試談分類思想在初中數學解題中的應用

杜 薇

(江蘇省徐州市少年兒童業余體育學校 221000)

一、分類討論在函數問題中的應用

函數問題，是初中數學中的一個基本問題和重要問題，函數的知識點抽象且復雜，它通過不同的函數模型來描述因變量與自變量之間的變化關系，在問題處理上就更加復雜和麻煩.因而，教師在函數問題的具體解決上，可以適當地利用分類討論思想幫助學生理解和學習.

如：已知函數y=ax2-(3a+1)x+2a+1(a為常數)，若該函數圖象是開口向上的拋物線，與x軸相交于點A(x1,0),B(x2,0)兩點，與y軸相交于點C，且x2-x1=2，并作點A關于y軸的對稱點D，連接BC，DC，求sin∠DCB的值.

這個問題就是一道十分典型的函數類型的分類討論問題.本題的關鍵在于，隨著點A的移動，點B和點D的位置也隨之而動，并導致∠DCB的變化.因此，本題的討論標準在于討論線段AB與x軸的相對位置，從而導致的x1(或x2)的值的變化.確定討論標準，即x1分別在(-∞,-2)、[-2，-1)、[-1，0)、[0，+∞)等區間(見下圖)，再分別利用二次函數和代數幾何知識解決問題.

從這個例子可以看出，對于函數問題中的動點、動線段、動圖問題，分類討論是一種常規性和高效性的解決思路.教師在針對這一問題進行教學時，最主要的是找分類標準和逐個類別討論兩大問題.其中，分類標準往往是動圖問題中的特殊情形，如這道題中的分類點均是∠DCB不存在時的特殊點;逐個類別討論則十分考驗學生的邏輯分析能力，只能通過充分的訓練進行不斷鍛煉和提升.

二、分類討論在代數問題中的基本應用

分類討論在初中數學的代數問題中，也有著較為普遍的應用.這種應用，更多是由于代數問題中的某些固定性質所決定的，因而處理起來并不是十分困難，但考查學生對于代數問題的把握能力.

這個問題引發討論的點在于，對該分式方程去分母化簡后，得到的是為(a-1)x=-21的等式.那么首先需要進行考慮的是，該等式是否為一元一次方程，由此得出第一個標準是a=1，如果a=1，就不是方程了.其次需要討論的是，該等式若為一元一次方程，分母不能是0，也就是x-3≠0、x+3≠0，而問題是無實數解，則說明x=3或者x=-3，這樣，再分別討論x是3、-3時，求出a的值，于是得出a的全部值為8，-6或1.

再如，已知方程m2x2+(2m+1)x+1=0有實數根，求m的取值范圍.

本題引發討論的點在于該方程是否為一元二次方程，由此得出分類標準m=0,繼而分別討論該方程作為一元一次方程和一元二次方程的情形下，m的取值范圍.

這兩道例題，足以引起我們對于代數問題中的分類討論應用的注重，需要引導學生注意代數問題下的細節和性質，并熟練地將其應用到解題過程中.因此，教師應在這類問題上注重引導學生加強理解和把握，在分析問題的過程中領悟分類的本質內涵.

三、分類討論在圓的問題中的基本應用

在初中數學中，圓相關問題向來是重點問題，其對于分類討論的要求也最為嚴苛.學生在處理這類問題時，也往往難以理清思路，難以下手.但這類問題其實有著明確的解決思路和思維模板，因此，在這一問題中，尤其需要教師多多引導學生進行思考、分析和訓練.

例如：已知兩圓相交，且公共弦長為5cm，若兩圓半徑分別為3cm和4cm，那么圓心距是多少？

本題中，學生往往難以全面討論，這主要是由于學生對圓與直線的位置關系難以把握所導致的.本題其實是圓心與弦的位置關系不唯一導致的分類討論，因此依然可以看作是動圖問題，當兩圓心由遠及近逐漸靠近時，存在公共弦為5cm的情況，從這一思路出發，不難發現該公共弦可能在兩圓心同旁或之間，繼而可以進行討論解題.

再如，若圓O所在平面上一點P到圓O上的點的最大距離為a，最小距離為b，(a>b)，則此圓的半徑為____.

對于這個問題，關鍵在于點與圓的位置關系不唯一，因此依然可以看作是動圖問題，當P由遠及近向圓心靠攏時，就分別出現了P在圓外和P在圓內兩種情形，據此展開討論分析，即可迅速解出答案.

總之，分類討論作為初中數學的一大重點和難點，在初中數學解題中應用十分廣泛和復雜.教師在幫助學生把握此類問題時，要善于利用“分類”思想，并引導學生了解和掌握分類思想在數學不同領域中的運用中的微妙的區別，真正掌握其使用方法和思維范式，從而幫助學生掌握好分類討論思想，在具體問題中應用好分類討論思想，以期最終能夠深刻把握和熟練運用分類思想這一解題利器，提高數學解題能力，提高數學綜合能力.