以“靜”制“動”
——初中數學中的動點問題分析

張小娟

(江蘇省揚州市邗江區楊廟中學 225125)

一、動點問題歸類分析

1.一條線段最值問題

(1)單動點問題

例題1 如圖1所示，存在一個圓O，已經知道圓的半徑為2.存在一條直線l，圓心到l的距離為3.假如在直線l上有動點P，PQ切圓O于Q點，則PQ的最小值是多少？

點評本題是一道單動點的一條線段最值問題，其難度不是太大，關鍵是學生能夠根據勾股定理分析出決定PQ最小值的線段OP何時最小.

(2)雙動點問題

例題2三角形△ABC三條邊分別為AB、AC和BC，它們的長度分別為10、8和6，動圓經過C點，它和AB邊相切，如圖2所示.已知動圓與CA，CB相交于P、Q.請問PQ能夠取得的最小值為多少？

解析AB、AC和BC長為10、8、6，滿足勾股定理，△ABC是直角三角形，∠C=90°.∠C=90°可以說明線PQ為圓F的直徑.假設點F是QP的中點，點D是圓F與線AB的切點.因為圓F和AB相切，有FD⊥AB.從圖中可以看出，FC+FD=PQ.在三角形FCD中，FC+FD>CD.從圖中可以看出，點F在△ABC高上時，CD能夠取到最小值，PQ也為最小值.使用面積法，得CD=BC·AC/AB=4.8.因而，線段PQ的最小值是4.8.

點評本題是一道雙動點的一條線段最值問題.因為問題以動態圓的形式出現，學生不易分析出線段PQ取最小值時的條件.在解決這道題時需要學生通過找圓心，繪制輔助線的方式來尋找突破口.

2.兩條線段最值問題

(1)單動點問題

例題3有一個直角三角形ABC，邊AB的長度和邊BC的長度相等，都等于4，∠B=90°.M是直角邊BC上的一個點.已經知道BM為1，N是AC上的動點.求BN和MN之和的最小值.

點評本題是一道單動點的兩條線段的最值問題.在本題的解決過程中，使用到鏡像法，這是一種比較難以掌握的幾何技巧，需要學生對圖形有一定的感覺.因為，學生在解題時要具有鏡像法的應用基本能力.

(2)雙動點問題

例題4矩形ABCD在一個平面直角坐標系中，如圖6，矩形的頂點A、B、C的坐標是(0，0)、(20，0)、(20，10).線段AC上有動點M，AB上有動點N.當BM和MN和有最小值時，求點M的坐標.

解析作點B關于AC的對稱點B′，如圖7.過點B′作OB的垂線，垂線B′N與MC相交于M點.從圖中可以看出，B′N=B′M+MN，則B′N=BM+MN.BM+MN的最小值等于B′N的長度.將O點B′點連接起來，和DC交于P點.ABCD是一個矩形，則DC∥AB，有∠BAC=∠PCA.B和B’對稱，所以∠PAC=∠BAC，則∠PAC=∠PCA，所以PA=PC.現在令PA=x，則PC=x，而PD=20-x.在直角三角形ADP中，有PA2=PD2+AD2，代入長度有x2=(20-x)2+102，解方程得x=12.5.因為cos∠B′ON=cos∠OPD，所以ON∶OB′=DP∶OP，有ON∶20=7.5∶12.5，則ON=12.因為tan∠MON=tan∠OCD，所以MN∶ON=OD∶CD，有MN∶12=10∶20，解得MN=6.因而點M的坐標是(12，6).

點評本題是一道雙動點的兩條線段的最值問題，具有較大的難度.在解題過程中，學生要采用鏡像法畫出B點關于AC的對稱點，并使用勾股定理、三角函數、比例等方面的知識.

二、動點問題教學建議

1.強化基礎教學

動點問題是一類綜合性的問題，其涉及到初中數學中的幾何變換、函數、比例、等數學知識.因而學生深入理解數學基礎知識是解決動點問題的基礎.在教學中，教師講清楚數學知識的來龍去脈，并能夠理解這些概念和規律的內涵和外延.在學生充分建構起對基本概念和規律的理解后，教師還要引導學生解決一定量的問題，以保證學生遇到不同問題時能夠選擇對應的解題方法.

2.開展針對訓練

動點問題類型較多，每一個類型有其獨特的解題方法.針對這個狀況，教師可以將初中數學中經常出現的動點問題進行歸類，并開設習題課分類講解.教師在講解動點問題時，可以讓學生發現新的解題方法，并將仔細體會這些解題方法.在課外，教師可以布置一定量的作業讓學生練習，以形成解題技巧的內化.