一類定值問題在圓錐曲線中的推廣

何重飛

(廣州市鐵一中學 510600)

文[1]將一些特殊平面圖形或空間幾何體的定值性質的一系列研究([2]～[4])結論推廣到三角形、四邊形、正多邊形、四面體的“重心圓(或重心球)”，即

命題1[1]以三角形(平面四邊形、平面正多邊形、四面體)的重心為圓(球)心的任意圓周(球面)上的點到三角形(平面四邊形、平面正多邊形、四面體)各頂點的距離的平方和為定值.

上述命題的證明筆者采用純幾何法，這并未反映結論成立的實質條件，難于推廣. 本文作者從另一個角度，引入?yún)?shù)，建立適當坐標系，將結論進一步推廣到圓錐曲線中，得到更一般情形下的定值性質.

定理1設G為平面(或空間)有限點集Ω={A1,A2,…,An}的重心，則以G為中心的橢圓上的任意一點到A1,A2,…,An距離的平方和與該點到橢圓兩焦點距離的乘積的n倍之和為定值.

|PAi|2=(acosθ-xi)2+(bsinθ-yi)2

且由橢圓焦半徑公式知

|PF1|·|PF2|=(a+ccosθ)(a-ccosθ)

=a2-c2cos2θ=a2-a2cos2θ+b2cos2θ，

當A1,A2,…,An是空間內給定的n個點時，易知結論依然成立，證明與平面情形類似，在此不再累述.

當橢圓退化成圓，即當a=b=|PF1|=|PF2|=r時，則有

推論1設G為平面(或空間)有限點集Ω={A1,A2,…,An}的重心，則以G為中心，r為半徑的圓上的任意一點到A1,A2,…,An距離的平方和為定值.

把圓當成橢圓的退化形式時，

則有a=b=|PF1|=|PF2|=r，

由三角形(平面四邊形、正多邊形，四面體)重心的性質及推論1即可推得命題1[1].

定理2設G為平面(或空間)有限點集Ω={A1,A2,…,An}的重心，則以G為中心的雙曲線上的任意一點到A1,A2,…,An距離的平方和與該點到雙曲線兩焦點距離的乘積的n倍之差為定值.

且由雙曲線焦半徑公式知

|PF1|·|PF2|=|csecθ+a||csecθ-a|

=c2sec2θ-a2=a2sec2θ+b2sec2θ-a2，

當A1,A2,…,An是空間內給定的n個點時，結論也成立……