合情推理猜結論，問題教學覓因果
——基于合情推理的初中數學問題串教學

林 琪 虞秀云

(江西師范大學數學與信息科學學院 330022)

史寧中教授把數學的基本思想聚焦于抽象、推理、模型這三個方面.他認為數學教學的最終目標之一是會用數學的思維思考現實世界，其中,數學的思維就是推理.[1]由此可見，推理是學生必備的數學品質之一，應貫穿學生數學學習的整個過程.其中的合情推理能產生新知識、新思想、新理論，更有學者認為教學生合情推理、教會學生猜想遠比教學生論證推理要有意義得多，[2]而許多教師往往忽略了合情推理.在教學過程中，數學問題串的運用是引導學生進行合情推理的有效途徑之一.本文基于合情推理對中學數學問題串設計進行了探討.

1 基于合情推理的數學問題串教學設計

合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺推斷某些結果.常見的合情推理有歸納推理和類比推理.筆者結合中學數學教材，分別以上述兩種形式對問題串在合情推理中的應用加以說明.

1.1 歸納推理問題串的設計

歸納推理是一種由個別到一般的推理，是從認識研究個別事物到總結、概括一般性的推斷過程.

案例1多邊形的內角和

問題1 長方形、正方形的內角和是多少度？(360°)

問題2 一般四邊形的內角和也是360°嗎？

設計意圖從學生熟悉的長方形、正方形(問題1)到一般的四邊形(問題2)，這種從特殊到一般的問題研究方式符合學生的認知思維，為之后探索多邊形的內角和奠定基礎.

問題3 你能證明問題2嗎？

方法1 (測量法)學生動手操作,用量角器測量出四邊形四個角的度數，并計算內角和.教師利用幾何畫板演示任意一個四邊形的內角和(如圖1).

圖1

方法2 (割補法)如圖2，對于任意一個四邊形ABCD，連結對角線AC，將四邊形分成2個三角形，所以四邊形的內角和為2×180°=360°.

圖2

設計意圖在問題2的基礎上教師繼續追問，讓學生產生認知沖突，為之后計算多邊形的內角和奠定基礎.方法1中學生動手操作，親身體驗四邊形內角和的探究過程，培養動手操作能力.方法2中的割補法滲透了化歸思想.而一題多解又有利于發展學生的發散思維.對比兩種方法，得到最優方法.

問題4 試用相同的方法得到五邊形、六邊形的內角和.

如圖3，從五邊形的一個頂點出發，可以作2條對角線，它們將五邊形分成3個三角形，所以五邊形的內角和為3×180°=540°.

圖3 圖4

如圖4，從六邊形的一個頂點出發，可以作3條對角線，它們將六邊形分成4個三角形，所以六邊形的內角和為4×180°=720°.

問題5 任意一個n邊形的內角和是多少度？((n-2)·180°)

設計意圖問題4和問題5，類比四邊形得到五邊形、六邊形的內角和，從這些探究中歸納推理出多邊形內角和的規律，從簡單到復雜，從具體到抽象.

1.2 類比推理問題串的設計

類比推理是根據兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理.波利亞曾說過：“類比是提出新問題和獲得新發現取之不竭的源泉.”

案例2從分數到分式

問題3 如何命名上述新式？(分式——類比分數的命名).

設計意圖問題1到問題3的問題串，不僅用類比的方法引出分式，還從整數到分數、從整式到分式，滲透了代數式的發展過程.同時，波利亞說過：“學習任何東西的最好途徑是自己去發現.”這里不直接給出分式的概念，而是引導學生自主發現、建構概念，有利于發展學生的探究和創新能力.

問題4 回顧一下，我們是怎么學習分數的？(分數的概念、分數的基本性質、分數的運算、分數的應用)

問題5 我們將怎樣研究分式？(分式的概念、分式的基本性質、分式的運算、分式的應用)

設計意圖問題4和問題5從分數的學習過程類比得到分式的研究方法，引領學生完成本章知識的建構，使學生對本章知識有一個整體感知，體會數學研究的基本套路，這對于上好章起始節至關重要.章建躍博士在不同場合多次強調:“數學教學要盡可能讓學生體會數學研究的‘基本套路’.因為‘基本套路’對于不同的數學對象的研究具有普適性，顯化‘基本套路’不僅能在方法論的層面帶來示范作用和啟迪效果，也有助于學生的知識結構化、系統化.”[3]

想一想：這些新式子有什么共同的特征？

(①形式：類似于分數，含有分數線；②分子分母都是整式；③分母中含有字母.)

之后，給出分式的定義及辨析.

問題7 說一說：分式與分數的區別聯系？(分式和分數相比，分母不同：分數的分母是整數，而分式的分母是含字母的整式.因為字母可以表示任何一個數，所以分數是分式的特殊化，分式是分數的一般化.)

問題8 上述分式中能取任何實數嗎？(與分數類似，分式要有意義，分母不能為0)

設計意圖從問題6到問題8，通過類比分數的定義，對新式進行觀察、抽象概括共同特征，得到分式的定義.同時，分析分式和分數的聯系，能深化分式的概念，自然地引出分式有意義的條件，也為之后學習分式的性質和運算做鋪墊.

2 對基于合情推理的數學問題串設計的思考

以上兩個案例反映出問題串在培養學生合情推理中的重要性和合理性.問題串已普遍應用于課堂教學，而在問題串的設計中要注意以下幾點.

2.1 問題串的設計要緊扣合情推理的內容

運用問題串是為了引導學生進行合情推理，因此問題串的設計必須以發展合情推理為出發點和最終歸宿.例如案例1中的問題1到問題4，表面上是為了引導學生得到四、五、六邊形的內角和，實則為引導學生發現規律，大膽猜想n邊形的內角和公式，使合情推理順理成章.

2.2 問題串的設計要立足于學生的認知起點

合情推理不是胡亂猜想，必須有一定的依據，這個依據必須是學生已知的、能接受的.因此，在設計問題串時，必須立足于學生的認知起點.例如案例2中問題1到問題8的設計，從學生熟悉的整數到分數得到基本思路,再引導學生從整式類比得到分式，使新概念的形成自然連貫.

2.3 問題串的設計要處理好預設與生成的關系

學生不是演員，沒有劇本，何況學生之間存在差距，教師設計的問題串再符合學生的認知起點也無法保證學生完全按預設答案回答.因此，教師應隨機應變，按學生的答案及時更改子問題.例如案例1中，問題3在設計時預設了兩種解答，但學生思維開闊，極有可能有其他方法.此時，教師應該即刻辨別新方法能否用于任意多邊形內角和的推導.如果能，則按學生的思路繼續推導;不能，則需引導學生改變思路，以達到教學目標.

3 結語

數學教學的目標是培養學生的知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀，這是數學教學活動的出發點和最終歸宿.有“推理”的課堂才有內涵、有靈魂，有“問題”的課堂才有交流、有生機.教師應在課堂上合理地使用問題串，有意識地培養學生的問題意識，通過問題串“借情猜理”，引導學生合情推理，以期達到“通情達理”.