣對螺旋槳的干擾以及陀螺效應等影響因素，對飛行器進行受力分析，推導出飛行器的動力學模型：

(2)

式中：Ki(i=1,2,…,6)為阻力系數；Ij(j=1,2,3)為轉動慣量；m為飛行器的質量;g為重力加速度;l為飛行器的半徑。

U1,U2,U3,U4分別為垂直、滾轉、俯仰以及偏航的輸入控制量。

(3)

式中：Fi(i=1,2,3,4)為對應的4個旋翼的升力。

2 全驅動子系統控制器的設計

根據動力學理論，飛行器有6個自由度，4個控制量，可以將模型進行分解，分為全驅動和欠驅動兩個子系統，這兩部分的控制器應單獨進行設計。

將高度和偏航角劃分為全驅動子系統部分，設計控制器。

(4)

定義高度的跟蹤誤差e=zd-z，其中，飛行器的高度用z表示，即飛行器在z軸方向的位移，飛行器高度的期望值用zd表示。

2.1 傳統的指數趨近律[7]

傳統的指數趨近律如下：

(5)

式中：k,ε為大于0的常數。

2.2 改進的快速趨近律

為了更好發揮趨近律的作用，加快系統到達滑模面，本文對指數趨近律作了如下改進：

(6)

式中：α>0,b>1,ε>0,k>0。

此系統可以在某個時間收斂到平衡點。

(7)

僅當s=0時，式(7)等于0，系統滿足Lyapunov穩定條件，是漸進穩定的，可以收斂到平衡點。

當系統的狀態在遠離滑模面時，式(7)右邊的第二項起主要作用，此時可加快系統遠離滑模面的速度。當系統的狀態接近滑模面時，第一項起主要作用，同樣可以使得系統以較快的速度趨近滑模面。這樣使得系統在遠離滑模面以及接近滑模面時都能以較快的速度趨近滑模面，達到快速趨近的目的。

定義系統的滑模面：

采用指數趨近律式(6)，設計控制律：

(8)

式中：zd為飛行器高度的期望值，e=z-zd，k3>0。

(9)

滿足Lyapunov穩定性定理。同理，可得到偏航角的控制器：

(10)

式中:k6>0，λ4>0。

3 欠驅動子系統的滑模控制器設計

欠驅動子系統的描述有多種形式，下面采用了其中一種標準形式：

(11)

式中：d1，d2，d3為擾動項；U為控制量。

四旋翼飛行器欠驅動子系統模型：

(12)

式中：Ij(j=1,2)為轉動慣量；m為飛行器的質量；l為飛行器的半徑；Ui(i=1,2,3)為控制變量。

將式(1)改寫：

(13)

與標準形式比較，可得d1=d2=d3=0,

取誤差方程：

(14)

定義系統的滑模面：

s=c1e1+c2e2+c3e3+e4

(15)

式中：ci>0,i=1,2,3。

采用指數趨近律：

設計控制律：

根據Lyapunov穩定定理，系統穩定。

4 仿 真

本文運用MATLAB對飛行器進行了仿真研究。控制目標從地面的(2,2,0)到期望的目標位置(0,0,5)，偏航角的期望值為50°，俯仰角和滾轉角能夠穩定地保持在0。飛行器的參數設置：m=2 kg，g=9.81 m/s2，I1=I2=1.25 kg·m2，I3=2.5 kg·m2。采用傳統滑模控制器以及本文設計的滑模控制器對飛行器進行仿真分析，得到系統的響應曲線，其中圖1為高度響應曲線，飛行器的3個姿態響應曲線分別為圖2、圖3以及圖4。

圖1 高度響應曲線

圖2 俯仰角響應曲線

圖3 滾轉角響應曲線

圖4 偏航角響應曲線

5 仿真結果分析

從圖1的高度響應曲線可以看出，系統從初始狀態到期望狀態只需要5 s就可以實現，與傳統滑模控制相比較，超調量較小，穩定性提高。圖2為俯仰角響應曲線，圖3為滾轉角響應曲線，從圖2、圖3可以看出，只需要4 s，俯仰角和滾轉角就能穩定地維持在期望的0。而圖4的偏航角響應曲線說明系統也只需要5 s就能達到期望的50°，比傳統滑模控制速度有所提高，并且能夠一直保持穩定。

6 結 語

當系統存在擾動影響時，如果采用傳統的控制律對飛行器進行控制，存在一定的缺陷。可通過提高控制器的性能，實現對四旋翼飛行器的姿態控制。本文在傳統的趨近律滑模控制的基礎上，對控制律做了一定的改進，并且進行了仿真分析。仿真結果表明，所設計的控制器能夠有效地減小抖動，并實現了對期望的姿態實現穩定控制的要求。