考慮延期成本承諾交貨時間與產能擴張決策

謝祥添

（廣東金融學院 科技金融重點實驗室，廣東 廣州 510521）

1 引言

Stalk J G[1]提出時間將成為企業獲得競爭優勢的下一個資源。當前，時間已經與價格一樣成為企業在市場競爭中獲得優勢的因素之一。So K C 等[2]認為企業以時間作為武器吸引客戶有三種策略：（1）快速服務；（2）提前預約；（3）承諾交貨時間。其中，訂單式生產企業多采用第三種策略。相對另外兩種策略，承諾一個統一的交貨時間較為有效[3]。由于受內（如設備故障、人員流動等）外（如需求、原材料供應等）多種不確定因素的影響，企業難以實現100%按時交貨[4]。為此，部分企業承諾若不能按時交貨，則給予一定的賠償。如EMS承諾因自身原因造成郵件時限延誤的，可退還已收取的郵件資費。Slotnick S A等[5]提及飛機零部件供應商延期交貨賠償幾百萬美元。Ho T H 等[6]提出企業既能承諾一個較短的交貨時間，又能保證交貨時間的可靠性（即按時交貨的概率，部分文獻稱之為服務水平），就能吸引對時間敏感的客戶。那么，承諾多長的交貨時間一方面能吸引客戶，另一方面又不會導致延期交貨頻繁從而付出過多的延期成本？

因此，考慮延期成本與承諾交貨時間的決策成為學者研究的焦點。較早對此研究的是Seidmann A等[7]，他們建立以時間總成本（包括交貨時間成本、延期成本和提前交貨成本）為目標函數，以承諾交貨時間為決策變量的模型，證明了實際交貨時間服從任意隨機分布，存在最優承諾交貨時間使目標函數最小化。隨后，Grout J R 等[4]考慮延期成本和提前交貨成本研究供應鏈交貨時間問題，證明了100%按時交貨是奢望；同時，他們還提出了實際交貨時間分別服從均勻分布、指數分布和三角分布時交貨時間成本最小化的條件。Hill A V 等[8]考慮延期成本，建立了以企業利潤為目標函數，以承諾交貨時間為決策變量的模型，得到了最優承諾交貨時間數學表達式。該模型權衡了承諾交貨時間和延期成本的關系。最近部分學者研究了多階段生產的交貨時間問題。如Atan Z 等[9]研究了訂單驅動的多階段裝配生產系統交貨時間決策問題，他們建立了以訂單總成本（包括提前交貨成本和延期成本）為目標函數，以每一階段交貨時間為決策變量的模型，推導出多階段庫存成本和延期成本遞推方程，提出了一個求解多階段交貨時間的迭代啟發式算法。Jansen S 等[10]研究了由多個并行子組件階段和一個最終組裝階段組成的按訂單生產的交貨時間問題，他們考慮每個階段都有一個隨機的提前期，以及最終裝配階段延期產生罰款，建立以每個階段交貨時間為決策變量，以總期望成本最小化為目標函數的模型，通過對模型的分析，得出了最優交貨時間滿足報童過程。在我國，周穎[11]基于客戶價值，考慮延期成本，建立了客戶選擇行為的承諾交貨時間決策模型，證明了模型存在最優承諾交貨時間使企業利潤達到最大化和最優承諾交貨時間長于顧客期望的交貨時間。倪衛濤等[12]考慮提前交貨產生倉儲成本和延期交貨支付罰金，建立以訂單生產式企業單品收益為目標函數，以承諾交貨時間為決策變量的模型，證明了模型存在最優承諾交貨時間使企業邊際收益達到最大化。

以上主要從時間成本研究交貨時間的決策。然而，在需求一定的前提下，交貨時間隨著產能的增加而減少，隨著產能的減少而增加。所以有部分學者研究了承諾交貨時間和產能聯合決策問題。如，Nguyen T H 等[13]提出企業不僅要考慮客戶如何對交貨時間保證作出反應，還要考慮其是否有足夠的產能履行承諾。因此，他們研究了企業利潤與承諾交貨時間和產能的關系，得出了需求時間變化下最優的承諾交貨時間和產能。謝祥添等[14]考慮需求具有數量和時間兩方面的不確定性，采用作業成本法建立以承諾交貨時間和產能為決策變量，以期望利潤為目標函數的模型，給出了最優承諾交貨時間和最優產能滿足的方程組，該研究表明結合生產過程和承諾交貨時間可靠性有助于提高產能的利用率和交貨時間的準確性。Albana A S 等[15]考慮運營成本是時間敏感，分別建立了交貨時間決策模型、交貨時間與價格決策模型和交貨時間、價格和產能決策模型，給出了各個模型的最優策略。以上文獻通過產能和交貨時間聯合決策得到了可靠性較高的交貨時間，因而忽略了延期成本，但是隨著時間競爭的加劇，客戶對準時交貨的重視，企業紛紛提出若不能按時交貨，承諾支付一定的賠償。因此，本文考慮延期交貨尾概率分布為指數分布，構建了包含延期成本的承諾交貨時間和產能決策模型。

本文的貢獻在于考慮延期成本，以及產能與交貨時間的關系，建立以承諾交貨時間和產能為決策變量的模型，得到了聯合最優的承諾交貨時間和產能擴張。以此分析得出企業利潤隨著承諾交貨時間或產能擴張的增加先增加后減少，兩者相比，企業利潤受承諾交貨時間影響更大。

2 模型的建立

2.1 模型參數及說明

r=單位收入，單價減去單位成本（除延期成本和產能成本外）；

c1=延期單位成本；

u=當前產能，當前生產系統可以生產的產品數；

z=產能擴張，企業通過加班或增加臨時工等方式增加生產系統的產能；

c2=當前產能單位成本；

c3=產能擴張單位成本；

l=承諾交貨時間；

L=實際交貨時間；

P{L≤l}=實際交貨時間小于等于承諾交貨時間的概率。

2.2 需求函數

考慮客戶傾向于較短的交貨時間，建立承諾交貨時間需求函數：

式中，a 為b=0（需求與承諾交貨時間不敏感）時的需求（部分文獻稱之為潛在需求），b為需求承諾交貨時間敏感系數（b≥0）。承諾交貨時間需求函數有線性的，如 Wu Z 等[16]、Pekgun P 等[17]研究文獻的函數；也有非線性的，如 Hill A V 等[18]、Mallick R K 等[19]研究文獻的函數。

2.3 延期成本函數

眾多學者，如Kelton W D等[20]和Bratley P等[21]均指出實際交貨時間小于等于承諾交貨時間的尾概率分布為指數分布：

其中，γ為實際交貨時間均值。因為在需求一定的前提下，交貨時間受產能的影響：產能越大交貨時間越短，產能越小交貨時間越長。所以產能與實際交貨時間均值γ 有減函數的關系[8]。在減函數關系中，我們假設它們成反比例的關系，構建實際交貨時間均值γ關于產能的函數：

其中，θ為實際交貨時間均值γ與產能關系系數（θ＞0），其值可以通過統計分析（如回歸分析）確定。

因為延期交貨概率P{L＞l}=1-P{L≤l}，所以結合式（2）和式（3），可得關于產能和承諾交貨時間的延期交貨概率函數：

設u=50，θ=45。作產能擴張z 分別為 0，15 和 50時的延期交貨概率，如圖1 所示。從圖1 可知，隨著產能擴張的增大，延期交貨概率減小。

圖1 產能擴張與延期交貨概率

根據式（1）和式（4），可得延期成本函數：

2.4 模型構建

考慮延期成本，建立以企業利潤為目標函數，以承諾交貨時間和產能擴張為決策變量的模型。

其中，第一項為收入；第二項為延期成本；第三項為產能成本。

3 模型分析

3.1 承諾交貨時間為決策變量

命題1 若僅以承諾交貨時間為決策變量，模型存在最優承諾交貨時間，它的表達式為：

其中，LambertW(x)為歐米加函數或乘數對數[22]。

證明：式（6）對l 求一階偏導數，令其為零整理得：

設 t1=c1a(u+z)/θ+c1b，t2=c1b(u+z)/θ，t3=(u+z)/θ 和x=-lt3=-l(u+z)/θ，那么式（8）變換為：

又設y=t1+xt2/t3,，這時式（9）變換為：

以yt3/t2作為未知數，求式(11)可得：

這時把y=t1+xt2/t3和x=-lt3代入式（12）化簡得：

再把 t1=c1a(u+z)/θ+c1b，t2=c1b(u+z)/θ 和 t3=(u+z)/θ代入式（13）求解l，得：

又因為式（6）對l求二階偏導數有：

所以，式（6）關于l 存在最大值，最優解為式（6）對l求一階偏導數為零的解，即式（14）。因此，命題1成立。

命題1結論：若不允許延期交貨（令c1=∞），這時有l*=a/b+θ/(u+z)，這表明最優承諾交貨時間隨著潛在需求a的增加而增加，隨著需求承諾交貨時間敏感系數b和產能擴張z的增加而減少。所以企業在需大于供的市場中，承諾交貨時間較長；在需求時間越敏感的市場中，承諾的交貨時間越短。承諾交貨時間與產能有減函數的關系。

3.2 產能為決策變量

命題2若僅以產能擴張為決策變量，模型存在最優產能擴張，它的表達式為：

證明：式（6）對z求一階偏導數為零：

求解式（16）可得z的表達式：

又因為式（6）對z求二階偏導數有：

所以命題2成立。

命題2結論：由式（15）得：z*=-u-θln(c3θ)/l+θln[c1l(a-bl)]/l。這表明最優產能擴張隨著當前產能u，產能擴張單位成本c3和需求承諾交貨時間敏感系數b的增加而減少，隨著延期單位成本c1和潛在需求a增加而增加。同時易知，系統處于最優狀態為產能擴張為零時，即當前產能滿足：u=-θln(c3θ)/l+θln[c1l(a-bl)]/l。

3.3 承諾交貨時間和產能為決策變量

（1）交替決策。企業在承諾交貨時間和產能決策前，一般存在著產能，這時產能擴張為0，設z(0)=0。在z(0)前提下，企業可以根據式（7）確定最優承諾交貨時間，設為l(0)*，這時企業得到第一次決策的最優利潤。接著，企業在l(0)*前提下，根據式（15）可得最優產能擴張，設為z(0)*，這時企業得到了第二次決策的最優利潤，如此反復。

當然，企業也可以以當前的承諾交貨時間作為初始承諾交貨時間，然后在初始承諾交貨時間條件下確定最優產能擴張。余下的決策過程與上述一致，略。

（2）同時決策

引理1 若(l0,z0)為式（6）的極值點，那它滿足以下方程組：

證明：設(l0,z0)為式（6）的極值點，把它代入式（6）分別對l 和z 求一階偏導數為零的方程組，可得式（18），所以引理1成立。

命題3 若存在極值點(l0,z0)使得式（19）成立，那么該極值點為極大值點。

根據引理1可得極值點(l0,z0)，把極值點(l0,z0)分別代入A，B和C。根據極值點判斷公式有：

由式（19）可得Δ ＞0，又因為A＜0，所以命題3成立。

命題3結論：模型不一定存在最優的承諾交貨時間和產能擴張；若存在，那么對所有有實際意義極大值點的函數值和邊界點(l*z=0,0)（把z=0代入式（7）可得l*z=0）的函數值進行相互比較，其中最大者就是模型的最優值，其對應的點就是最優的承諾交貨時間和產能擴張。

4 數值實例

某衣服生產企業，其產品P 運營過程為：企業在網站發布產品P的信息（包括價格、交貨時間、定制流程等），客戶通過網站定制，企業根據客戶要求生產，生產完畢后交付。產品P采用網上定制式生產，出現了延期交貨頻繁的問題，因此需要確定合適的承諾交貨時間。

產品P根據歷史數據統計分析可知：其承諾交貨時間的尾概率分布近似服從指數分布，實際交貨時間均值與產能成反比例關系，關系系數為45，每天出售 1 000-10l 件，售價為 50 元/件，生產成本為 20 元/件，延期成本為10 元/件，產能為50 件/天，產能成本為10 元/件，通過加班、增加工人等方法增加產能的成本為12元/件。（1）求經過3次產能擴張（6次交替決策）后產品P最優的承諾交貨時間和產能；（2）求產品P最優的承諾交貨時間和產能。

依題意有 r=50-20=30 元/件，c1=10 元/件，c2=10元/件，c3=12 元/件，u=50 件/天，z(0)=0 件/天，θ=45，a=1 000件/天，b=10。

（1）經過3次產能擴張后產品P最優的承諾交貨時間和產能

第一次決策：把 z(0)=0 件/天，r=30 元/件，c1=10 元/件，u=50 件/天，θ=45，a=1 000 件/天和 b=10 代入式（7）得：

這時產品P的最優利潤為：2.826 4萬元/天。

第二次決策：把 l(0)*=3.232 天，c1=10 元/件，c3=12元/件，u=50件/天，θ=45，a=1 000件/天和b=10代入式（15）得：

這時產品P 的最優利潤為：2.828 5 萬元/天。余下決策過程見表1。

所以，經過3次產能擴張后，產品P的最優承諾交貨時間為2.813 670 915天，最優產能為62.769 405 20件/天，最優利潤為2.831 1萬元/天。

（2）產品P最優的承諾交貨時間和產能

把r=30元/件，c1=10元/件，c3=12元/件，u=50件/天，θ=45，a=1 000件/天，b=10代入式（18）得：

表1 最優承諾交貨時間和產能決策

解上式得有實際意義的點為：{l0=2.647 000 263,z0=15.712 771 2}。把{l0=2.647 000 263,z0=15.71 2 771 2}代入式（19）有2.89×108＞0。所以{l0=2.647 000 263，z0=15.712 771 2}為極大值點，這時它對應的函數值為2.831 3萬。因為{l0=2.647 000 263,z0=15.712 771 2}極大值點對應的值2.831 3大于邊界點{l*z=0=3.232,z=0}對應的值2.826 4。所以，產品P的最優承諾交貨時間為2.647 000 263 天，最優產能為 65.712 771 2 件/天，最優利潤為2.831 3萬元/天。

為了進一步弄清利潤和承諾交貨時間與產能擴張的關系，令 r=30 元/件，c1=10 元/件，c2=10 元/件，c3=12元/件，u=50件/天，θ=45，a=1 000件/天，b=10。

首先，把上述r=30 元/件等代入式（6）作圖，如圖2 所示。從圖 2 可知，隨著 l 和 z 的增加，Π(z,l)是先增加后減少的曲面，這表明企業存在最大利潤。

其次，把上述r=30元/件等，以及l0=2.647 000 263天代入式（6）作圖，如圖3所示。從圖3可知，隨著z的增加，Π(z,l)先增加后減少，當Z達到15.712 771 2 件/天時，企業的利潤最大。這說明企業初始增加產能縮短了交貨時間，使得需求增加得到的利潤多于總成本（延期成本和產能成本）的增加，所以利潤增加，當產能擴張超過最優值后，需求增加帶來的利潤小于總成本的增加，導致利潤下降。

最后，把上述r=30元/件等，以及z0=15.712 771 2件/天代入式（6）作圖，如圖4所示。從圖4可知，隨著l的增加，Π(z,l)先快速增加后逐漸減少，當達到2.647 000 263天時，企業的利潤最大。這說明企業初始承諾交貨時間增加，延期成本節約比需求減少導致利潤減少多，所以利潤增加，當承諾交貨時間超過最優值后，則反之。同時，相對于z，Π(z,l)受到l的影響更加顯著。

圖2 利潤和承諾交貨時間與產能擴張的關系

圖3 利潤和產能擴張的關系

5 結束語

在需求一定的前提下，交貨時間主要受產能的影響，本文考慮延期成本以及產能與交貨時間的關系，構建了延期成本函數，在此基礎上建立了以承諾交貨時間和產能為決策變量的模型。通過模型分析，得到了相互遞推的承諾交貨時間和產能擴張關系式，在此基礎上，求解得到了最優的承諾交貨時間和產能擴張值。

圖4 利潤和承諾交貨時間的關系

模型不一定存在最優的承諾交貨時間和產能擴張值，若存在則可以根據命題3求得；若不存在，結合企業關于承諾交貨時間和產能的決策過程，采用交替決策方法可得適合企業自身情況的承諾交貨時間和產能。

最后，本文研究的延期成本僅考慮了企業是否按時交貨，如果企業不按時交貨則需要支付罰金。實際上，延期成本還會與延期時間長度相關，這有待進一步研究。