基于漢默斯里序列抽樣的姿控系統隨機穩定性評估*

劉曉東 張 玉,2 高 博 杜立夫

1.北京航天自動控制研究所，北京 100854 2.宇航智能控制技術國家級重點實驗室，北京 100854

為了克服傳統魯棒控制系統設計方法在工程實際應用中存在的缺陷，在20世紀80年代末、90年代初，美國普林斯頓大學的Stengel等提出了線性時不變控制系統隨機魯棒性的概念[1-3]。通過對控制系統特征值的蒙特卡洛估計獲得其隨機特征根分布，用標量的不確定性概率來表述隨機魯棒穩定性，并用不穩定概率的置信區間表述蒙特卡洛估計的計算收斂性問題。這種基于隨機特征根分布概念的隨機魯棒性分析方法具有較為廣泛的適應性，不僅適合于常見的高斯型參數不確定性系統，也適合于非高斯型且有界的參數不確定性系統[4]。

在研究飛行器姿態控制系統的隨機魯棒性能分析時，通常采用蒙特卡洛估計來量化飛行器姿態控制系統的魯棒性能[5-7]。實際上，飛行器姿態控制系統的隨機魯棒性能分析具體可以分為2個方面：1)控制律設計階段的隨機魯棒性能分析，目的是采用定量概率形式描述閉環系統統計意義上的穩定性(如判斷所有特征根是否都在s平面左半平面)以及穩定裕度(幅值裕度和相位裕度)等；2)控制系統仿真驗證階段的隨機魯棒性能分析，目的是采用定量概率形式評估系統統計意義上的性能指標(如有界穩定性、調節時間、超調量、跟蹤精度和約束條件是否被滿足等)。

蒙特卡洛抽樣(Monte-Carlo sampling，MCS)是一種隨機性抽樣方法，其關鍵是產生符合輸入狀態分布的隨機數，其缺點在于計算收斂所需的樣本數目多，導致計算量大，計算負擔重。為了改善這一問題，提出了利用“充滿空間設計”原則的現代試驗方法，此類方法能夠確保樣本點充滿整個設計空間，并且最大限度地反映設計空間的特征，進而減小樣本數目，提高計算效率。目前常見的“充滿空間設計”的抽樣方法包括[8]：1)均勻抽樣(uniform sampling，US)，一種只考慮樣本點在設計空間內均勻散布的抽樣方法；2)拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling，LHS)，由McKay于1979年首次提出，采用一種受約束的抽樣方法來安排樣本點；3)漢默斯里序列抽樣(Hammersley sequence sampling，HSS)是以漢默斯里序列點為基礎發展出來的一種抽樣方法，采用一種低距、超均勻分布的確定性抽樣方法來安排樣本點。文獻[9-11]詳細分析了HSS抽樣方法相比MCS和LHS抽樣方法的優勢，其主要體現在多維抽樣空間的均勻分布性以及收斂的快速性方面。為了克服傳統頻域設計中穩定性評估原則的保守性，本文將對飛行器姿態控制系統開展隨機穩定性評估研究，并將HSS抽樣方法引入其中以代替傳統MCS抽樣方法，采用定量概率形式描述控制系統統計意義上的幅值裕度和相位裕度，即所謂的控制系統隨機穩定裕度評估。

1 問題描述

1.1 傳統抽樣方法

以二維空間為例，圖1(a)～(c)分別展現了MCS、US以及LHS的樣本二維分布，抽樣數取為100。由此，可以較清晰地展現出3種傳統抽樣方法在二維空間的樣本分布情況。

圖1 三種抽樣方法的樣本分布二維圖

1.2 基本HSS抽樣方法

Hammersley序列生成算法的基本思想是[9]：對于任意一個整數n，若表達為各個位數的組合n=nmnm-1…n2n1n0，則它可以表示為基于一個基數R的形式：

n=n0+n1R+n2R2+…+nmRm

(1)

式中，m=[logRn]=[lnn/lnR]，中括號表示取整數部分。然后，通過顛倒位數的順序，基于基數R的倒數(稱為逆基數)可以在區間[0 1]內構造唯一的小數，該方法可表示為：

φR(n)=n0n1n2…nm=n0R-1+

n1R-2+…+nmR-m-1

(2)

于是，N個k維Hammersley序列點xk(n)可以構造為：

(3)

xk(n)=1-zk(n),n=1,2,…,N

(4)

其中，R1,R2,…,Rk-1表示前k-1個自然素數。基于如上構造方法，選取抽樣數目為100，圖2展示了采用HSS抽樣的樣本分布二維圖。

圖2 HSS抽樣的樣本分布二維圖

由圖1～2可以看出，在指定抽樣數目的情況下，US、LHS和HSS抽樣3種方法都可以實現樣本在整個二維單位空間的分布，然而采用HSS方法時樣本分布更加均勻、空間充滿特性更好，直觀體現出其優勢所在。相比之下，MCS樣本的局部聚集性較高，若要實現更好的空間填充性，則需要更多的抽樣數目。

1.3 歸一化HSS抽樣方法

因為按照傳統漢默斯里序列的生成準則，其生成的樣本均勻分布在單位超立方體內，即每一維變量的值均在[0 1]區間內。然而，飛行器各個不確定參數的變化區間并非一定在[0 1]區間內，且不盡相同。因此，在隨機魯棒性能分析之前，需要首先解決多維空間指定區間的漢默斯里序列生成問題，即需要對傳統漢默斯里序列的生成準則進行適應性處理。

假設某一維不確定參數的變化區間為[xminxmax]，利用傳統漢默斯里序列準則生成的樣本值為x(x∈[0 1])，則將x映射到[xminxmax]區間的映射法則如下：

x′=xmin+(xmax-xmin)x

(5)

2 基于HSS抽樣的隨機穩定性評估方法

頻域分析法可根據系統傳遞函數得到系統相應的頻率特性，該頻率特性具有較明確的物理意義，并可作為分析控制系統性能的依據。當控制系統階數較高時，頻域分析法避免了直接求解高階微分方程帶來的困難，具有更優越的實用性和方便性，故而在實際設計中得到廣泛的應用。在頻域設計的指標評估體系中，穩定裕度是衡量閉環系統穩定程度的重要指標，包括幅值裕度和相位裕度。

對于飛行器姿態控制系統的傳統設計而言，在系統各種不確定性的極限偏差組合狀態下，要求均滿足幅值裕度和相位裕度的指標要求，這就給姿態控制系統的設計帶來了保守性。因此，將隨機魯棒分析的理念引入到飛行器姿控系統頻域設計的穩定裕度評估過程。

下面首先構造隨機幅值裕度分析和隨機相位裕度分析的概念，定義如下。

隨機幅值裕度分析：在系統參數隨機變化的情況下，應用統計概率對開環系統可接受的幅值裕度進行描述。

隨機相位裕度分析：在系統參數隨機變化的情況下，應用統計概率對開環系統可接受的相位裕度進行描述。

考慮隨機采樣，通過計算樣本頻率的方法來計算開環系統可接受幅值/相位裕度的概率，即：

(6)

其中，A(v)是開環系統的幅值或相位裕度；v是不確定參數的隨機向量；PA是開環系統穩定裕度可接受的概率；Am表示可接受的幅值或相位裕度最小值；M(·)是在N次估計當中幅值或相位裕度可接受的數目。

通過隨機幅值裕度和隨機相位裕度分析，可以獲得開環系統滿足設計要求的統計意義上的描述。以此作為設計指標，可以從一定程度上提高設計的靈活性，避免由于傳統穩定裕度評估方法帶來的保守性。同時，在對系統不確定參數偏差進行隨機抽樣時，采用歸一化的HSS抽樣算法進行概率估計，以提高穩定性評估過程的效率。

考慮飛行器姿態控制系統的對象特性和控制器環節，采用基于歸一化的HSS抽樣算法的隨機幅值/相位裕度的概率評估，其概率估計公式如下：

(7)

3 仿真結果

本部分將對比采用傳統MCS抽樣方法以及HSS抽樣方法下某飛行器姿態控制系統的穩定性評估情況，并分析本文方法的優勢。

選取某飛行特征點用作后續分析，分別采用2種抽樣方法對該特征點處的飛行器姿態控制系統進行穩定性評估，而且為了更加清楚地對比2種方法的區別，傳統MCS方法的抽樣數目選取為20000，而HSS方法的抽樣數目僅為10000。下面分別從隨機幅值裕度和隨機相位裕度2個方面分析統計結果。

首先，圖3～4展現了2種抽樣方法下飛行器姿控系統相位裕度的統計結果，包括隨機分布圖、分布直方圖、概率分布曲線和概率密度曲線，用于直觀了解相位裕度的分布情況。

同樣的，由圖3～4可以看出：1)兩種評估方案下概率統計曲線的大致趨勢是相同的；2)當采用本文評估方案時，雖然樣本的數目要少一半，但其相位裕度的分布要更廣一些，這也從側面反映出該評估方案的樣本分布要更廣，即樣本的空間充滿特性更好。同時，假設可接受的相位裕度至少為30°，那么在HSS抽樣方法下可接受相位裕度的概率為M(Pm≥30°)/10000×100%，其中M(Pm≥30°)表示10000次抽樣結果中相位裕度大于30°的數目。

圖3 采用MCS抽樣方案的相位裕度統計結果

圖4 采用HSS抽樣方案的相位裕度統計結果

然后，對比2種抽樣方案下飛行器姿控系統幅值裕度的統計結果，包括隨機分布圖、分布直方圖、概率分布曲線和概率密度曲線，可以得出與相位裕度統計分析時相同的結論。同時，假設可接受的幅值裕度至少為4dB，那么在HSS抽樣方法下可接受幅值裕度的概率為M(Am≥4dB)/10000×100%，其中M(Am≥4dB)表示10000次抽樣結果中幅值裕度大于4dB的數目。

4 結論

提出了一種基于漢默斯里序列抽樣的隨機穩定性評估方法，并將其應用于飛行器姿態控制系統的設計過程。相比基于蒙特卡洛抽樣的傳統評估方法，采用漢默斯里序列抽樣的分析與評估方法，不僅可以從一定程度上減小計算機仿真次數，節省仿真評估時間，而且還可以提高收斂精度。計算機仿真結果表明，在采樣數目較少的情況下，本文評估方案下樣本分布要更廣、樣本的空間充滿特性更好。HSS抽樣方法可進一步應用于姿控系統的仿真驗證階段，關于此部分的研究將在后續工作中給出。