巧用數形結合，提高學生的運算能力

余雪芳

【摘要】? 隨著基礎教育課程改革的不斷深入，教育越來越關注學生素質的培養，就數學學科而言，更關注學生的數學素養的提高，特別是有關數學核心素養問題。一個人具備了核心素養，必然善于以數學思想和數學方法來思考和解決問題，這已成為當代學生進入社會的必備本領。數學運算是數學核心素養的組成部分，標準中把掌握基本運算能力列為培養學生的能力之首。從學生實際出發，結合教材與課堂，發掘數形結合因素，從提出問題，領會本質，理解算理，解決問題，到提升素養，進行多層次、全方位的幫助學生直觀理解數學知識，滲透數形結合的重要數學思想，提升運用圖形認識事物能力，感知問題解決方向，使復雜問題簡單化，從而培養學生的運算能力，提升學生的數學核心素養。

【關鍵詞】? 數形結合 運算能力 理解算理 運算素養

【中圖分類號】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】? A ? ? 【文章編號】? 1992-7711（2020）11-070-02

隨著基礎教育課程改革的不斷深入，教育越來越關注學生素質的培養，就數學學科而言，更關注學生的數學素養的提高，特別是有關數學核心素養問題。一個人具備了核心素養，必然善于以數學思想和數學方法來思考和解決問題，這已成為當代學生進入社會的必備本領。數學是奇妙的，在某種程度上也是艱澀的。初中階段的數學學習有較大量的運算要求，這個階段也是培養數學運算能力的黃金時期，有理數的運算、整式的運算、分式的運算、根式的運算和解方程等都和運算有關。每當考試后，經常會聽到家長向老師提問：為什么孩子上課都聽懂了，作業也會做了，但是考試就不行了？在實際教學中，不少老師抱怨：“學生的計算能力太差了，連簡單的運算都過不了關”。數學課程標準把培養學生的運算能力作為核心素養目標之一，標準中把掌握基本運算能力列為培養學生的能力之首。因此，利用數形結合的思想方法提高學生的運算能力有著極為重要的意義。

一、利用數形結合，提出問題

數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，化難為易，化抽象為直觀，使人充分運用左、右腦的思維功能，相互依存、彼此激發，全面、協調、深入發展人的思維能力。使用“數形結合”的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。

數學本是抽象的，而數形結合在問題提出中的應用，能夠使復雜的數學問題變得形象化，變得簡單;可以幫助學生更好的發現問題解決問題;有利于培養學生良好的解決問題的習慣。

例如運用火柴棒按如圖所示的方式，搭x個正方形時，如何計算火柴棒的根數？

思路1：在這些圖形中，第一個正方形用4根，每增加一個正方形就增加3根火柴棒，那么搭x個正方形需要火柴棒___根;

思路2：把每一個正方形都看成是用4根火柴棒搭成的，然后再減去多算的火柴棒的根數，得到的代數式是___;

思路3：第一個正方形可以看成是3根火柴棒加1根火柴棒搭成的，此后每增加一個正方形就增加3根火柴棒，那么搭x個正方形共需火柴棒___根。

從而提出問題：去括號前后，括號里各項的符號有什么變化？把數形結合“帶進”課堂，并應用于問題提出中，在教學時鼓勵學生大膽猜想，提高學生的運算能力。

二、利用數形結合，領會本質

畢達哥拉斯曾說過：“數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們如何知道的”可見分析問題能力的培養顯得多么重要。學生在解決數學問題時，常用一個數學思想，數形結合，借助直觀，形象圖形，使數學實際問題和幾何直觀圖形有機結合，幫助學生更好地理解，領會數學問題本質，尋找正確的解題思路，培養學生幾何直觀素養.如在學習“兩點之間，線段最短”時出現一題“在小河的同一側有A，B兩個村莊，現要在河邊修建一座水泵站向兩個村莊送水，問水泵站修在哪里到兩村莊距離和最短”此問題具有一定的抽象性，當憑學生想象是很難有突破點，可引導學生畫出圖形，直接觀察，思考如何轉化點A，B，和水泵點，讓三點共線，距離最短。讓學生理清問題的關鍵點——找出A的對稱點，滲透數形結合的思想，提高運算能力。

“數”和“形”是數學中兩個最基本的概念：“數”，屬于數學抽象思維范疇，是人的左腦思維的產物;而“形”主要指幾何圖形，屬于形象思維范疇，是人的右腦思維的產物。它們既是對立的，又是統一的，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數量關系;反之，數量關系又常常可以通過幾何圖形做出直觀的反映和描述。

情形一：“以數解形”

例1用一些完全相同的棋子按如圖所示的規律拜訪，第100個圖形有____個棋子

分析：這是一道典型的規律探究題，學生在解答時如果僅關注棋子的變化，解答是比較困難的，但如果將圖形的規律問題轉化為數的規律問題，根據圖形中點的個數得到有關棋子個數的通項公式，然后帶入數值計算即可。

根據第1個圖形有5個棋子，第2個圖形有11個棋子，第3個圖形有17個小圓，∴第n個圖形有：5+6（n-1）=6n-1個棋子，第100個圖有599個棋子。

情形二：“以形助數”

例2在學習完全平方公式時，學生默寫公式及背誦口訣時都比較熟練，但在應用公式時經常認為（a+b）2=a2+b2，究其原因是學生沒有真正的理解。如果我們在學習完全平方公式的時候更注重巧用數學結合的方法來突破這個難點，就更直觀，更容易記住了。

三、利用數形結合，理解算理

初中數學是比較抽象的一門學科，無論定義，公理;還是法則，定理等知識都是具有一定抽象性。數學概念、性質、公式、法則等是進行數學運算的基礎，概念模糊、公式錯誤、法則，性質等含混不清，都會影響運算的進行和正確性，正確的運算必須建筑在透徹地理解算理的基礎上。可見，數形結合思想在運算中的實踐，不僅而體會到其中的算理，也展現了數與形的有序結合所產生的“美”與“妙”，更直接地反映出數形思想的結合能引導學生更好地發現與創造，對學生進行了審美觀念的滲透、聯想思維的檢測，培養了學生大膽而嚴謹的思維，引導學生獲取知識、結論、方法的途徑及思維過程，教給學生有效的數學思想方法，提高學生的一種認知能力，使學生的解題思路進入一個理性的廣闊天地。

在數學教學中，如何運用數形結合，是教師的教學藝術所在。比如解一元一次方程，不僅使得學生能掌握步驟，還要理解每一步的依據。如移項法則是由等量原理導出的。如合并同類項是由乘法分配律導出的，如果借助圖形學生就易于領悟其中之間的關系，那么就會加深對合并同類項的理解。例如整式加減中圖3-8的長方形由兩個小長方形組成，求這個長方形的面積。提問：求這個大長方形的面積有幾種方法呢？通過例子中的兩部分面積得出8n和5n，將8n和5n拉出來分析，合并同類項：8n+5n=13n，使學生深刻理解運算的算理。

四、利用數形結合，解決問題

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”反映的是利用數形結合研究數學問題，顯得直觀、方便，而且應用也很廣泛。利用數形結合，也能更好地突破重難點。教學的重點與難點是課堂教學的靈魂，如果把握好了教學重點，突破了教學難點，這節課基本就上好了。突破難點的方法有很多，比如演示實驗法，動手操作法，數形結合法等，但是根據教學實際，數形結合方法在初中數學的教學中是最經常用到的方法。突破“一元不等式組”難點“找不等式解集的公共部分”，也是巧用數形結合，利用數軸找到解集的公共部分，再把這個公共部分用不等式表示出來。

利用數形結合輕而易舉地解決了不等式解集的問題。

五、利用數形結合，提升素養

數學思想方法產生數學知識，而數學知識又蘊藏著數學思想方法，二者相輔相成，密不可分。數學知識與數學思想方法的這種辨證統一性，決定了教師在傳授數學知識的同時，必須重視數學思想方法的教學。同時，數學思想方法又是數學的靈魂，是處理數學問題的指導思想和基本策略，引導學生領悟和掌握以數學知識為載體的數學思想方法，使學生提高思維水平，真正懂得數學的價值，建立科學的數學觀，從而發展數學，運用數學，這也是現代教學思想與傳統教學思想的根本區別。

數形結合能喚起學生的好奇心和求知欲，掌握問題的發展規律，使學生對數學基礎知識從感性上升到了理性的層面，最終培養學生良好的數學素養。因此，在教學設計過程中，需要結合具體內容，將教學知識的“明線”與數形結合思想的“暗線”有機結合，將數形結合思想方法用在適當處，使學生對知識、技能、思想的總結融為一體，使得“思想方法有載體，知識技能有靈魂”。

總的來說，在中學的數學課堂教學過程中，教師應該緊密結合數學教學內容，以數學知識為載體，不是為了單純的運算而運算，巧用數形結合，培養學生的運算能力，把握數學本質從而達到解決問題的目的，這更是學生必備的一種高層次的數學素養。

[ 參? 考? 文? 獻 ]

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：2.

[2]張林華.數形結合思想引領下的“向量數乘運算”教學設計.上海中學數學.2012（5）.