高考“概率與統計”題：九個靶點，一舉突破

■安徽省利辛高級中學

考試范圍與要求：1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,認識分布列刻畫隨機現象的重要性,會求某些取有限個值的離散型隨機變量的分布列。2.了解超幾何分布,并能進行簡單應用。3.了解條件概率的概念,了解兩個事件互相獨立的概念,理解n次獨立重復試驗模型及二項分布,并能解決一些簡單問題。4.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念,會求簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單問題。5.借助直觀直方圖認識正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義。6.了解回歸分析的思想、方法及其簡單應用。7.了解獨立性檢驗的思想、方法及其初步應用。

要點簡析：以知識點1,2,3,5 為背景的試題以選擇題或填空題為主。以知識點4為背景的試題常以解答題的形式出現,試題背景來源于社會實際,貼近生活,易于理解,體現了概率與統計知識與社會生活的密切聯系,展現了概率與統計學的魅力,滲透了數學建模等核心素養。以知識點6,7為背景的統計試題,三種題型均有可能出現,對回歸分析和獨立性檢驗的考查以解答題為主,命題素材新穎,特別關注應用與創新,突顯新課改精神。下面對本模塊的高考核心靶點進行例析與歸納。

高考靶點一 條件概率及其應用

例1(2016 年全國Ⅱ卷)某險種的基本保費為a(單位：元),繼續購買該險種的投保人稱為續保人,續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如表1：

表1

設該險種一續保人一年內出險次數與相應概率如表2：

表2

(1)求一續保人本年度的保費高于基本保費的概率;

(2)若一續保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率;

(3)求續保人本年度的平均保費與基本保費的比值。

解析：(1)設A表示事件“一續保人本年度的保費高于基本保費”,則事件A發生時一年內出險次數大于1,故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55。

(2)設B表示事件“一續保人本年度的保費比基本保費高出60%”,則事件B發生當且僅當一年內出險次數大于3,故P(B)=0.10+0.05=0.15。又P(AB)=P(B),故P(B|A)=。

(3)記續保人本年度的保費為X,則X的分布列如表3：

表3

E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a。因此,續保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23。

方法突破：1.設A、B是兩個事件,且P(A)＞0,稱P(B|A)=為在事件A發生條件下事件B發生的概率,其中P(B|A)=既是條件概率的定義,也是條件概率的公式。

2.條件概率的性質：①0≤P(B|A)≤1;②如果B和C是兩個互斥事件,那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);③若A、B相互獨立,則P(B|A)=P(B)。

3.條件概率的兩種求解方法：(1)定義法,先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求之;(2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數n(A),再求事件AB所包含的基本事件數n(AB),得P(B|A)=。

高考靶點二 相互獨立事件的概率及其應用

例2(2019 年沈陽市高三檢測)某商場舉行優惠促銷活動,顧客僅可以從以下兩種優惠方案中選擇一種。方案一：每滿200元減50元;方案二：每滿200元可抽獎一次,具體規則是依次從裝有3 個紅球、1 個白球的甲箱,裝有2 個紅球、2 個白球的乙箱,以及裝有1個紅球、3 個白球的丙箱中各隨機摸出1個球(注：所有小球僅顏色有區別),所得結果和享受的優惠如表4：

表4

(1)若兩個顧客都選擇方案二,各抽獎一次,求至少一個人獲得半價優惠的概率;

(2)若某顧客購物金額為320元,用所學概率知識比較哪一種方案更劃算。

解析：(1)設事件A為“顧客獲得半價優惠”,則P(A)=,所以兩個顧客各抽獎一次,至少一個人獲得半價優惠的概率P=。

(2)若該顧客選擇方案一,則付款金額為320-50=270(元)。若該顧客選擇方案二,記付款金額為X元,則X可取得值為160,224,256,320,P(X=160)=,P(X=224)==,P(X=256)=,P(X=320)=。

所以E(X)==240(元)。

因為270＞240,所以方案二更劃算。

方法突破：求相互獨立事件同時發生的概率的方法：(1)利用互相獨立事件的概率乘法公式直接求解;(2)正面計算較煩瑣或難以入手時,可從其對立事件入手,如本例第一問,由題意結合對立事件的概率公式求解。本題以商場舉行優惠促銷活動為背景考查了離散型隨機變量的數學期望的應用。

高考靶點三 獨立重復與二項分布

例3(2020 屆河北衡水第一次調研)生蠔即牡蠣,亞熱帶、熱帶沿海都適宜蠔的養殖,蠔乃軟體有殼、依附寄生的動物,咸淡水交界所產尤為肥美,因此,生蠔成為了一年四季不可或缺的美食。某飯店從某水產養殖場大量購進了一批生蠔,并隨機抽取了40只統計質量,得到的結果如圖1所示。(用區間中點值代表該組數據的平均值)

(1)若購進這批生蠔500 kg,試估計這批生蠔的數量;(結果四舍五入,保留整數)

(2)以頻率估計概率,若在本次購買的生蠔中隨機挑選4 只,記質量在[5,25)內的生蠔的只數為X,求X的分布列及數學期望。

解析：①先估算出生蠔的平均質量為28.5g,由此能估計出這批生蠔的數量。②任意挑選一只,質量在［5,25）內的概率p=,X的可能取值為0,1,2,3,4,X～,分別求出相應的概率,由此能求出X的分布列和數學期望。

(1)由圖1 中的數據可以估算生蠔的平均質量為：

(2)由圖1 中數據知,任意挑選一只,質量在[5,25)內的概率為,則由題意可知X～。X的可能取值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=;

所以X的分布列如表5：

表5

由X～,得E(X)=。

方法突破：解決二項分布問題的關鍵：(1)二項分布的判斷,判斷一個隨機變量是否服從二項分布,應判斷兩個方面,一是判斷是否為n次獨立重復試驗,二是判斷隨機變量是否為這n次獨立重復試驗中某事件發生的次數。(2)二項分布的期望與方差公式：若X～B(n,p),則P(X=k)=(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)。(3)特別地,若n=1,又稱隨機變量X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p)。

高考靶點四 超幾何分布

例4(2020年湖北省部分重點中學高三聯考)為了引導居民合理用電,國家決定實行合理的階梯電價,居民用電原則上以住宅為單位(一套住宅一戶),如表6：

表6

某市隨機抽取10個用戶同一個月的用電情況,如表7所示：

表7

(1)若規定第一階梯電價每度0.5元,第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元,第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元,試計算居民用電戶月用電410度時應交電費多少元。

(2)現要在這10 戶家庭中任意選取3戶,求取到第二階梯電量的用戶數的分布列與期望。

(3)以表中抽到的10個用戶作為樣本估計全市居民用電,現從全市中依次抽取10戶,若抽到k戶月用電量為第一階梯的可能性最大,求k的值。

解析：(1)由題意知,居民用電戶月用電410度時應交電費210×0.5+(400-210)×0.6+(410-400)×0.8=227(元)。

(2)設取到第二階梯電量的用戶數為ξ,可知第二階梯電量的用戶有3 戶,則ξ可取0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=。

故ξ的分布列如表8：

表8

所以E(ξ)=。

(3)由題意可知,從全市中抽取10戶,設其中月用電量為第一階梯的戶數為X,則X～(k=0,1,2,3,…,10)。

方法突破：解決超幾何分布的實際應用問題時,應關注：(1)定義：在含有M件次品的N件產品中,任取n件,其中恰有X件次品數,則事件{X=k}發生的概率為P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*稱分布列為超幾何分布列。如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列,則稱隨機變量X服從超幾何分布。(2)其特點：①對于服從該分布的隨機變量,其分布列可直接應用公式給出,如E(X)=,D(X)=,可作參考備之。②該分布描述的是不放回抽樣問題,隨機變量為抽到的某類個體的個數,隨機變量取值的概率實質上是古典概型。

高考靶點五 正態分布

例5(洛陽市2020學年上學期高三尖子生聯考)“過大年,吃水餃”是我國不少地方過春節的一大習俗。2019年春節前夕,A市某質量檢測部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃,檢測其某項質量指標值,所得頻率分布直方圖如圖2。

(1)求所抽取的100 包速凍水餃該項質量指標值的樣本平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)。

(2)(i)由頻率分布直方圖可以認為,速凍水餃的該項質量指標值Z服從正態分布N(μ,σ2),利用該正態分布,求Z落在(14.55,38.45]內的概率;(ii)將頻率視為概率,若某人從該市某超市購買了4 包這種品牌的速凍水餃,記這4 包速凍水餃中該項質量指標值位于(10,30]內的包數為X,求X的分布列和數學期望。

附：計算得所抽查的這100 包速凍水餃的該項質量指標值的標準差σ=≈11.95,若ξ～N(μ,σ2),則P(μ-σ＜ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ＜ξ≤μ+2σ)≈0.954 4。

解析：(1)所抽取的100包速凍水餃該項質量指標值的平均數為：

(2)(i)因為Z服從正態分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,所以P(14.55＜Z≤38.45)=P(26.5-11.95＜Z≤26.5+11.95)≈0.682 6,Z落在(14.55,38.45]內的概率是0.682 6。

(ii)根據題意得X～,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=。

故X的分布列如表9：

表9

則E(X)==2。

方法突破：解此類問題的關鍵是利用正態曲線的對稱性,把待求區間內的概率向已知區間內的概率轉化,解題時要充分結合圖形進行分析、求解,要注意數形結合思想及化歸思想的運用。(1)熟記P(μ-σ＜X≤μ+σ),P(μ-2σ＜X≤μ+2σ),P(μ-3σ＜X≤μ+3σ)的值。(2)充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1。(3)正態曲線關于直線x=μ對稱,從而在關于x=μ對稱的區間上概率相同。(4)P(X≤a)=1-P(X≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a)。

高考靶點六 變量的相關性與回歸分析

例6(昆明市2019屆高考模擬考試)改革開放以來,我國農村7 億多貧困人口擺脫貧困,貧困發生率由1978年的97.5%下降到2018年底的1.4%,創造了人類減貧史上的中國奇跡,為全球減貧事業貢獻了中國智慧和中國方案。“貧困發生率”是指低于貧困線的人口占全體人口的比例。2012 年至2018年我國貧困發生率的數據如表10：

表10

(1)從表中所給的7 個貧困發生率數據中任選2個,求至少有1個低于5%的概率;

(2)設年份代碼x=t-2 015,利用回歸方程,分析2012 年至2018 年貧困發生率的變化情況,并預測2019年貧困發生率。

解析：(1)所求概率P=。

(2)由題意可得表11：

表11

方法突破：(1)本模塊已成為高考命題的熱點之一,要求理解用回歸分析處理相關關系的數學方法,理解最小二乘法,了解回歸的基本思想方法及其簡單應用,充分表明新課程對統計思想的重視。(2)求回歸性方程時,關鍵是正確求其系數,由于計算量大,計算時需謹慎;數據分析后,關鍵是如何獲得與解釋結論;同時,應用過程就是正確構造數學模型,即數學建模。因此要不斷地提升同學們的數學核心素養。

高考靶點七 獨立性檢驗的基本思想、方法及其簡單應用

例7(大同市2020屆高三調研卷)某學校為了對教師教學水平和教師管理水平進行評價,從該校學生中選出300人進行統計,其中對教師教學水平給出好評的學生人數為總數的60%,對教師管理水平給出好評的學生人數為總數的75%,對教師教學水平和教師管理水平都給出好評的有120人。

(1)填寫下面對教師教學水平和教師管理水平評價的2×2列聯表(表12)：

表12

問：是否可以在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為對教師教學水平給出好評與對教師管理水平給出好評有關?

(2)若將頻率視為概率,有4名教師參與了此次評價,設教師教學水平和教師管理水平全為好評的教師人數為隨機變量X。

①求教師教學水平和教師管理水平全為好評的教師人數X的分布列(概率用數值作答);

②求X的數學期望和方差。

附：K2=,其中n=a+b+c+d。

表13

解析：(1)由題意可得對教師教學水平和教師管理水平評價的2×2列聯表：

表14

K2=≈16.667＞10.828。

故可以在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為對教師教學水平給出好評與對教師管理水平給出好評有關。

故X的分布列如表15：

表15

②由于X～,則E(X)=4×=,D(X)=。

方法突破：運用獨立性檢驗的思想考查兩個分類變量是否有關系是高考命題的熱點,其求解關鍵步驟為：根據樣本數據制成2×2列聯表;根據公式計算出k的值;比較k的值與臨界值的大小關系,作出統計推斷,確定給出這種判斷的可靠程度。

高考靶點八 概率、統計與其他知識的綜合問題

例8(武漢市2020屆高三質量檢測)武漢又稱江城,是湖北省省會城市,被譽為中部地區中心城市,它不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化,更有著眾多旅游景點,每年來武漢參觀旅游的人數不勝數,其中黃鶴樓與東湖被稱為兩張名片。為合理配置旅游資源,現對已游覽黃鶴樓景點的游客進行隨機問卷調查,若不游玩東湖記1分,若繼續游玩東湖記2 分,每位游客選擇是否游覽東湖景點的概率均為,游客之間選擇意愿相互獨立。

(1)從游客中隨機抽取3人,記總得分為隨機變量X,求X的分布列與數學期望。

(2)(i)若從游客中隨機抽取m人,記總得分恰為m的概率為Am,求數列{Am}的前10項和;

(ii)在對所有游客進行隨機問卷調查過程中,記已調查過的累計得分恰為n的概率為Bn,探討Bn與Bn-1之間的關系,并求數列{Bn}的通項公式。

解析：(1)X的可能取值為3,4,5,6,P(X=3)=,P(x=4)=,P(X=5)=,P(X=6)=。

故X的分布列如表16：

表16

(2)(i)總得分恰為m的概率Am=,數列{Am}是首項為,公比為的等比數列,前10 項和S10==。

(ii)已調查過的累計得分恰為n的概率為Bn,得不到n分的情況只有先得(n-1)分,再得2分,概率為,故1-,即Bn=。

故Bn=。

方法突破：解決此類綜合題的關鍵是：(1)認真審題,合理、準確地建立概率、統計模型,判斷隨機變量的所有可能取值,根據概率分布類型,計算各隨機變量取值時的概率、列出分布列;(2)根據知識間的綜合類型找出知識交匯處的突破點,從而把模塊間的綜合轉化為模塊知識內的綜合,然后在某知識體系內進行求解。

高考靶點九 利用概率與統計知識解釋方案的合理性

例9(惠州市2020 屆高三第一次調研)某種大型醫療檢查機器生產商,對一次性購買2 臺機器的客戶,推出兩種超過質保期后兩年內的延保維修優惠方案：

方案一：交納延保金7 000元,在延保的兩年內可免費維修2次,超過2次每次收取維修費2 000元;

方案二：交納延保金10 000 元,在延保的兩年內可免費維修4次,超過4次每次收取維修費1 000元。

某醫院準備一次性購買2 臺這種機器,現需決策在購買機器時應購買哪種延保方案,為此搜集并整理了50 臺這種機器超過質保期后延保兩年內維修的次數,如表17：

表17

以這50臺機器維修次數的頻率代替一臺機器維修次數發生的概率,記X表示這兩臺機器超過質保期后延保的兩年內共需維修的次數。

(1)求X的分布列;

(2)以所需延保金與維修費用的和的期望值為決策依據,醫院選擇哪種延保方案更合算?

解析：(1)X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6。

故X的分布列如表18：

表18

(2)選擇延保方案一,所需延保金與維修費用的和Y1(單位：元)的分布列如表19：

表19

選擇延保方案二,所需延保金與維修費用的和Y2(單位：元)的分布列如表20：

表20

因為E(Y1)＞E(Y2),所以該醫院選擇延保方案二更合算。

方法突破：解決此類問題的關鍵是：以實際生產、生活等問題中的環保、民生、科技、旅游或經濟效益或方案的合理性(優化問題)等為背景,準確建立概率、函數、數列等數學模型,然后根據整合的數據,并利用不同的特征值對研究對象給出定量計算或合理定性判斷。