一類具有時(shí)滯的高階分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問(wèn)題解的存在唯一性

鄭春華，寧艷艷，高汝林

(陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課教學(xué)部，712000，陜西，咸陽(yáng))

0 引言

因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微分方程在化學(xué)物理、高分子材料等領(lǐng)域都有著非常深入的應(yīng)用，所以分?jǐn)?shù)階微分方程的研究越來(lái)越受到重視[1-3]。分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問(wèn)題是分?jǐn)?shù)階微分方程研究工作的重要方面，這方面的研究出現(xiàn)了很多成果[4-9]。

對(duì)于含有時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題特別是積分邊值問(wèn)題的研究結(jié)果還不是很多[10-11]。本文利用Banach壓縮映射原理研究分?jǐn)?shù)階微分方程的積分邊值問(wèn)題

(1)

解的存在唯一性問(wèn)題，其中f(t,x)C([0,1]×R,R)，n為大于1的整數(shù)，n-1<α≤n，0<τ<1，r≠α，Dα0+表示標(biāo)準(zhǔn)的Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。

1 主要引理

定義1[3]：對(duì)于函數(shù)f(t)和α>0，定義f(t)的α階Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分為

定義2[3]：對(duì)于函數(shù)f(t)和α>0，定義f(t)的α階Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

其中N=[α]+1。

定義3[12]：設(shè)(X,ρ)為度量空間，T:X→X的映射，如果存在0<λ<1使得對(duì)?x1,x2X都有

ρ(Tx1,Tx2)≤λρ(x1,x2)

成立，則稱T為壓縮映射。

引理1[4]：對(duì)于α>0，uC(0,1)IL(0,1)，則存在ciR(i=1,2,…,n)使得Iα0+Dα0+u(t)=u(t)+c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n。

引理2[12]：設(shè)X為Banach空間，T:X→X為壓縮映射，則T在X中有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

引理3：設(shè)hC[0,1]，則BVP

存在唯一解

證明：利用引理1和n-1<α≤n，可得

x(t)=Iα0+h(t)+c1tα-1+…+cntα-n。

由邊值條件x(0)=x′(0)=…=x(n-2)(0)=0可得c2=c3=…=cn=0。

再由積分邊值條件可知

進(jìn)而可知

因此

令

X={x|x

定義算子T:X→X，

2 主要結(jié)果及證明

定理1：若下列條件成立，

(A1) 存在常數(shù)c滿足

|f(t,x)-f(t,y)|≤c|x-y|t[0,1],x,yR；

則BVP(1)存在唯一解。

證明：為了利用引理2證明定理1的正確性，下面證明T是壓縮映射。

對(duì)?x1，x2X，利用引理3有

再利用條件(A1)可得

再根據(jù)條件(A2)可知T為壓縮映射。利用壓縮映射原理可知BVP(1)在X中存在唯一解，進(jìn)而可知BVP(1)有唯一解。