例談一次函數由圖形不確定引起的分類討論

洪聲華

【摘要】分類討論的數學思想在數學解題中占有重要的位置，分類討論的思想方法在一次函數中的運用已成為考試的一大熱點。本文主要結合例題，具體闡述在一次函數教學中由圖形不確定引起的分類討論，以提高學生的解題能力，從而提高學生的數學核心素養。

【關鍵詞】分類討論;思想;一次函數

在初中數學教學中，培養學生的數學核心素養是數學教育的重要任務。其中“數學思想方法”在數學教育領域被廣泛應用，它貫穿整個數學教學中，是數學教學的核心思想。通過歷年以來數學家、教育家對數學思想方法的研究，把數學思想方法分為幾大類：方程思想、函數思想、分類討論思想、化歸轉化思想、數形結合思想、極限思想、整體思想、抽樣統計思想等。

分類討論思想具有較高的邏輯性，有利于提高學生對學習數學的興趣，培養學生思維的條理性、縝密性、科學性，所以在數學解題中占有重要的位置。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。分類是在題目部分條件缺失或不明確的情況下，將數學對象區分為不同種類的思想方法。在解答問題時，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，再加以綜合。

引起分類討論的原因主要有：（1）涉及的數學概念是分類進行的;（2）涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的;（3）解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論;（4）某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等。

在解有些一次函數問題時，需要將問題所涉及的對象依照一定的標準分成若干類，然后逐類加以討論，最終才能得出正確的解答，這種方法稱為分類討論，它既是一種邏輯方法，也是數學中的一種重要思想方法和解題的策略，這一思想方法在一次函數中的運用已成為考試的一大熱點。

進行分類討論時，我們要遵循的原則是“不重不漏”。用分類討論思想解決問題的一般步驟是：（1）討論的對象及討論對象的取值范圍的確定;（2）正確選擇分類的標準，進行合理分類（分類時需要做到四大原則）;（3）逐步討論解決問題;（4）歸納并作出結論。

下面，結合例題具體闡述一次函數教學中由圖形不確定引起的分類討論。

【例1】點P在直線y-x+1上，且到y軸的距離為1，求點P的坐標。

分析：本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征。解答該題時，要注意：到y軸的距離為1的點P有兩個。由點P的橫坐標是x=±1;可以求得點P的坐標是（1，0）或（-1，2）。

【例2】 若一次函數y=kx+1與兩坐標軸圍成的三角形面積為3，則k的值為多少。

分析：本題考查函數解析式和三角形的結合，有一定的綜合性，注意坐標和線段長度的轉化。由一次函數與兩坐標軸圍成的三角形面積=? ?×1×? ? =3，注意分兩種情況討論，解得k=? ? ? 。

【例3】 已知一次函數y=kx+b，當0≤x≤2時，對應的函數值的取值范圍是-2≤y≤4，求kb的值。

分析：此題考查一次函數的性質，要注意根據一次函數圖象的性質要分情況討論。

①當k>0時，y隨x的增大而增大，∴當x=0時，y=-2，當x=2時，y=4，可以求得kb=3×（-2）=-6;

②當k<0時，y隨x的增大而減小，∴當x=0時，y=4，當x=2時，y=-2，可以求得kb=-3×4=-12。

所以kb的值為-6或-12。

【例4】 已知直線l和直線l'：y=-4x+20交于點P，l與x軸交于點A（8，0），且△PAO的面積為16，求直線的函數解析式。

分析：此題考查兩直線相交問題，根據直線與軸交于點A（8，0），由△PAO的面積為16得出P的縱坐標的絕對值為4，分P的縱坐標為±4兩種情況解答，故直線l的函數解析式為y=-x+8或y=-0.5x+4。

【例5】 如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（4，0），點P在直線y=-x+m上，且AP=OP=4。求m的值。

分析：由已知AP=OP，易知點P在線段OA的垂直平分線上，那么就能求得△AOP是邊長為4的等邊三角形，就能求得點P到y軸的距離為? ? ? ，分點P在第一象限和第四象限兩種情況求得P（2，? ? ）或（2，? ? ?）。在把點的坐標代入一次函數解析式即可求出m的值為2+? ? ? ? 或2-? ? ? ? ?。

【例6】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=-? ? ?x+1的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點。

（1）求點A、B的坐標;

（2）點C在軸y上，當S△ABC=2S△AOB時，求點C的坐標。

分析：（1）根據函數的圖象與x軸、y軸交點的坐標特點，分別令x=0、令y=0可求出點A 的坐標（2，0），點B的坐標（0，1）;（2）根據S△ABC=2S△AOB且兩三角形同高可得出BC=2OB=2，注意分兩種情況討論：①若點C在點B上方，則點C坐標為（0，3）;②若點C在點B下方，則點C坐標為（0，-1），綜上，點C坐標為（0，3）或（0，-1）.

由以上的討論以及例題分析我們可以看出，分類討論思想不是一個單一的、獨立的思想，它往往和數形結合思想、整體思想等聯系在一起。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練學生的思想條理性和概括性。因此，要學好分類討論思想，就要在日常生活中加強意識，更好地把它與其他思想相結合，做到舉一反三、融會貫通。

總而言之，分類討論思想在中學數學中起著很重要的作用，學好分類討論思想，不僅僅有利于我們對所學知識的歸納，有利于我們應對平常的學習任務，更為我們日常生活中解決實際問題提供了一定的幫助。

參考文獻：

[1]劉文武.中學數學中重要的數學思想—分類討論思想[M].科學出版社，2003.

[2]陸志昌，景山.初中數學解題思維方法大全[M].山西教育出版社，2015.