表貼式永磁同步電機空載磁場的解析計算

吳 鑫，周揚忠,莊恒泉，陳 垚

(福州大學 福建省新能源發電與電能變換重點實驗室，福州 350108)

0 引 言

永磁同步電機利用永磁體代替勵磁繞組，不僅減小了線圈銅耗，還減小了電機的體積和質量，使得電機的功率密度和轉矩密度大為提升，并且永磁同步電機結構簡單，運行可靠性高，維護成本低，已經廣泛應用于人類生產生活[1-3]。對于不同的應用場合，需要對永磁同步電機的磁場和諸如空載磁鏈、反電動勢、齒槽轉矩、電磁轉矩以及電感等電磁性能進行準確的計算，從而設計出滿足性能需求的電機，因此研究永磁同步電機的設計具有重要的實際意義。

目前，永磁同步電機的設計方法主要是有限元法和解析法。有限元法[4-5]是借助有限元仿真軟件對電機磁場等參數進行計算。盡管有限元法有較高的精度，但是其計算復雜，需要花費大量的時間成本，并且不能直觀地顯示出電機性能與尺寸參數的關系，因此對于需要大量重復設計的電機初期設計環節以及電機的性能優化設計環節，有限元法具有較大的局限性。

為了克服有限元法的不足，學者提出了多種解析法，包括等效磁路法[6-7]、子域模型法[8-9]以及相對磁導函數法[10-16]。文獻[6-7]采用等效磁路法對永磁同步電機的磁場進行分析，解析計算結果與有限元仿真結果相近。雖然等效磁路法可考慮鐵心的飽和效應，但是其存在迭代計算復雜以及精度不高等問題。文獻[8-9]采用子域模型法分別對整數槽繞組和分數槽繞組的表貼式永磁同步電機(以下簡稱SMPMSM)的磁場分布進行解析計算。子域模型法具有最高的精度，但是其通用性差，對于不同的電機需要建立不同的子域模型。文獻[10]采用保角變換法推導了一種相對磁導函數，與無槽電機的氣隙磁密相乘，可得到開槽下電機的氣隙磁密分布。該相對磁導函數有明確的解析表達式，通用性強，但其沒有考慮切向磁導對氣隙磁密的影響，因此僅能計算氣隙磁密的徑向分量。文獻[11]利用復變量的保角變換法提出了一種相對復磁導函數，其能計及定子開槽對氣隙磁場切向分量的影響，因此該相對復磁導函數可準確地計算出表貼式永磁電機氣隙磁密的徑向和切向分量。基于該相對復磁導函數，文獻[12-13]根據麥克斯韋應力張量法分別對表貼式永磁電機的齒槽轉矩和電磁轉矩進行預測。此外，文獻[14-16]均是采用保角變換法求取相對復磁導函數。與相對磁導函數對比，相對復磁導函數具有更高的計算精度，但是其存在求解過程復雜、迭代計算時間長的問題。

相對其他解析法，相對磁導函數法通用性高，模型簡單，十分適合于電機的快速設計。但是在作者所了解的文獻中，相對磁導函數法都是采用無限深的單槽模型，沒有考慮槽與槽之間的影響和槽深度的影響，并且相對復磁導函數大多是通過保角變換得到，求解過程復雜。據此，本文提出了一種基于子域模型法的相對復磁導函數，對SMPMSM的空載磁場進行計算。相比于保角變換獲得的相對復磁導函數，本文提出的相對復磁導函數考慮了槽與槽之間以及槽深度的影響，并且不需要進行迭代計算，求解過程簡單，具有較高的計算速度和準確度，因此適用于SMPMSM的設計以及性能優化等應用場合，此外還可用于對電機的電磁性能進行計算，例如空載磁鏈和反電動勢等，以建立電機的數學模型以及相應的控制策略。

1 電機拓撲結構

本文以4極內轉子SMPMSM為研究對象，來驗證所提出的相對復磁導函數的準確性。SMPMSM的橫截面如圖1所示。電機有兩對永磁體，沿著徑向方向交替充磁；電機為定子單邊開槽的氣隙結構，共有12個定子槽。

圖1 SMPMSM橫截面圖

圖1中:θ0為轉子位置角；Rr為轉子外表面半徑；Rm為永磁體外表面半徑；Rs為定子內表面半徑；Rsi為定子槽底半徑；Rso為定子外表面半徑；βs為定子槽開口寬度；αp為極弧系數；p為SMPMSM的極對數。

對于SMPMSM，其氣隙磁密可通過將無槽電機的磁密與相對復磁導函數相結合得到。根據文獻[12]可得定子開槽下SMPMSM的氣隙磁密徑向以及切向分量的表達式：

Br_slotted=Br_slotlessλr+Bθ_slotlessλθ

(1)

Bθ_slotted=Bθ_slotlessλr-Br_slotlessλθ

(2)

式中：Br_slotted和Bθ_slotless分別表示無槽電機氣隙磁密的徑向和切向分量；λr和λθ分別表示相對復磁導函數的實部和虛部分量。

對于永磁體徑向磁化的SMPMSM，定子無槽下的電機氣隙磁密的徑向和切向分量的解析表達式由文獻[17]直接給出：

(3)

(4)

式中：Brem為永磁體剩磁；μr為永磁體相對磁導率。

結合電機的尺寸參數，可得θ0=0時無槽下SMPMSM氣隙磁密的徑向和切向分量，如圖2所示。

(a) 徑向分量

(b) 切向分量

2 相對復磁導函數

一般地，對于相對復磁導函數的求取采用的是保角變換的方法，求解過程需要進行迭代計算，并且均是采用槽無限深的單槽模型，因此無法計及槽與槽之間以及槽深度的影響。本文提出了一種基于子域模型法的相對復磁導函數，用于計算定子的開槽效應。

所提出的解析模型是在二維極坐標系(r,θ)下進行計算的。為了便于分析，對電機做出以下假設：

1) 定轉子鐵心的磁導率為無窮大，忽略飽和效應；

2) 電機的軸向長度為無限長，不計端部效應；

3) 電機各個邊界均是沿著切向或者徑向方向。

定子單邊開槽的氣隙結構橫截面示意圖如圖3所示。

圖3 定子開槽的氣隙結構

圖3中，Rr1為對永磁體進行等效處理后的轉子鐵心外表面半徑。

(5)

根據子域模型法，將其劃分成2個子域，分別為氣隙子域和定子槽子域，如圖4所示。子域1代表

圖4 子域劃分以及定子槽空間位置定義

氣隙子域，子域2i代表第i個定子槽子域。在解析計算過程中，需要確定每一個槽的空間位置，因此在二維極坐標系中對所有槽的位置進行定義，則每個定子槽的中心所處的空間位置：

(6)

式中：θi為第i個定子槽中心線位置；Ns為定子槽數。

由于在計算定子開槽效應時，不考慮永磁體以及電流密度分布，因此根據電磁場理論[18]，電機的磁場可用標量磁位ψ進行表示：

2ψ=0

(7)

根據式(7)，本文以標量磁位作為求解變量對2個子域求解拉普拉斯方程，它們滿足的拉普拉斯方程分別如下：

(8)

(9)

式中：ψ1為氣隙子域的標量磁位；ψ2i為定子槽子域的標量磁位。

為了計算定子的開槽效應，本文將轉子鐵心與氣隙交界面的標量磁位設為1，定子鐵心與氣隙交界面的標量磁位設為0，因此可得到各個子域與鐵心間的邊界條件：

ψ1(Rr,θ)=1θ∈[0,2π]

(10)

(11)

(12)

根據上述的邊界條件，采用分離變量法可得到各個子域標量磁位的通解表達式：

(13)

式中：A0，A1s和A2s為氣隙子域的待定系數；s為氣隙子域中磁場的諧波次數。

(14)

式中：Bit為定子槽子域的待定系數；t為定子槽子域中磁場的諧波次數。

根據各個子域間交界面上的連續條件，即在相鄰子域間的交界面上滿足標量磁位連續以及徑向磁密相等，建立起子域間的聯系，從而求取式(13)和式(14)中的待定系數。

對于氣隙子域與定子槽子域交界面，其滿足的連續條件可表示：

(15)

(16)

根據式(15)，可得：

(17)

(18)

(19)

式中：

(20)

(21)

(22)

根據式(16)，可得：

(23)

綜上所述，將式(17)～式(19)、式(23)轉化成矩陣的形式，通過數值分析軟件進行求解，即可確定各個子域中的待定系數，從而可得到各個子域標量磁位的分布。此外，標量磁位與磁場強度的關系可表示：

(24)

(25)

式中：Hr為磁場強度徑向分量；Hθ為磁場強度的切向分量。

由前面的分析可知，對于定子單邊開槽的氣隙結構，其磁場并不是由永磁體勵磁或者電樞反應產生的，而是由定轉子鐵心間標量磁位的差值得到，可見其磁場的分布反映了定子的開槽效應，因此定子開槽對氣隙磁場的影響可由氣隙子域的磁場分布得到。此外，本文提出的相對復磁導函數是采用子域模型法對整個定子開槽的氣隙結構進行求解得到的，不僅計及了槽與槽之間的影響，還將槽深的影響考慮在內。根據式(13)、式(24)以及式(25)，可得氣隙子域的磁場分布：

[A1scos(sθ)+A2ssin(sθ)]

(26)

(27)

對于相對復磁導函數，它的實部分量λr表示定子開槽對氣隙磁場徑向分量的影響，虛部分量λθ表示定子開槽對氣隙磁場切向分量的影響，因此λr和λθ分別與氣隙子域磁場的徑向和切向分量H1r和H1θ相對應。并且根據電機的拓撲結構可知，當位于定子齒中心處時，如θ=0處，相對復磁導函數的實部分量λr應等于1。因此對H1r和H1θ進行歸一化處理，并且考慮相對復磁導函數與氣隙子域磁場的極性，可得到定子開槽下的氣隙相對復磁導函數實部和虛部的解析表達式：

(28)

(29)

式中：H1r|θ=0為定子齒中心處氣隙子域磁場強度。

3 解析結果以及有限元驗證

為了驗證本文所推出的相對復磁導函數的準確性，對SMPMSM進行有限元仿真驗證。本文所研究的4極SMPMSM的主要參數如表1所示。采用所提出的相對復磁導函數對電機的氣隙相對磁導以及氣隙磁密進行解析計算，并且將計算得到的結果與有限元仿真得到的結果進行比較。

表1 SMPMSM主要參數

3.1 氣隙相對磁導

根據式(28)和式(29)，對氣隙中心圓周處的相對復磁導函數的實部和虛部分量進行解析計算，計算得到的結果與有限元仿真結果進行比較，如圖5所示。由比較結果可知，兩者吻合很好，驗證了本文基于子域模型法的相對復磁導函數的準確性。

(a) 實部分量

(b) 虛部分量

3.2 氣隙磁密

根據式(1)和式(2)，將氣隙中心圓周處的氣隙磁密的徑向和切向分量的解析計算結果與有限元仿真結果進行對比，如圖6所示。從比較結果可以看出，解析計算結果與有限元貼合很好。因此，基于子域模型法的相對復磁導函數適合于SMPMSM氣隙磁密的解析計算，具有較高的精度。

(a) 徑向分量

(b) 切向分量

此外，基于子域模型法的相對復磁導函數可對槽深的影響進行考慮，因此分別對槽深為1mm和11mm的電機氣隙磁密進行解析計算，并和有限元仿真結果相比較，如圖7所示。由圖7可知，本文的解析法可將槽深的影響考慮在內，而一般的相對復磁導函數無法計及槽深對氣隙磁密的影響。

(a) 徑向分量

(b) 切向分量

4 結 語

本文提出了一種相對復磁導函數，用于計算定子開槽對磁場的影響。基于子域模型法理論，對定子開槽的氣隙結構的磁場進行解析計算，通過歸一化處理得到相對復磁導函數。該相對復磁導函數不僅考慮了槽與槽之間的影響，還計及了槽深度的影響。基于所推導的解析法，對4極SMPMSM的氣隙相對磁導和空載氣隙磁密進行解析計算并且與有限元結果進行比較，驗證了所提出的相對復磁導函數的準確性。解析法與有限元法相比具有較高的計算精度以及較快的計算速度，因此它十分適合于尺寸參數需要大量調整的電機初期設計環節以及性能優化環節，能夠節省大量的時間成本。此外，它可以代替傳統的實驗測量法，方便快捷地獲取電機的相關參數并用于電機的控制策略中，以降低參數的測量成本。