薄壁圓管開口式伸展臂卷繞過程力學特性分析

王思聰，商紅軍，郭宏偉，劉榮強，史 創*

(1. 哈爾濱工業大學機電工程學院，哈爾濱150001； 2. 中國空間技術研究院總體部，北京100094)

1 引言

空間薄壁式自展開伸展臂由于其輕質、高收納比、自展開等特性，廣泛應用于航天多個領域，例如Hubble 望遠鏡太陽翼支撐桿、國際空間站太陽翼支撐桿、NanoSail-D 太陽帆伸展臂、Apollo-15伸展臂等[1-3]。 由于該種伸展臂具有大尺度、大變形、柔性等特征，必須對其卷繞過程的力學特性進行分析。

Ross 等[4]通過多體動力學軟件繪制了圓管開口式伸展臂卷繞位移、卷繞扭矩與時間的關系曲線并進行了分析。 楚中毅等[5]對透鏡式纏繞肋展開態及展開過程力學特性進行了解析計算，并對纏繞肋及釋放機構的結構尺寸參數進行了多目標優化。 張展智等[6]對圓管開口式伸展臂卷繞方式進行了研究，對過渡段曲率進行了擬合，通過ABAQUS 軟件分析了不同卷繞方式、不緊密卷繞、摩擦因數等因素對伸展臂自由展開過程的影響。 陳務軍等[7-10]通過ABAQUS 軟件對透鏡式纏繞肋展平卷繞過程中應力應變進行了計算分析，總結出各參數變化對纏繞肋力學特性的影響規律，并通過試驗進行了驗證。

上述研究對透鏡式結構展收過程有較多分析，但較少涉及薄壁圓管開口式結構，尤其對該種結構在卷繞過程中應變能、驅動力矩、應力分布的研究甚少。 另外，由于卷繞過程中應變能、驅動力矩對伸展臂尺寸參數變化的敏感程度對伸展臂的設計有著重要影響，且過高的應變能易導致材料的失效，因此分析伸展臂尺寸參數的變化規律顯得尤為重要。

本文基于由各項同性材料制成的薄壁圓管開口式伸展臂，假設材料在變形過程中為彈性體，通過推導薄壁圓管開口式伸展臂總應變能、驅動力矩公式，在ABAQUS 中建立有限元模型，分析伸展臂卷繞過程中總應變能、驅動力矩的變化規律，研究總應變能、驅動力矩對伸展臂各項尺寸參數變化的敏感程度。 同時根據第四強度理論分析伸展臂最大Von Mises 等效應力點的位置及其在卷繞過程中的變化規律，提出對伸展臂設計具有指導性意義的結論。

2 薄壁圓管開口式伸展臂卷繞機理

伸展臂收攏過程如圖1 所示，收攏過程中每段微元依次經歷3 個變形階段：①當遠離卷軸時微元處于自由狀態階段(自由段)；②隨著卷軸的卷繞運動，微元進入過渡段后曲率逐漸減小直至完全展平，此過程中微元的展平過程作為純彎曲變形處理，過渡段各部分橫截面均看做標準圓弧；③當微元完全展平后隨即向卷軸卷繞(卷繞段)，卷繞過程中卷軸中心與伸展臂自由狀態下的形心分別位于伸展臂殼體兩側(反向卷繞)。

圖1 伸展臂收攏過程微元變形Fig. 1 Element deformation during boom coiling process

3 伸展臂收攏過程應變能分析

3.1 伸展臂收攏過程應變能解析分析

根據第2 節中的假設，伸展臂微元在收攏過程中各處變形為純彎曲，且變形過程中截面微元始終為標準圓弧。 根據材料力學相關理論，彎曲應變能Ei為式(1)(參變量如圖2 所示)：

圖2 彎曲應變能計算微元Fig.2 Calculation element of bending strain energy

伸展臂總應變能Es為收攏段應變能Ew與過渡段應變能Et之和。 因收攏過程可拆分為展平過程與卷繞過程且二者之間影響很小，因此收攏段應變能Ew為展平應變能Ef與卷繞應變能Eb之和。 因此總應變能Es為式(2)：

伸展臂橫截面幾何參數如圖3 所示，圖中Izz為橫截面微元展平慣性矩沿卷繞長度的積分，如式(3)所示。

圖3 伸展臂橫截面尺寸參數Fig.3 Cross-section parameters of boom

式中x 為展平過程中性面長度，如式(5)。 l1為已卷繞部分長度，l 為伸展臂總長度。

伸展臂卷繞過程縱截面參數如圖4 所示，卷繞后伸展臂中性面近似為阿基米德螺旋線。

圖4 伸展臂縱截面尺寸參數Fig.4 Longitudinal-section parameters of boom

已卷繞長度l1為式(7)：

因此根據式(1)伸展臂卷繞l1長度時，其卷繞應變能Eb為式(8)：

其中，卷繞過程彎曲截面慣性矩Iz為式(9)：

因過渡段伸展臂曲率變化復雜，因此過渡段應變能Et通過有限元仿真方法求出。

綜上，根據(2)式，伸展臂卷繞l1長度時總應變能Es為式(10)：

由上述關系并取表1 中參數，通過MATLAB編程計算，可得到已卷繞長度l1從0 變化至2 m過程中總應變能Es隨l1變化過程的計算結果。

表1 伸展臂參數Table 1 Boom parameters

3.2 伸展臂收攏過程應變能仿真分析

基于ABAQUS 有限元軟件建模對應變能解析計算結果進行驗證。 根據文獻[7]，伸展臂宜采用S4R 殼單元進行計算。 桿壁采用各向同性材料(材料屬性來自高強度合金鋼：彈性模量E ＝70 GPa，泊松比ν＝0.3，厚度t ＝0.8 mm)，摩擦因數μ＝0.15；取卷軸為離散剛體材料。 綜合考慮計算量、收斂性等方面要求，伸展臂及卷軸均采用四邊形網格，網格大小為30 mm；模型中桿壁自身的接觸定義為通用接觸，其它接觸均定義為面-面接觸以提高計算精度。 取表1 中尺寸參數在ABAQUS 軟件中建立有限元模型如圖5 所示。 伸展臂展平及卷繞過程分為3 步(圖6)：①在伸展臂端部開口處向兩側分別施加大小相同的載荷，使伸展臂端部逐漸展開；②在端部施加垂直于殼表面的載荷P，使伸展臂端部壓緊在卷軸上，并將端部固定于卷軸；③釋放前兩步中施加的載荷，同時施加角位移使卷軸滾動，伸展臂逐漸展平并卷繞在卷軸上。 因伸展臂展收速度較慢，根據文獻[8]可將其運動過程視為準靜態過程，應用靜力法分析計算。

圖5 伸展臂有限元模型Fig.5 Finite element model of boom

圖6 伸展臂有限元模型卷繞過程Fig.6 Coiling process of boom finite element model

通過對ABAQUS 有限元模型進行分析得到伸展臂過渡段應變能Et＝84.75 J，總應變能Es隨收攏長度l1的變化趨勢與3.1 節MATLAB 計算結果對比如圖7 所示，偽應變能、摩擦耗能如對比圖8 所示。

圖7 伸展臂收攏過程總應變能Fig.7 Total strain energy of boom during coiling

由圖7 可知，伸展臂收攏過程中總應變能線性增大。 通過對比兩條曲線可知，計算結果與仿真結果吻合的較好。 由圖8 可知，收攏過程中摩擦耗能逐圈增大，偽應變能線性增大，但二者均保持在總應變能的1%以內，因此對整體模型計算的影響可忽略。

圖8 伸展臂收攏過程偽應變能、摩擦耗能Fig.8 Pseudo strain energy and friction energy consumption in the process of boom coiling

3.3 伸展臂收攏過程應變能參數分析

因過渡段應變能Et在總應變能Es中所占比例不大且幾乎恒定，此處僅研究收攏段應變能Ew隨參數的變化規律。 取尺寸參數t(伸展臂厚度)、θ1(半開口角度)、R(卷軸外半徑)及r(伸展臂外半徑)，在表1 所列數值中上下各浮動50%，通過MATLAB 程序進一步分析各尺寸參數改變對收攏段應變能Ew的影響程度。 圖9 所示為收攏段應變能Ew隨參數t、θ1的變化關系，收攏段應變能Ew隨參數r、R 的變化關系如圖10 所示。

圖9 伸展臂參數t、θ1 與收攏段應變能關系Fig.9 Relationship between boom parameters t， θ1 and the strain energy during coiling

由圖9 可知，收攏段應變能Ew隨伸展臂厚度t 的增大而增大，在同樣浮動50%的情況下，t 的改變對總應變能影響最為明顯，而θ1的改變影響最微小。

圖10 伸展臂參數r、R 與收攏段應變能關系Fig.10 Relationship between boom parameters r，Rand strain energy during coiling

由圖10 可知，收攏段應變能Ew隨卷軸外半徑R 的增大而減小(因曲率半徑減小)，影響程度較為明顯。 伸展臂外半徑r 的影響規律較為復雜：當R 較小時收攏段應變能Ew隨r 的增大而非線性增大，當R 較大時收攏段應變能Ew隨r 的增大而非線性減小，當R 位于中間部分時收攏段應變能Ew在80 mm 附近出現了極小值。 這是由于r 的增大一方面減小了伸展臂展平過程的初始曲率，另一方面卻增大了伸展臂橫截面的周長，二者綜合作用的結果。

4 伸展臂展開驅動力矩分析

由于伸展臂收攏過程中摩擦耗能很小(圖8)，故可認為收攏過程中的阻力矩等于展開過程中的驅動力矩。

4.1 伸展臂展開驅動力矩計算分析

在伸展臂展開過程中，截面微元由卷繞狀態至完全展平、由完全展平至自由狀態的2 個過程依次獨立發生，相互作用很小，同時展開驅動力矩主要有前一過程提供，因此忽略后一過程的影響。 當伸展臂收攏至a1角時，伸展臂阻力矩M 為式(11)：

取表1 中參數，通過MATLAB 編程計算，得到已卷繞長度l1從0 變化至2 m 過程中阻力矩M隨l1變化過程的計算結果，如圖11 所示。

由圖11 可知，阻力矩M 隨著卷繞長度的增大而線性地減小，這是由于隨著卷繞長度的增加卷繞半徑不斷增大，導致卷繞部分曲率半徑κa1不斷減小。 但該因素影響程度很不明顯，不及1%。

4.2 伸展臂展開驅動力矩仿真分析

圖11 伸展臂收攏過程力矩對比Fig.11 Comparison of torque during boom coiling process

通過對ABAQUS 有限元模型進行分析得到伸展臂收攏過程中的阻力矩，如圖11 所示，阻力矩總體上隨卷繞過程的進行而減小，但每一周內有明顯波動，尤其在每周起始處。 這是由于卷繞曲線并非理想中半徑均勻增大的阿基米德螺旋線，而是在每一周的起始處突然遞增，從而產生了阻力矩的突變。

對比圖11 中仿真結果與計算結果，仿真值較計算值減小速率更大，這是由于仿真卷繞過程中不緊密卷繞導致曲率半徑增大更快，如圖12 所示，同時每周內阻力矩的波動也緣于此不緊密卷繞。 阻力矩仿真值較計算略大，這是由于伸展臂由完全展平至自由狀態的過程對力矩也有略微影響。

圖12 仿真過程中不緊密卷繞現象Fig.12 Non-tightly coiling during simulation

4.3 伸展臂展開驅動力矩參數分析

取尺寸參數t(伸展臂厚度)、θ1(半開口角度)、R(卷軸外半徑)及r(伸展臂外半徑)，在表1所列數值中上下各浮動50%，通過MATLAB 程序進一步分析各尺寸參數改變對阻力矩的影響程度。 圖13 所示為阻力矩隨參數t、θ1的變化關系。 阻力矩隨參數r、R 的變化關系如圖14 所示。

圖13 伸展臂參數t 與驅動力矩關系Fig.13 Relationship between parameter tand driving torque

圖14 伸展臂參數r、R 與力矩關系Fig.14 Relationship between parameters r， R and driving torque

由圖13 可知，阻力矩隨伸展臂厚度t 的增大而增大，在同樣浮動50%的情況下，t 的改變對阻力矩影響最為明顯，而θ1的改變影響最微小。

由圖14 可知，阻力矩隨卷軸外半徑R 的增大而減小(因卷繞曲率降低)，隨伸展臂外半徑r 的增大而線性增大(因伸展臂橫截面周長增加)，二者影響程度均比較明顯。

5 伸展臂收攏過程應力分析

通過分析伸展臂卷繞過程中的應力分布及變化規律能夠得到桿壁最易失效點從而指導設計。分析伸展臂卷繞狀態下的應力應首先分析沿伸展臂縱截面方向的應力分布。 自中心對稱面向外，在伸展臂的0、1/2、1 處依次選取內截面、中截面、外截面，如圖15 所示。

圖15 伸展臂縱截面示意圖Fig.15 Diagram of longitudinal-section of boom

應用第四強度理論，通過ABAQUS 軟件繪制伸展臂Von Mises 等效應力云圖。 由于伸展臂過渡段及自由段應力較低且變化均勻，因此僅從展平端開始取1 m 范圍進行分析，如圖16 所示。 圖中x 軸為縱截面內沿管壁的實際尺寸位移(m)，方向為自展平端至自由端，y 軸為Von Mises 等效應力(Pa)。

圖16 伸展臂縱截面Von Mises 等效應力分布Fig.16 Von Mises stress distribution in longitudinalsection of boom

由圖16 可知，伸展臂在由自由彎曲狀態轉化為卷繞彎曲狀態的過渡區域內，以及在伸展臂端部附近一定區域內出現了等效應力突變及最大值，而在伸展臂其它區域中等效應力變化比較平緩。 因此在伸展臂過渡區域及伸展臂端部附近易因畸變能密度過大而產生屈服失效。

通過觀察伸展臂轉繞過程中各處應力值可知，伸展臂收攏過程中最大等效應力點始終位于伸展臂端部。 收攏第一周內該點于端部截面上(位置不固定)，收攏一周后該點始終位于端部橫截面中心處，如圖17 所示。

圖17 伸展臂最大Von Mises 等效應力點Fig.17 Maximum Von Mises stress point in boom

根據上述分析，取卷軸分別轉動至1 周、2 周及3 周處，伸展臂端部橫截面上各處等效應力值并繪制曲線，如圖18 所示。 圖中橫軸為橫截面內沿管壁實際尺寸(m)，縱軸為Von Mises 等效應力(Pa)。

圖18 伸展臂端部等效應力分布Fig.18 Von Mises stress distribution in boom tip

由圖18 可知，在卷繞一周后中心處的等效應力為最大應力點，并隨著卷繞的進行不斷增高。因此該點為伸展臂上最易失效點，根據第四強度理論，此處易因畸變能密度過大而產生屈服失效。

高強度合金鋼許用應力為σ＝700 MPa，圖17中應力低于許用應力，復合材料設計要求。 根據圖9，當壁厚為0.9 mm 時等效應力將大于許用應力，因此對于該尺寸的伸展臂，其設計厚度t 應小于0.9 mm。 另外，實際設計中應考慮安全裕度等問題預留出更大的安全空間。

6 結論

1)薄壁圓管開口式伸展臂總應變能受到伸展臂厚度t 改變的影響最明顯，半開口角度θ1的改變影響最微小，卷軸外半徑R 的影響程度適中。 伸展臂外半徑r 對總應變能的影響與R 有關：R 較小時r 曲線單調，R 較大時r 曲線出現了極小值。

2)驅動力矩受到伸展臂厚度t 改變的的影響最為明顯，半開口角度θ1的改變影響最微小，卷軸外半徑R 的及伸展臂外半徑r 的影響程度適中。

3)伸展臂在由自由彎曲向卷繞彎曲過渡的區域內及展平端附近等效應力發生了突變，因此在該區域內易發生失效。 卷繞過程中最大等效應力點始終位于伸展臂端部，收攏一周后該點始終位于端部橫截面中心處，其等效應力值隨著卷繞的進行不斷增高。 該點為伸展臂上最易失效點。

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