2019年東京大學(xué)入學(xué)考試理科數(shù)學(xué)題目與解析

董心君

(東南大學(xué)交通學(xué)院 211189)

1 試題與解析

東京大學(xué)的自主招生考試起源于1961年，除了1969年年初由于“とうだいふんそう” (東京大學(xué)紛爭)事件取消，至今已經(jīng)是第58年.考試分為文理科，理科時間兩個半小時，一共六道題，考試范圍涉及不定積分、函數(shù)、立體幾何、復(fù)數(shù)平面、線性代數(shù)等內(nèi)容.本文翻譯并解析了2019年的理科數(shù)學(xué)試題.

1.求定積分

解：如圖1，設(shè)AQ長x，DR長y，

圖1

S△DPR+S四邊形BCRP

3.空間坐標內(nèi)有5點A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(-2，0，0)，D(0，-2，0)，E(0，0，-2)，將過線段AB中點M、線段AD中點N，且與直線AE平行的平面設(shè)為α.設(shè)點P(p，0，2)，其中2

(1)在同一平面上畫出八面體PABCDE被y=0所截圖形與α被y=0所截圖形.

(2)求出八面體PABCDE被α所截切面為八邊形時p的范圍.

(3)若實數(shù)p在第(2)問的所求范圍內(nèi)，在由八面體PABCDE被α所截的平面內(nèi)，點(x，y，z)在y≥0、z≥0的范圍內(nèi)移動，求坐標系內(nèi)的點(y，z)的移動范圍的面積.

得-2a-2c=0,

令a=1，得α：x-z-1=0，

其被y=0所截部分即為直線z=x-1.

八面體PABCDE可分為四棱錐P-ABCD與四棱錐E-ABCD，點P、E、A、C都在平面y=0上，因此八面體PABCDE被y=0所截部分為四邊形AECP.

如圖2，當(dāng)2

圖2

(2)不妨先討論八面體PABCDE的 12條棱與α的交點個數(shù).

當(dāng)2

當(dāng)p=3時，棱邊PA、PB、PC、PD與α交于P點，不合題意.

當(dāng)3

綜上，當(dāng)3

(3)求y≥0、z≥0的部分，考慮平面α與四面體P-ABC的截面即可，

由對稱性可知，線段PD與α交點坐標

圖3

4.n為大于1的整數(shù)

(1)求n2+1與5n2+9的最大公約數(shù)dn.

(2)證明(n2+1)(5n2+9)不是整數(shù)的平方.

解：(1)n=1時，d1=2；n=2時，d2=1.

若n為偶數(shù)，顯然n2+1與4互質(zhì)，dn為1.

若n為奇數(shù)，不妨設(shè)n=2k+1，k≥1，

n2+1=2(2k2+2k+1)，2k2+2k+1為奇數(shù),

此時n2+1與4的最大公約數(shù)為2.

(2)先證明一個命題：給定兩個互質(zhì)的正整數(shù)(均大于1)，則它們的乘積為完全平方數(shù)的充要條件是這兩個數(shù)都是完全平方數(shù).證明如下：

必要性：由于兩個數(shù)互質(zhì)，它們必定沒有相同的質(zhì)因子.考慮……