平面幾何兩個名題及其妙解

李偉帥

(山東省青島膠州市第八中學 266300)

一、引言

平面幾何作為數學王國中重要的一部分，研究者眾多，很多有名的數學家，大學教授和學者都研究過平面幾何.但關于平面幾何名題方面研究得較少，我查資料所得到的結果為：中國學者高希堯著《世界數學歷史名題一百例》，中國科學技術大學杜錫錄著《平面幾何中的名題及其妙解》等.

縱觀其研究，大部分學者都是研究古今數學名題供人們閱讀或參考，但突出其妙解的材料并不是很多.所以我這次特對部分古今中外平面幾何中有名的題目進行巧妙解法的探索，以提高探索解題方法，解題能力，從而進一步認識數學，感受數學思維的巧妙之處，激發同學們對數學學習的興趣.

二、兩個名題及其妙解

1.哥尼斯堡七橋問題

哥尼斯堡鎮有一座小島，一條名叫普雷格爾的小河分兩支流進小鎮，從小島兩旁流過，然后匯成一支流出小鎮，如圖1所示.圖中D表示小島A，B，C表示鎮中三塊陸地.在小島D和陸地A之間有兩座小橋，這兩座小橋用a，b表示；在小島D和陸地B之間有兩座小橋，這兩座小橋用c，d表示；在小島D和陸地C之間有一座小橋，用e表示；在陸地A和陸地C之間有一座小橋，用f表示；在陸地B和陸地C之間有一座小橋，用g表示.問題是：能否一次通過全部的七座橋，而每座橋只走一次？

歐拉對哥尼斯堡七橋問題做了詳細的研究，于1736年發表了題為《與位置幾何有關的一個問題的解》的文章.文章中它給出了判斷可能不可能把所有的橋走一次的簡單法則：

如果有奇數座橋通過的地方不止兩個，滿足要求的路線是找不到的；

如果有奇數座橋通過的地方只有兩個，滿足要求的路線是可以找到的，不過必須從這兩座有奇數座橋可通過的地方之一出發，最后從另一座有奇數座橋通過的地方結束；

如果沒有一個地方是有奇數座橋通過，滿足要求的路線可以找到，并且可以從任何一座橋出發.

按照歐拉給出的法則，不難知道要想一次通過哥尼斯堡鎮的所有七座橋，而每座橋只走一次是不可能的.如果把七橋問題抽象出來，其實它就是一個筆畫問題.事實上，由于不關心小島和陸地的漫記大小，所以可以把它們看做點，而對于橋，由于不關心其長度、寬窄大小，可以把橋看做一段曲線.所以問題就成為：有四個點A，B，C,D,連接D，A有兩條線段，連接D，B有兩條線段，連接D，C有一條線段，連接C，A有一條線段，連接C，B有一條線段，如圖2所示.

問題就轉化為能否一筆畫畫出這個圖，每條線段只畫一次，而且在畫時筆不允許抬起來離開紙.

把所有奇數條線段通過的點叫做奇數點；偶數條線段通過的點叫做偶數點.例如在圖2中，通過點A的線段有3條，通過點B的線段有3條，通過點C的線段有3條，通過點D的線段有5條，所以它們都是奇數點.

判斷可能不可能一筆畫的最簡單法則為：

如果奇數點多于2個，則不可能一筆畫出來;如果奇數點共有2個，則可以一筆畫出來，而且必須從一個奇數點起筆，從另一個奇數點止筆；如果沒有奇數點，全部是偶數點，則一定可以一筆畫出來，可以從任何一個點起筆，從另外的任何一個點止筆.

2.費馬點

費馬是法國數學家,1601年8月20日生于圖盧斯附近的波蒙特，1665年1月12日卒于卡斯特爾.費馬是解析幾何的兩個發明者之一.在笛卡兒的《幾何學》發表之前，他在1629年就已經發現了解析幾何的基本原理.費馬被譽為近代數論之父,他提出了“費馬大定理”，之后三百多年，最優秀的數學家都未能給出一般性的證明,直到1994年“費馬大定理”才被英國數學家懷爾斯給出了嚴格證明.

費馬點已知△ABC，找一點P使得PA+PB+PC的值最小(圖3)，這個點P稱為△ABC的費馬點.

下面給出的一個簡明的解法是巴克納給出的,我們就銳角三角形的情況討論.

證明P是銳角△ABC內任意一點.把△ACP繞A點旋轉60°，得△AC′P′,使AC在AC′和AB之間.

∴△APP′是等邊三角形，∴PP′=PA,P′C′=PC.

∴PA+PB+PC=PB+PP′+P′C′.

∵AC′=AC, ∠C′AC=60°，∴C′是一定點.

∴當P點在BC′上時，才有BC′=PA+PB+PC為最小.

∵∠APC′=60°,∴∠APB=120°，同樣可知，當∠APC=∠BPC=120°時，PA+PB+PC為最小.